Geometría

La geometría, como el resto de las matemáticas, es abstracta. En ella se estudian las propiedades de las formas y las posiciones relativas de las cosas. Pero no necesitamos considerar quién observa las cosas, ni si llega a conocerlas por la vista, el tacto o el oído.

En resumen, ignoramos todas las sensaciones particulares. Además, se ignoran las cosas particulares, como las Casas del Parlamento o el globo terráqueo. Cada proposición se refiere a cualesquiera cosas que posean tales o cuales propiedades geométricas.

Por supuesto, ayuda a nuestra imaginación mirar ejemplos particulares de esferas, conos, triángulos y cuadrados. Pero las proposiciones no se aplican meramente a las figuras reales impresas en el libro, sino a cualquier figura de ese tipo.

Así, la geometría, al igual que el álgebra, está dominada por las ideas de cosas "cualesquiera" y "algunas" cosas.

Asimismo, del mismo modo estudia las interrelaciones entre conjuntos de cosas. Por ejemplo, consideremos dos triángulos cualesquiera $ABC$ y $DEF$.

¿Qué relaciones deben existir entre algunas de las partes de estos triángulos, para que los triángulos puedan ser en todos sus aspectos iguales?

Esta es una de las primeras investigaciones emprendidas en todas las geometrías elementales. Es un estudio 33 de cierto conjunto de correlaciones posibles entre los dos triángulos.

La respuesta es que los triángulos son en todos sus aspectos iguales, si:––

• O bien,
  • (a) Dos lados del uno y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados del otro y el ángulo comprendido:

• O, (b) Dos ángulos de uno y el lado adyacente a ellos son respectivamente iguales a dos ángulos del otro y el lado adyacente a ellos:

O,

(c) Tres lados del uno son respectivamente iguales a tres lados del otro.

Esta respuesta sugiere inmediatamente una nueva investigación. ¿Cuál es la naturaleza de la correlación entre los triángulos cuando los tres ángulos del uno son respectivamente iguales a los tres ángulos del otro? Esta investigación adicional nos conduce a toda la teoría de la semejanza (véase el cap. XIII.), que es otro tipo de correlación.