En lugar de un trozo de línea recta, pensemos en la totalidad de una línea recta a lo largo de su longitud interminable en ambas direcciones. Este es el tipo de idea general de donde partir para nuestras investigaciones geométricas.
Los griegos jamás parecieron encontrar utilidad alguna para esta concepción, que hoy es fundamental en todo el pensamiento geométrico moderno. Euclides siempre contempla la línea recta como trazada entre dos puntos definidos, y es muy cuidadoso en mencionar cuándo debe prolongarse más allá de este segmento. Nunca piensa en la entidad de la línea como dada de una vez por todas en su totalidad.
Esta cuidadosa definición y limitación, de modo que se excluyera un infinito no inmediatamente aparente a los sentidos, fue muy característica de los griegos en todas sus múltiples actividades. Se encuentra consagrada en la diferencia entre la arquitectura griega y la arquitectura gótica, y entre la religión griega y la religión moderna. El chapitel de una catedral gótica y la importancia de la línea recta ilimitada en la geometría moderna son ambos emblemáticos de la transformación del mundo moderno.
La línea recta, considerada como un todo, es en consecuencia la idea raíz de la que parte la geometría moderna.
Pero entonces se nos ocurren otros tipos de líneas, y llegamos a la concepción de la curva completa que en cada uno de sus puntos presenta alguna característica uniforme, del mismo modo que la línea recta presenta en todos los puntos la característica de la rectitud.
Por ejemplo, está el círculo, que en todos los puntos presenta la característica de estar a una distancia dada de su centro, y también está la elipse, que es una curva ovalada tal que la suma de las dos distancias de cualquier punto de ella a dos puntos fijos, llamados focos, es constante para todos los puntos de la curva.
Es evidente que un círculo es meramente un caso particular de una elipse cuando los dos focos se superponen en el mismo punto; pues entonces la suma de las dos distancias es simplemente el doble del radio del círculo.
Los antiguos conocían las propiedades de la elipse y del círculo y, por supuesto, los consideraban como todos. Por ejemplo, Euclides nunca parte de meros segmentos (es decir, trozos) de círculos, que luego son prolongados. Él siempre considera el círculo entero como trazado.
Es una pena que el círculo no sea la verdadera línea fundamental en su geometría, de modo que su consideración defectuosa de la línea recta podría haber tenido menos importancia.
Esta idea general de una curva que en cualquiera de sus puntos presenta alguna propiedad uniforme se expresa en geometría con el término «lugar geométrico».
Un lugar geométrico es la curva (o superficie, si no nos limitamos a un plano) formada por puntos que poseen todos alguna propiedad dada. A cada propiedad en relación mutua que los puntos puedan tener le corresponde algún lugar geométrico, que consta de todos los puntos que poseen dicha propiedad.
Al investigar las propiedades de un lugar geométrico considerado como un todo, consideramos cualquier punto o puntos del lugar geométrico. Así, en geometría nos encontramos de nuevo con la idea fundamental de la variable. Además, al clasificar los lugares geométricos bajo rúbricas tales como líneas rectas, círculos, elipses, etc., volvemos a encontrar la idea de forma.