Secciones Cónicas
Cuando los geómetras griegos hubieron agotado, según creían, las propiedades más evidentes e interesantes de las figuras compuestas por líneas rectas y círculos, pasaron al estudio de otras curvas; y, con su instinto casi infalible para dar con cosas dignas de reflexión, se dedicaron principalmente a las cónicas, es decir, a las curvas en las que los planos cortan las superficies de los conos circulares.
El hombre a quien debe atribuirse el mérito de haber inventado este estudio es Menecmo (nacido en 375 y fallecido en 325 ); fue discípulo de Platón y uno de los tutores de Alejandro Magno.
Alejandro, a propósito, es un ejemplo conspicuo de las ventajas de una buena enseñanza, pues otro de sus tutores fue el filósofo Aristóteles. Podemos sospechar que
Alexander encontró a Menecmo como un maestro bastante aburrido, pues se cuenta que le pidió que acortara las demostraciones. Fue a esta petición a la que Menecmo respondió:
"En el campo hay caminos privados y hasta reales, pero en geometría hay un solo camino para todos".
Esta respuesta era sin duda lo suficientemente cierta en el sentido en el que Alejandro la habría entendido inmediatamente. Pero si Menecmo pensaba que sus demostraciones no podían acortarse, estaba gravemente equivocado; y la mayoría de los matemáticos modernos se aburrirían horriblemente si se vieran obligados a estudiar las demostraciones griegas de las propiedades de las secciones cónicas.
Nada ilustra mejor el aumento de poder que se obtiene mediante la introducción de ideas relevantes en una ciencia que observar el acortamiento progresivo de las demostraciones que acompaña al crecimiento de la riqueza conceptual. Hay un cierto tipo de matemático que siempre se muestra bastante impaciente por detenerse en las ideas de una asignatura: está deseando pasar de inmediato a las demostraciones de problemas "importantes".
La historia de la ciencia está completamente en su contra. Hay caminos reales en la ciencia; pero quienes los transitan por primera vez son hombres de genio y no reyes.
La forma en que las cónicas se presentaron por primera vez a los matemáticos fue la siguiente: piénsese en un cono (véase [fig.] 15), cuyo vértice (o punta) es V , asentado sobre una base circular S T U . Por ejemplo, una pantalla cónica para una luz eléctrica suele ser un ejemplo de dicha superficie. Ahora bien, supóngase que todas las líneas «generatrices» que pasan por V y yacen sobre la superficie se prolongan hacia atrás; el resultado es un cono doble, y P Q R es otra sección transversal circular en el lado opuesto de V respecto a la sección transversal S T U . El eje del cono C V C ′ pasa por todos los centros de estos círculos y es perpendicular a sus planos, los cuales son paralelos entre sí.