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matemáticos de antaño, en particular Leibniz, no solo se sintieron tentados, sino que cedieron a la tentación y lo dijeron. Incluso hoy es una forma de hablar útil, siempre que sepamos cómo interpretarla en el lenguaje del sentido común. Resulta curioso que, en su exposición de los fundamentos del cálculo, Newton, el científico natural, sea mucho más filosófico que Leibniz, el filósofo, y que, por otra parte, Leibniz proporcionara la admirable notación que ha sido tan esencial para el progreso de la materia.

Tomemos ahora otro ejemplo dentro del ámbito de las matemáticas puras. Procedamos a hallar la tasa de incremento de la función $x^2$ para cualquier valor $x$ de su argumento. Todavía no hemos definido realmente qué entendemos por tasa de incremento. Intentaremos captar su significado en relación con este caso particular. Cuando $x$ aumenta a $x+h$, la función $x^2$ aumenta a $(x+h{)}^2$; de modo que el incremento total ha sido $(x+h{)}^2-x^2$, debido a un incremento $h$ en el argumento. Por tanto, a lo largo del intervalo de $x$ a $(x+h)$, el incremento promedio de la función por unidad de incremento del argumento es ${\displaystyle \frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}}$. Pero $(x+h{)}^2=x^2+2hx+h^2,$ y por consiguiente $\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h.$ Así, $2x+h$ es el incremento promedio de la función $x^2$ por unidad de incremento en el argumento, siendo el promedio tomado sobre el intervalo de $x$ a $x+h$. Pero $2x+h$ depende de $h$, el tamaño del intervalo. Evidentemente obtendremos lo que queremos, a saber, la tasa de incremento en el valor $x$ del argumento, disminuyendo $h$ cada vez más. Por tanto, en el límite cuando $h$ ha

disminuye indefinidamente, decimos que $2x$ es la tasa de aumento de $x^2$ en el valor $x$ del argumento.

Aquí de