IX

de geometría analítica.

Una vez que se ha comprendido la idea de la geometría analítica, la pregunta inmediata que surge en la mente es: ¿qué tipo de lugares geométricos corresponden a las formas algebraicas bien conocidas? Por ejemplo, la más simple entre los tipos generales de formas algebraicas es $ax+by=c$. El tipo de lugar geométrico que corresponde

a esta es una línea recta y, a la inversa, a toda línea recta le corresponde una ecuación de esta forma. Es afortunado que el más simple de los lugares geométricos deba corresponder a la más simple de las formas algebraicas. De hecho, es esta correspondencia general de simplicidad geométrica y algebraica la que le otorga a todo el tema su poder. Surge del hecho de que la conexión entre la geometría y el álgebra no es casual ni artificial, sino profunda y esencial. La ecuación que corresponde a un lugar geométrico se llama la ecuación «del» (o «para el») lugar geométrico. Algunos ejemplos de ecuaciones de líneas rectas ilustrarán el tema. 14

Consideremos $y-x=0$; aquí la $a$, la $b$ y la $c$ de la forma general han sido sustituidas por $-1$, $1$ y $0$ respectivamente. Esta recta pasa por el «origen», $O$, en el diagrama y biseca el ángulo $XOY$. Es la recta $L^{\prime }OL$ del diagrama. El hecho de que pase por el origen, $O$, se observa fácilmente al notar que la ecuación se satisface al poner $x=0$ y $y=0$ simultáneamente, pero $0$ y $0$ son las coordenadas de $O$. De hecho, es fácil generalizar y ver por el mismo método que la ecuación de cualquier recta que pase por el origen es de la forma $ax+by=0$. El lugar geométrico de la ecuación $y+x=0$ también pasa por el origen y biseca el ángulo $X^{\prime }OY$: es la recta $L_{1}O{L}_1^{\prime }$ del diagrama.

Consideremos $y-x=1$: el lugar geométrico correspondiente no pasa por el origen. Por tanto, buscamos dónde corta los ejes. Debe cortar el eje de las $x$ en algún punto de coordenadas $x$ e $0$. Pero al poner $y=0$ en la ecuación, obtenemos $x=-1$; así que las coordenadas de este punto $(A)$ son $-1$ y $0$. De manera similar, el punto $(B)$ donde la recta corta el eje $OY$ son $0$ y $1$. El lugar geométrico es la recta $AB$ en la figura y es paralela a $LO{L}^{\prime }$. De forma análoga, $y+x=1$ es la ecuación de la recta $A_{1}B$ de la figura; y el lugar geométrico es paralelo a $L_{1}O{L}_1^{\prime }$. Es fácil demostrar el teorema general de que dos rectas representadas por ecuaciones de las formas $ax+by=0$ y $ax+by=c$ son paralelas.

El grupo de lugares que encontramos a continuación es lo suficientemente importante como para merecer un capítulo por sí mismo. Pero antes de pasar a ellos, nos detendremos un poco más en las ideas principales del tema.

La posición de cualquier punto $P$ se determina eligiendo arbitrariamente un origen, $O$, dos ejes,

$OX$ y $OY$, en ángulo recto, y luego observando sus coordenadas $x$ e $y$, es decir, $OM$ y $PM$ (v. [fig.] 13). Además, como hemos visto en el último capítulo, $P$ puede determinarse mediante el "vector" $OP$, donde la idea de vector incluye una dirección determinada así como una longitud determinada. Desde un punto de vista matemático abstracto, la idea de un origen arbitrario puede parecer artificial y torpe, y lo mismo ocurre con los ejes trazados arbitrariamente, $OX$ y $OY$. Pero en relación con la aplicación de las matemáticas al acontecimiento del Universo, estamos simbolizando aquí con directa simplicidad el hecho más fundamental respecto a la perspectiva del mundo que nos proporcionan nuestros sentidos. Cada uno de nosotros refiere sus percepciones sensibles de las cosas a un origen que llamamos "aquí": nuestra ubicación en una parte particular del espacio en torno a la cual agrupamos el Universo entero es el hecho esencial de nuestra existencia corporal. Podemos imaginar seres que observan todos los fenómenos en todo el espacio con igual ojo, sin prejuicios a favor de ninguna parte. Con nosotros es de otro modo, un gato a nuestro