Ahora tomemos otro ejemplo dentro del ámbito de la matemática pura. Procedamos a hallar la tasa de incremento de la función para cualquier valor de su argumento. Todavía no hemos definido realmente qué entendemos por tasa de incremento. Intentaremos comprender su significado en relación con este caso particular. Cuando aumenta a , la función aumenta a ; de modo que el incremento total ha sido , debido a un incremento en el argumento. De ahí que en todo el intervalo a , el incremento medio de la función por unidad de incremento del argumento sea . Pero y por lo tanto Así pues, es el incremento medio de la función por unidad de incremento en el argumento, tomando la media en el intervalo de a . Pero depende de , el tamaño del intervalo. Evidentemente obtendremos lo que queremos, a saber, la tasa de incremento en el valor del argumento, disminuyendo cada vez más. Por lo tanto, en el límite cuando ha disminuido indefinidamente, decimos que es la tasa de incremento de en el valor del argumento.
Aquí de nuevo nos vemos aparentemente empujados hacia la idea de cantidades infinitamente pequeñas al usar las palabras «en el límite cuando ha disminuido indefinidamente».
Leibniz sostenía que, por muy misterioso que pudiera sonar, existían en realidad tales cosas como las cantidades infinitamente pequeñas y, por supuesto, números infinitamente más pequeños que les correspondían. El lenguaje y las ideas de Newton seguían más las líneas modernas; pero no logró explicar el asunto con la suficiente claridad como para demostrar que hacía algo más que explicar las ideas de Leibniz con un lenguaje bastante indirecto.
La verdadera explicación del tema fue dada por primera vez por Weierstrass y la escuela de matemáticos de Berlín hacia mediados del siglo XIX. Pero entre Leibniz y Weierstrass había surgido una abundante literatura, tanto matemática como filosófica, en torno a estas misteriosas cantidades infinitamente pequeñas que las matemáticas habían descubierto y la filosofía se dispuso a explicar.
Algunos filósofos,
El obispo Berkeley, por ejemplo, negó correctamente la validez de toda la idea, aunque por razones distintas de las aquí indicadas.
Pero el curioso hecho seguía siendo que, a pesar de todas las críticas a los fundamentos del tema, no cabía duda de que el procedimiento matemático era sustancialmente correcto. De hecho, el tema era correcto, aunque las explicaciones fuesen erróneas. Es esta posibilidad de estar en lo cierto, aunque con explicaciones totalmente equivocadas sobre lo que se está haciendo, lo que hace tan a menudo que la crítica externa —al menos en la medida en que pretende detener la búsqueda de un método— resulte singularmente estéril y fútil en el progreso de la ciencia.
El instinto de los observadores formados, y su sentido de la curiosidad, debido al hecho de que evidentemente están llegando a algo, son guías mucho más seguras.
De cualquier modo, el efecto general del éxito del cálculo diferencial fue generar una gran cantidad de mala filosofía, centrada en torno a la idea de lo infinitamente pequeño. Los vestigios de esta verbosidad todavía pueden encontrarse en las explicaciones de muchos libros de texto de matemáticas elementales sobre el cálculo diferencial. Es una regla segura aplicar que, cuando un autor matemático o filosófico escribe con una profunda nebulosidad, está diciendo tonterías.