Pues ( 1.9 ) 2 = 3.61 y ( 2.1 ) 2 = 4.41 , y por lo tanto se ha hallado el intervalo requerido de 1.9 a 2.1 , que contiene a 2 sin ser uno de sus extremos.
Este ejemplo pone de relieve el hecho de que las afirmaciones sobre una función en el entorno de un número son distintas de las afirmaciones sobre el valor de cuando .
Se requiere la producción de un intervalo a lo largo del cual la afirmación sea verdadera. Por lo tanto, el mero hecho de que no nos justifica por sí mismo para decir que en el entorno de la función es igual a . Esta afirmación sería falsa, porque no se puede producir ningún intervalo con la propiedad requerida.
Asimismo, el hecho de que no nos justifica por sí mismo para decir que en el entorno de la función se aproxima a dentro del margen estándar de ; aunque, a decir verdad, se acaba de demostrar que la afirmación es verdadera.
Si comprendemos las ideas precedentes, comprendemos los fundamentos de las matemáticas modernas. Recurriremos a ideas análogas en el capítulo sobre las Series, y de nuevo en el capítulo sobre el Cálculo Diferencial.
Mientras tanto, ya estamos preparados para definir las «funciones continuas».
Una función es «continua» en un valor de su argumento, cuando en el entorno de sus valores se aproximan a (es decir, a su valor en ) dentro de cualquier estándar de aproximación.
Esto significa que, cualquiera que sea el estándar elegido, en el entorno de , se aproxima a dentro del estándar .
Por ejemplo, es continua en el valor de su argumento, , porque cualquiera que sea el estándar elegido, siempre podemos encontrar un intervalo que
(i) contiene a sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que los valores de para argumentos situados en su interior se aproximan a (es decir, ) dentro del estándar .
Así pues, supongamos que elegimos el estándar ; ahora y , y ambos números difieren de en menos de . Por lo tanto, dentro del intervalo de a , los valores de se aproximan a dentro del estándar . De igual modo, se puede obtener un intervalo para cualquier otro estándar que queramos probar.
Tomemos el ejemplo del tren de ferrocarril. Su velocidad es continua a medida que pasa ante la caseta de señales, si para cualquier velocidad que guste asignar (digamos una millonésima de milla por hora) se puede encontrar un intervalo de tiempo que se extienda antes y después del instante del paso, tal que en todos los instantes dentro de él la velocidad del tren difiera de aquella con la que el tren pasó ante la caseta en menos de una millonésima de milla por hora; y lo mismo es cierto sin importar qué otra velocidad se mencione en lugar de una millonésima de milla por hora.