Pero seguimos estando bastante a oscuras en cuanto a su relación con el espacio. ¿Acaso existen siquiera en el espacio? Quizá sea igualmente un sinsentido decir que están aquí, o allá, o en cualquier parte, o en todas partes. Puede que su existencia simplemente no tenga relación alguna con localizaciones en el espacio. En consecuencia, mientras que los números deben aplicarse a todas las cosas, no es necesario que el espacio lo haga.
La percepción de la localidad de las cosas parecería acompañar, o estar involucrada en muchas, o en todas, nuestras sensaciones. Es independiente de cualquier sensación particular en el sentido de que acompaña a muchas sensaciones. Pero es una peculiaridad especial de las cosas que aprehendemos mediante nuestras sensaciones. La aprehensión directa de lo que entendemos por las posiciones de las cosas con respecto a las otras es una cosa sui generis, tal como lo son las aprehensiones de los sonidos, colores, sabores y olores. A primera vista, por lo tanto, parecería que las matemáticas, en la medida en que incluyen a la geometría en su alcance, no son abstractas en el sentido en
qué abstracción se le atribuye en I.
Esto, sin embargo, es un error; siendo la verdad
que la «espacialidad» del espacio no entra en absoluto en nuestro razonamiento geométrico. Entra en las intuiciones geométricas de los matemáticos de formas personales y peculiares para cada individuo. Pero lo que entra en el razonamiento son meramente ciertas propiedades de las cosas en el espacio, o de las cosas que forman el espacio, propiedades que son completamente abstractas en el sentido en que se definió «abstracto» en I.; estas propiedades no implican ninguna aprehensión, intuición o sensación espacial peculiar. Se basan exactamente en la misma base que las propiedades matemáticas de los números. Por tanto, la intuición espacial, que es una ayuda tan esencial para el estudio de la geometría, es lógicamente irrelevante: no entra en las premisas cuando estas se enuncian correctamente, ni en ningún paso del razonamiento. Tiene la importancia práctica de un ejemplo, que es esencial para la estimulación de nuestros pensamientos. Los ejemplos son igualmente necesarios para estimular nuestros pensamientos sobre los números. Cuando pensamos en «dos» y «tres», vemos trazos en una fila, o bolas en un montón, o alguna otra agregación física de cosas particulares. La peculiaridad de la geometría es la fijeza y la importancia abrumadora del único ejemplo particular que se nos presenta a nuestra
mentes. La forma lógica abstracta de las proposiciones, cuando se enuncia por completo, es: «Si cualquier colección de cosas posee tales o cuales propiedades abstractas, también posee tales o cuales otras propiedades abstractas». Pero lo que aparece ante el ojo de la mente es una colección de puntos, líneas, superficies y volúmenes en el espacio: este ejemplo aparece inevitablemente y es el único que confiere interés a la proposición. Sin embargo, a pesar de toda su abrumadora importancia, no deja de ser un ejemplo.
La geometría, considerada como una ciencia matemática, es una división de la ciencia más general del orden. Puede llamarse la ciencia del orden dimensional; el calificativo «dimensional» se ha introducido porque las limitaciones, que la reducen a solo una parte de la ciencia general del orden, son tales que producen las relaciones regulares de las líneas rectas con los planos, y de los planos con la totalidad del espacio.
Es fácil comprender la importancia práctica del espacio en la formación de la concepción científica de un mundo físico externo. Por una parte, nuestras percepciones espaciales están entrelazadas en nuestras diversas sensaciones y las conectan entre sí. Normalmente juzgamos que tocamos un objeto en el mismo lugar en que