Es evidente que al sustituir los números definidos por las variables hay que tener cierto cuidado de restituir el , para no entran en conflicto con la notación arábiga. Así, cuando sustituimos por y por en , debemos escribir para , y no , que significa .
Es interesante observar cuán importante para el desarrollo de la ciencia puede ser un símbolo de aspecto modesto. Puede representar la exposición enfática de una idea, a menudo una idea muy sutil, y mediante su existencia facilitar la exposición de la relación de esta idea con todas las complejas cadenas de ideas en las que aparece.
Por ejemplo, tomemos el más modesto de todos los símbolos, a saber, , que representa el número cero. La numeración romana no tenía ningún símbolo para el cero, y probablemente la mayoría de los matemáticos del mundo antiguo se habrían desconcertado horriblemente ante la idea del número cero. Pues, después de todo, es una idea muy sutil, que no resulta nada obvia. En las obras filosóficas se puede encontrar una gran cantidad de discusiones sobre el significado del cero de cantidad.
El cero no es, en verdad, más difícil o sutil en cuanto a su idea que los otros números cardinales. ¿Qué queremos decir con , con o con ? Pero estamos familiarizados con el uso de estas ideas, aunque la mayoría de nosotros nos veríamos en apuros para dar un análisis claro de las ideas más simples que concurren a formarlas.
La cuestión con respecto al cero es que no necesitamos usarlo en las operaciones de la vida cotidiana. Nadie sale a comprar cero pescados. Es, en cierto modo, el más civilizado de todos los cardinales, y su uso solo nos lo imponen las necesidades de los modos de pensamiento cultivados. Muchos servicios importantes son prestados por el símbolo , que representa el número cero.
El símbolo se desarrolló en relación con la notación arábiga para los números, de la cual es una parte esencial.
Pues en dicha notación el valor de un dígito depende de la posición en la que aparece. Considérese, por ejemplo, el dígito , tal como aparece en los números , , , .
- En el primer número, representa cinco,
- en el segundo número, representa cincuenta,
- en el tercero, quinientos,
- y en el cuarto número, cinco mil.
Ahora bien, cuando escribimos el número cincuenta y uno en la forma simbólica , el dígito empuja al dígito hacia el segundo lugar (contando de derecha a izquierda) y de este modo le otorga el valor de cincuenta.
Pero cuando queremos simbolizar el cincuenta por sí solo, no podemos contar con un dígito que cumpla esta función; necesitamos un dígito en el lugar de las unidades que no añada nada al total y que, sin embargo, empuje al hacia el segundo lugar. Esta función la desempeña el , el símbolo del cero.
Es extremadamente probable que los hombres que introdujeron [el símbolo] con este propósito no tuvieran en sus mentes una concepción definida del número cero.