Estas leyes demostraron ser solo una etapa hacia un desarrollo más fundamental de las ideas. Newton (nacido en 1642 y fallecido
1727) concibió la idea de la gravitación universal, a saber, que cualesquiera dos piezas de
la materia se atraen entre sí con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta ley general de gran alcance, junto con las tres leyes del movimiento a las que dio su forma general definitiva, resultó adecuada para explicar todos los fenómenos astronómicos, incluidas las leyes de Kepler, y ha constituido la base de la física moderna. Entre otras cosas, demostró que los cometas podían moverse en elipses muy alargadas, o en parábolas, o en hipérbolas, que son casi parábolas. Los cometas que regresan —como el cometa Halley— deben, por supuesto, moverse en
elipses. Pero el paso esencial en la demostración de la ley de la gravitación, e incluso en la sugerencia de su concepción inicial, fue la verificación de las leyes de Kepler que relacionan los movimientos de los planetas con la teoría de las secciones cónicas.
Desde el siglo XVII en adelante, la teoría abstracta de las curvas ha participado en el doble renacimiento de la geometría debido a la introducción de la geometría de coordenadas y de la geometría proyectiva. En la geometría proyectiva
las ideas fundamentales se agrupan en torno a
la consideración de conjuntos (o haces, como los
se denominan) de rectas que pasan por un punto común (el vértice del "haz"). Ahora (véase la [fig.] 19), si , , , son cuatro puntos fijos cualesquiera en una sección cónica y es un punto variable en la curva, el haz de rectas , , y tiene una propiedad especial, conocida como la constancia de su razón doble. Esta
Bastará decir aquí que la razón doble es una idea fundamental en la geometría proyectiva. Para la geometría proyectiva, esta es realmente la definición de las curvas, o alguna propiedad análoga que sea en realidad equivalente a ella.
se verá hasta qué punto, en el transcurso de siglos de estudio, nos hemos alejado de la vieja idea original de las secciones de un cono circular. Sabemos ahora que los griegos se habían aferrado a una propiedad menor de importancia comparativamente escasa; aunque, por alguna divina buena fortuna, las curvas en sí mismas merecían toda la atención que se les prestó. Esta falta de importancia de la idea de «sección» queda ahora marcada en la fraseología matemática ordinaria al omitir la palabra de sus nombres. Con frecuencia, ahora se les llama simplemente «cónicas» en lugar de «secciones cónicas».
Finalmente, volvemos al punto en
en el que dejamos la geometría analítica en el último capítulo. Nos habíamos preguntado cuál era el tipo de lugares geométricos correspondientes a la forma algebraica general a x + b y = c , y habíamos descubierto que se trataba de la clase de las líneas rectas en el plano. Habíamos visto que toda línea recta posee una ecuación de esta forma, y que toda ecuación de esta forma corresponde a una línea recta. Ahora deseamos