VII

podemos ahora representar la posición de cualquier punto en un plano mediante un par de dichos números. Así, tomamos el par de líneas rectas X O X ′ y Y O Y ′ , en ángulos rectos, como los "ejes" desde los cuales comenzamos todas nuestras mediciones. Las longitudes medidas a lo largo de O X y O Y son positivas, y las medidas hacia atrás a lo largo de O X ′ y O Y ′ son negativas. Supongamos que un par de números, escritos en orden, por ejemplo ( + 3 , + 1 ) , de modo que

es un primer número ($+3$ en el ejemplo anterior) y un segundo número ($+1$ en el ejemplo anterior), representa medidas desde $O$ a lo largo de $XO{X}^{\prime }$ para el primer número, y a lo largo de $YO{Y}^{\prime }$ para el segundo número. Por tanto (cf. [fig.]9), en $(+3,+1)$ una longitud de $3$ unidades debe medirse a lo largo de $XO{X}^{\prime }$ en la dirección positiva, es decir, desde $O$ hacia $X$, y una longitud de $+1$ medida a lo largo de $YO{Y}^{\prime }$ en la dirección positiva, es decir, desde $O$ hacia $Y$. De manera similar, en $(-3,+1)$ la longitud de $3$ unidades debe medirse desde $O$ hacia $X^{\prime }$, y la de $1$ unidad desde $O$ hacia $Y$. Asimismo, en $(-3,-1)$ las dos longitudes deben medirse a lo largo de $O{X}^{\prime }$ y $O{Y}^{\prime }$ respectivamente, y en $(+3,-1)$ a lo largo de $OX$ y $O{Y}^{\prime }$ respectivamente. Llamemos por el momento a tal par de números un "par ordenado". Entonces, a partir de los dos números $1$ y $3$, se pueden generar ocho pares ordenados, a saber

Cada uno de estos ocho «pares ordenados» dirige un proceso de medición a lo largo de $XO{X}^{\prime }$ y $YO{Y}^{\prime }$ que es diferente al dirigido por cualquiera de los otros.

Los procesos de medición representados por los últimos cuatro pares ordenados, mencionados anteriormente, se muestran gráficamente en la figura. Las longitudes $OM$ y $ON$ juntas corresponden

a $(+3,+1)$, las longitudes $O{M}^{\prime }$ y $ON$ juntas corresponden a $(-3,+1)$, $O{M}^{\prime }$ y $O{N}^{\prime }$ juntas a $(-3,-1)$, y $OM$ y $O{N}^{\prime }$ juntas a $(+3,-1)$. Pero al completar los diversos rectángulos, es fácil ver que el punto $P$ determina completamente y es determinado por el par ordenado 9 $(+3,+1)$, el punto $P^{\prime }$ por $(-3,+1)$, el punto $P^{″}$ por $(-3,-1)$, y el punto $P^{‴}$ por $(+3,-1)$. Más generalmente en la figura anterior ([fig:8]8), el punto $P$ corresponde al par ordenado $(x,y)$, donde se supone que tanto $x$ como $y$ en la figura son positivos, el punto $P^{\prime }$ corresponde a $(x^{\prime },y)$, donde se supone que $x^{\prime }$ en la figura es negativo, $P^{″}$ a $(x^{\prime },y^{\prime })$, y $P^{‴}$ a $(x,y^{\prime })$. Por tanto, un ordenado

par $(x,y)$, donde $x$ e $y$ son cualesquiera números positivos o negativos, y el punto correspondiente se determinan recíprocamente el uno al otro. Es conveniente introducir algunos nombres en este momento. En el par ordenado $(x,y)$, al primer número $x$ se le llama «abscisa» del

punto correspondiente, y el segundo número $y$ se denomina «ordenada» del punto, y

los dos números juntos se llaman "coordenadas"

del punto. La idea de determinar la posición de un punto mediante sus "coordenadas" no era en absoluto nueva cuando se estaba formando la teoría de los "imaginarios". Se debía a Descartes, el gran francés

matemático y filósofo, y aparece en su Discours publicado en Leiden en 1637. La idea del par ordenado como una entidad por derecho propio es de desarrollo posterior y es el resultado de los esfuerzos por interpretar los imaginarios de la manera más abstracta posible.

Puede observarse, como ilustración adicional de esta idea del par ordenado, que el punto $M$ en la [fig.]9 es el par $(+3,0)$, el punto $N$ es el par $(0,+1)$, el punto $M^{\prime }$ el par $(-3,0)$, el punto $N^{\prime }$ el par $(0,-1)$, y el punto $O$ el par $(0,0)$.