XIV. Series

series $1, x, x^{2}, x^{3}, \dots, x^{n}, \dots .$

The sum of $n$ terms is given by $s_{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} .$

Ahora multipliquemos ambos lados por $x$ y obtenemos $x s_{n} = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots + x^{n} + x^{n + 1} .$ Ahora restemos la última línea de la línea superior y obtenemos $s_{n} (1 - x) = s_{n} - x s_{n} = 1 - x^{n + 1},$ y por lo tanto (si $x$ no es igual a $1$ ) $s_{n} = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x} - \frac{x^{n + 1}}{1 - x} .$ Ahora bien, si $x$ es numéricamente menor que $1$ , para valores suficientemente grandes de $n$ , $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ es siempre numéricamente menor que $k$ , por muy pequeño que se elija $k$ . Así, si $x$ es numéricamente menor que $1$ , la serie $1$ , $x$ , $x^{2}$ , , $x^{n}$ , es convergente, y $\frac{1}{1 - x}$ es su límite. Esta afirmación se simboliza mediante $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots, (- 1 < x < 1) .$ Pero si $x$ es numéricamente mayor que $1$ , o numéricamente igual a $1$ , la serie es divergente. En otras palabras, si $x$ se encuentra entre $- 1$ y $+ 1$ , la serie es convergente; pero si $x$ es igual a $- 1$ o $+ 1$ , o si $x$ se encuentra fuera del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , entonces la serie es divergente. Por lo tanto, la serie es convergente en todos los "puntos" dentro del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , excluyendo los puntos extremos.

En este estado de nuestra investigación surge otra pregunta.

Supongamos que la serie $f_{1} (x) + f_{2} (x) + f_{3} (x) + \dots + f_{n} (x) + \dots$ es convergente para todos los valores de $x$ comprendidos en el intervalo de $a$ a $b$ , es decir, la serie es convergente para cualquier valor de $x$ que sea mayor que $a$ y menor que $b$ .

Asimismo, supongamos que queremos tener la seguridad de que, al aproximarnos al límite, sumamos suficientes términos como para alcanzar cierto estándar de aproximación $k$ .

¿Podemos determinar siempre un número de términos, digamos $n$ , tal que, si tomamos $n$ o más términos para formar la suma, entonces, sea cual fuere el valor de $x$ dentro del intervalo, habremos satisfecho el estándar de aproximación deseado?

A veces podemos y a veces no podemos hacer esto para cada valor de $k$ . Cuando podemos, la serie se denomina uniformemente convergente en todo el intervalo, y cuando no podemos hacerlo, la serie se denomina no uniformemente convergente en todo el intervalo.

Representa una gran diferencia para las propiedades de una serie el hecho de que sea o no uniformemente convergente en un intervalo. Ilustremos la cuestión con el ejemplo más sencillo y los números más sencillos.

Considera la serie geométrica $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots .$

Es convergente en todo el intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , excluyendo los valores extremos $x = \pm 1$ .

Pero no es uniformemente convergente en todo este intervalo. Pues si $s_{n} (x)$ es la suma de $n$ términos, hemos demostrado que la diferencia entre $s_{n} (x)$ y el límite $\frac{1}{1 - x}$ es $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ .

Supongamos ahora que $n$ es un número dado cualquiera de términos, digamos $20$ , y sea $k$ cualquier nivel de aproximación asignado, digamos $.001$ . Entonces, tomando $x$ lo suficientemente cerca de $+ 1$ o lo suficientemente cerca de $- 1$ , podemos hacer que el valor numérico de $\frac{x^{21}}{1 - x}$ sea mayor que $.001$ . Por lo tanto, $20$ términos no servirán en todo el intervalo, aunque sean más que suficientes en algunas partes del mismo.