bien, aceptamos sin dificultad que no puede cambiar su valor repentinamente para un tren grande y pesado. Ciertamente, el tren no puede marchar a cuarenta millas por hora desde las 11:45 a. m. hasta el mediodía y luego, de repente, sin ningún transcurso de tiempo, empezar a marchar a millas por hora. Admitimos inmediatamente que el cambio de velocidad será un proceso gradual.
¿Pero qué hay de los golpes repentinos de magnitud adecuada? Supongamos que chocan dos trenes; o, para tomar objetos más pequeños, supongamos que un hombre patea un balón de fútbol. Ciertamente, a nuestros sentidos les parece como si el balón comenzara a moverse de repente.
Así, en el caso de la velocidad, nuestros sentidos no se rebelan ante la idea de que sea una función discontinua del tiempo, como lo hicieron ante la idea de que el tren fuera transportado instantáneamente de Bletchley a Rugby.
A decir verdad, si las leyes del movimiento, con su concepción de la masa, son ciertas, no existe tal cosa como la velocidad discontinua en la naturaleza. Todo lo que se presenta a nuestros sentidos como un cambio discontinuo de velocidad debe ser considerado, de acuerdo con ellas, como un caso de cambio gradual que es demasiado rápido para que lo percibamos.
Sería precipitado, sin embargo, lanzarse a la generalización de que la naturaleza no nos presenta ninguna función discontinua.
Un hombre que, confiando en que la altura media de la tierra sobre el nivel del mar entre Londres y París era una función continua de la distancia desde Londres, caminara de noche por el acantilado de Shakespeare
Acantilado por Dover en contemplación de la Vía Láctea, habría muerto antes de haber tenido tiempo de reorganizar sus ideas en cuanto a la necesidad de cautela en las conclusiones científicas.
Es muy fácil encontrar una función discontinua, aun si nos limitamos a las 21 fórmulas algebraicas más simples. Por ejemplo, tómese la función , que ya hemos considerado en la forma , en la que se limitaba a valores positivos. Pero ahora permitamos que tenga cualquier valor, positivo o negativo. La gráfica de la función se muestra en la [fig.] 21.
Supongamos que cambia continuamente desde un valor negativo grande, pasando por un conjunto decreciente en valor absoluto de valores negativos hasta llegar a , y de ahí a través de la serie de valores positivos crecientes.
En consecuencia, si un punto en movimiento, , representa a sobre , empieza en el extremo izquierdo del eje y se mueve sucesivamente a través de , , , , etc. Los puntos correspondientes en la función son , , , , etc.
Es fácil ver que hay un punto de discontinuidad en , es decir, en el origen . Pues el valor de la función en el lado negativo (izquierdo) del origen se vuelve infinitamente grande, pero negativo, y la función reaparece en el lado positivo (derecho) como infinitamente grande pero positiva.
Por lo tanto, por pequeña que tomemos la longitud , hay un salto finito entre los valores de la función en y . De hecho, este caso tiene la peculiaridad de que cuanto menor tomemos la longitud entre y , siempre que encierren al origen, mayor será el salto en el valor de la función entre ellos.