Sin embargo, como el fantasma del padre de Hamlet, esta gran ciencia elude los esfuerzos de nuestras armas mentales por atraparla; «está aquí, está ahí, ya no está», y lo que sí vemos no sugiere la misma excusa de elusividad que le bastó al fantasma, a saber, que es demasiado noble para nuestros burdos métodos. «Un acto de violencia», si alguna vez es excusable, bien puede «ofrecerse» a los resultados triviales que ocupan las páginas de algunos tratados matemáticos elementales.
La razón de este fracaso de la ciencia en estar a la altura de su reputación es que sus ideas fundamentales no se explican al estudiante desvinculadas del procedimiento técnico que se ha ideado para facilitar su presentación exacta en casos particulares.
En consecuencia, el desafortunado alumno se encuentra luchando por adquirir el conocimiento de un cúmulo de detalles que no están iluminados por ninguna concepción general.
Sin lugar a dudas, la destreza técnica es un requisito previo para una actividad mental valiosa: no lograremos apreciar el ritmo de Milton, ni la pasión de Shelley, mientras nos sea necesario deletrear las palabras y no estemos del todo seguros de las formas de las letras individuales.
En este sentido, no hay atajos para el aprendizaje. Pero es un error igualmente grave limitar la atención a los procesos técnicos, excluyendo la consideración de las ideas generales. Aquí radica el camino hacia la pedantería.
El objeto de los siguientes Capítulos no es enseñar matemáticas, sino permitir a los estudiantes, desde el principio mismo de su curso, saber de qué trata la ciencia y por qué es necesariamente el fundamento del pensamiento exacto aplicado a los fenómenos naturales.
Toda alusión en lo que sigue a deducciones detalladas en cualquier parte de la ciencia se insertará meramente con el propósito de dar un ejemplo, y se tendrá el cuidado de hacer que el argumento general sea comprensible, aun cuando aquí y allá se cite algún proceso técnico o símbolo que el lector no entienda con el propósito de ilustrar.
El primer contacto que la mayoría de las personas tiene con las matemáticas es a través de la aritmética. Que dos y dos son cuatro suele tomarse como el arquetipo de proposición matemática simple de la que todo el mundo ha oído hablar.
La aritmética, por tanto, será un buen tema que considerar para descubrir, de ser posible, la característica más obvia de la ciencia.
Ahora bien, el primer hecho notable acerca de la aritmética es que se aplica a todo, a los gustos y a los sonidos, a las manzanas y a los ángeles, a las ideas de la mente y a los huesos del cuerpo. La naturaleza de las cosas es perfectamente indiferente; de todas las cosas es verdad que dos y dos son cuatro.
Así pues, consignamos como la característica principal de las matemáticas el hecho de que tratan con propiedades e ideas que son aplicables a las cosas simplemente por ser cosas, y al margen de cualquier sentimiento, emoción o sensación particular que de algún modo esté conectado con ellas. Esto es lo que se entiende al calificar a las matemáticas de ciencia abstracta.