rusos, todos han hecho contribuciones esenciales al progreso de la ciencia. Ciertamente, la exaltación celosa de la contribución de una nación en particular no es muestra de un espíritu más amplio.
La importancia del cálculo diferencial surge de la propia naturaleza de la materia, que es la consideración sistemática de las razones de incremento de las funciones. Esta idea se nos presenta de inmediato por el estudio de la naturaleza; la velocidad es la razón de incremento de la distancia recorrida, y la aceleración es la razón de incremento de la velocidad.
Así, la idea fundamental de cambio, que se encuentra en la base de toda nuestra percepción de los fenómenos, sugiere inmediatamente la investigación sobre la razón de cambio. Los términos familiares de «rápidamente» y «lentamente» adquieren su significado a partir de una referencia tácita a las razones de cambio.
De este modo, el cálculo diferencial se ocupa de la clave misma de la posición desde la cual las matemáticas pueden aplicarse con éxito a la explicación del curso de la naturaleza.
Esta idea de la velocidad de cambio estaba ciertamente en la mente de Newton, y se plasmaba en el lenguaje con el que explicó el tema.
Cabe dudar, sin embargo, de si este punto de vista, derivado de los fenómenos naturales, estuvo alguna vez muy presente en la mente de los matemáticos precedentes que prepararon el tema para su nacimiento. Ellos se ocupaban de los problemas más abstractos de trazar tangentes a las curvas, de hallar las longitudes de las curvas y de encontrar las áreas encerradas por las curvas.
Los dos últimos problemas, de la rectificación de curvas y la cuadratura de curvas, como se les llama, pertenecen al Cálculo Integral, que está sin embargo relacionado con el mismo tema general que el Cálculo Diferencial.
La introducción de la geometría analítica hace que ambos puntos de vista se fundan.
Sea (v. [fig.] 32) una línea curva cualquiera y sea la tangente en el punto de la misma. Sean y los ejes de coordenadas; y sea la ecuación de la curva, de modo que , y .
Supongamos ahora que es un punto móvil cualquiera sobre la curva, con coordenadas , ; entonces . Y sea el punto sobre la tangente con la misma abscisa ; supongamos que las coordenadas de son y .
Supongamos ahora que se desplaza a lo largo del eje de izquierda a derecha con velocidad uniforme; entonces es fácil ver que la ordenada del punto en la tangente también aumenta uniformemente a medida que se mueve a lo largo de la tangente de manera correspondiente.
De hecho, es fácil ver que la razón de la tasa de incremento de a la tasa de incremento de está en la razón de a , la cual es la misma en todos los puntos de la línea recta. Pero la tasa de incremento de , que es la tasa de incremento de , varía de un punto a otro de la curva mientras esta no sea recta. A medida que pasa por el punto , la tasa de incremento de (donde coincide con por un instante)