XIV. Series

El mismo razonamiento puede aplicarse sea cual sea el otro número que tomemos en lugar de $20$ , y sea cual sea el grado de aproximación en lugar de $.001$ . De aquí que la serie geométrica $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots$ sea no uniformemente convergente en todo su intervalo de convergencia de $- 1$ a $+ 1$ . Pero si tomamos cualquier intervalo menor que se encuentre en ambos extremos dentro del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , la serie geométrica es uniformemente convergente dentro de él. Por ejemplo, tómese el intervalo de $0$ a $+ \frac{1}{10}$ . Entonces cualquier valor de $n$ que haga que $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ sea numéricamente menor que $k$ en estos límites para $x$ también sirve para todos los valores de $x$ entre estos límites, ya que da la casualidad de que $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ disminuye en valor numérico a medida que $x$ disminuye en valor numérico. Por ejemplo, tómese $k = .001$ ; entonces, poniendo $x = \frac{1}{10}$ , hallamos:–- {3} &\text{para $n = 1$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{2}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{90} = .0111\dots, \

&\text{para $n = 2$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{3}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{900} = .00111\dots, \

&\text{para $n = 3$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{4}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{9000} = 0{,}000111\dots.

Así, tres términos bastarán para todo el intervalo, aunque, por supuesto, para algunas partes del intervalo sea más de lo necesario.

Nótese que, debido a que $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots$ es convergente (aunque no uniformemente) en todo el intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , para cada valor de $x$ en el intervalo se puede encontrar un número de términos $n$ que satisfará un estándar deseado de aproximación; pero, a medida que tomamos $x$ más y más cerca de cualquiera de los valores extremos $+ 1$ o $- 1$ , se deben emplear valores de $n$ cada vez mayores.

Es curioso que esta importante distinción entre convergencia uniforme y no uniforme no fuera publicada hasta 1847 por Stokes—posteriormente,

Sir George Stokes–-y más tarde, de forma independiente en 1850 por Seidel, un matemático alemán.

Los puntos críticos, donde entra en juego la convergencia no uniforme, no se encuentran necesariamente en los límites del intervalo a lo largo del cual se cumple la convergencia. Esta es una peculiaridad propia de la serie geométrica.

En el caso de la serie geométrica $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots$ , se puede dar una expresión algebraica simple $\frac{1}{1 - x}$ para su límite en su intervalo de convergencia.

Pero este no es siempre el caso. A menudo podemos demostrar que una serie es convergente dentro de un cierto intervalo, aunque no sepamos nada más acerca de su límite excepto que es el límite de la serie.

Pero esta es una manera muy buena de definir una función; a saber, como el límite de una serie infinita convergente, y es, de hecho, el modo en que la mayoría de las funciones son, o deberían ser, definidas.