XI. Funciones

Un conjunto de números se aproxima a un número $a$

dentro de un estándar $k$, cuando la diferencia numérica entre $a$ y cada número del conjunto es menor que $k$. Aquí $k$ es el "estándar de aproximación".

Por lo tanto, el conjunto de números $3$, $4$, $6$, $8$ se aproxima al número $5$ dentro del estándar $4$. En este caso, el estándar $4$ no es el más pequeño que se podría haber elegido; el conjunto también se aproxima a $5$ dentro de cualquiera de los estándares $3.1$, $3.01$ o $3.001$.

Asimismo, los números $3.1$, $3.141$, $3.1415$, $3.14159$ se aproximan a $3.13102$ dentro del estándar $\mathrm{.032}$, y también dentro del estándar más pequeño $\mathrm{.03103}$.

Estas dos ideas de un intervalo y de la aproximación a un número dentro de un margen estándar son bastante sencillas; su única dificultad radica en que parecen un tanto triviales.

Pero cuando se combinan con la siguiente idea, la del «entorno» de un número, forman el fundamento del razonamiento matemático moderno.

¿Qué queremos decir al afirmar que algo es verdad para una función $f(x)$ en el entorno del valor $a$ del argumento $x$? Es esta noción fundamental la que ahora debemos precisar.

Se dice que los valores de una función $f(x)$ poseen una característica en el «entorno de $a$» cuando se puede encontrar cierto intervalo que (i) contiene al número $a$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que cada valor de la función para argumentos distintos de $a$, situados dentro de ese intervalo, posee la característica. El valor $f(a)$ de la función para el argumento $a$ puede o no poseer la característica. Las afirmaciones sobre el entorno de $a$ no determinan nada al respecto.

Por ejemplo, supongamos que tomamos la función particular $x^2$. Ahora bien, en el entorno de $2$, los valores de $x^2$ son menores que $5$. Pues podemos encontrar un intervalo, por ejemplo, de $1$ a $2.1$, que (i) contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que, para los valores de $x$ que se encuentran en él, $x^2$ es menor que $5$.

Ahora bien, combinando las ideas precedentes, sabemos lo que significa decir que, en el entorno de $a$, la función $f(x)$ se aproxima a $c$ dentro del estándar $k$. Significa que se puede encontrar algún intervalo que (i) incluye a $a$ sin ser uno de sus puntos extremos, y (ii) es tal que todos los valores de $f(x)$, donde $x$ se encuentra en el intervalo y no es $a$, difieren de $c$ en menos de $k$.

Por ejemplo, en el entorno de $2$, la función $\sqrt{x}$ se aproxima a $1.41425$ con la tolerancia estándar de $\mathrm{.0001}$.

Esto es verdad porque la raíz cuadrada de $1.99996164$ es $1.4142$ y la raíz cuadrada de $2.00024449$ es $1.4143$; por tanto, para los valores de $x$ comprendidos en el intervalo de $1.99996164$ a $2.00024449$, el cual contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos, los valores de la función $\sqrt{x}$ se encuentran todos entre $1.4142$ y $1.4143$, y por consiguiente todos difieren de $1.41425$ en menos de $\mathrm{.0001}$.

En este caso podemos, si así lo deseamos, fijar un margen de aproximación más pequeño, a saber, $\mathrm{.000051}$ o $\mathrm{.0000501}$.

Nuevamente, para tomar otro ejemplo, en el vecindario de 2 la función x 2 se aproxima a 4 dentro del margen estándar de .5 .