VII. Números imaginarios

Llamemos por el momento a tal par de números un «par ordenado». Entonces, a partir de los dos números $1$ y $3$, se pueden generar ocho pares ordenados, a saber

Cada uno de estos ocho «pares ordenados» dirige un proceso de medición a lo largo de $XO{X}^{\prime }$ y $YO{Y}^{\prime }$ que es diferente del dirigido por cualquiera de los otros.

Los procesos de medición representados por los últimos cuatro pares ordenados, mencionados anteriormente, se muestran gráficamente en la figura.

Las longitudes $OM$ y $ON$ juntas corresponden a $(+3,+1)$, las longitudes $O{M}^{\prime }$ y $ON$ juntas corresponden a $(-3,+1)$, $O{M}^{\prime }$ y $O{N}^{\prime }$ juntas a $(-3,-1)$, y $OM$ y $O{N}^{\prime }$ juntas a $(+3,-1)$. Pero completando los diversos rectángulos, es fácil ver que el punto $P$ determina por completo y está determinado por el par ordenado 9 $(+3,+1)$, el punto $P^{\prime }$ por $(-3,+1)$, el punto $P^{″}$ por $(-3,-1)$ y el punto $P^{‴}$ por $(+3,-1)$.

Más generalmente en la figura anterior ([fig:8]8), el punto $P$ corresponde al par ordenado $(x,y)$, donde se supone que $x$ e $y$ en la figura son ambos positivos, el punto $P^{\prime }$ corresponde a $(x^{\prime },y)$, donde se supone que $x^{\prime }$ en la figura es negativo, $P^{″}$ a $(x^{\prime }{y}^{\prime })$, y $P^{‴}$ a $(x,y^{\prime })$. Así, un par ordenado $(x,y)$, donde $x$ e $y$ son números cualesquiera positivos o negativos, y el punto correspondiente se determinan recíprocamente el uno al otro.

Es conveniente introducir algunos nombres en este momento. En el par ordenado $(x,y)$ el primer número $x$ se llama la «abscisa» del punto correspondiente, y el segundo número $y$ se llama la «ordenada» del punto, y los dos números juntos se llaman las «coordenadas»

del punto. La idea de determinar la posición de un punto por sus «coordenadas» no era en absoluto nueva cuando se estaba formando la teoría de los «imaginarios». Se debía a Descartes, el gran matemático y filósofo francés, y aparece en su Discours, publicado en Leiden en 1637. La idea del par ordenado como una entidad por derecho propio es de desarrollo posterior y es el resultado de los esfuerzos por interpretar los imaginarios de la manera más abstracta posible.

Puede observarse como una ilustración adicional de esta idea del par ordenado que el punto $M$ en la [fig.] 9 es el par $(+3,0)$, el punto $N$ es el par $(0,+1)$, el punto $M^{\prime }$ el par $(-3,0)$, el punto $N^{\prime }$ el par $(0,-1)$, el punto $O$ el par $(0,0)$.

Otra forma de representar el par ordenado $(x,y)$ es considerarlo como la representación de la línea punteada $OP$ (véase la [fig.] 8), en lugar del punto $P$.

Así, el par ordenado representa una línea trazada desde un «origen», $O$, de cierta longitud y en cierta dirección. La línea $OP$ puede llamarse la línea vectorial de $O$ a $P$, o el paso de $O$ a $P$.

Vemos, por lo tanto, que en este capítulo no hemos hecho más que ampliar la interpretación que dimos anteriormente de los números positivos y negativos. Este método de representación por vectores es muy útil cuando consideramos el significado que debe atribuirse a las operaciones de suma y multiplicación de pares ordenados.