idea sutil, y mediante su existencia hacer fácil exhibir la relación de esta idea con todas las complejas cadenas de ideas en las que ocurre. Por ejemplo, tomemos el más modesto de todos los símbolos, a saber, , que representa el número
cero. La notación romana para los números no tenía ningún símbolo para el cero, y probablemente la mayoría de los matemáticos del mundo antiguo se habrían sentido terriblemente desconcertados ante la idea del número cero. Pues, al fin y al cabo, es una idea muy sutil, en absoluto evidente. En las obras filosóficas se encontrará una gran cantidad de discusiones sobre el significado de la cantidad cero. El cero no es, en realidad, más difícil o sutil en cuanto a su idea que los otros números cardinales. ¿Qué queremos decir con , o con , o con ? Pero estamos familiarizados con el uso de estas ideas, aunque la mayoría de nosotros nos sentiríamos desconcertados al dar un análisis claro de las ideas más simples que las conforman. La cuestión sobre el cero es que no necesitamos utilizarlo en las operaciones de la vida diaria. Nadie sale a comprar cero pescados. Es, en cierto modo, el más civilizado de todos los cardinales, y su uso solo se nos impone por las necesidades de los modos de pensamiento cultivados. Muchos servicios importantes son prestados por el símbolo , que representa al número cero.
El símbolo se desarrolló en relación con la notación arábiga de los números, de la cual es una parte esencial. Pues en dicha notación el
El valor de un dígito depende de la posición en la que se encuentre. Consideremos, por ejemplo, el dígito tal como aparece en los números , , , . En el primer número, el representa cinco; en el segundo número, el representa cincuenta; en el tercero, quinientos; y en el cuarto, cinco mil. Ahora bien, cuando escribimos el número cincuenta y uno en la forma simbólica , el dígito desplaza al dígito a la segunda posición (contando de derecha a izquierda) y, por tanto, le otorga el valor de cincuenta. Pero cuando queremos simbolizar el cincuenta por sí solo, no podemos contar con un dígito que realice esta función; necesitamos un dígito en la posición de las unidades que no añada nada al total y que, sin embargo, desplace al a la segunda posición. Este servicio lo realiza el , el símbolo del cero. Es extremadamente probable que los hombres que lo introdujeron con este propósito no tuvieran en mente una concepción definida del número cero. Simplemente querían una marca que simbolizara el hecho de que la posición del dígito en la que aparece no aporta nada. La idea del cero probablemente tomó forma gradualmente a partir del deseo de asimilar el significado de esta marca al de las marcas , , ..., , que sí representan números cardinales. Este no sería el único caso en el que una idea sutil se ha introducido en las matemáticas mediante un simbolismo que, en su origen, fue dictado por la conveniencia práctica.
Así, el primer uso del fue hacer posible la notación posicional; no fue un servicio menor. Podemos imaginar que, cuando se introdujo con este propósito, los hombres prácticos, de esos que detestan las ideas fantasiosas, desaprobaron la absurda costumbre de identificarlo con el número cero. Pero se equivocaban, como siempre ocurre con tales hombres cuando abandonan su función propia de masticar los alimentos que otros han preparado. Pues el siguiente servicio realizado por el símbolo depende esencialmente de asignarle la función de representar al número cero.
Este segundo uso simbólico es, a primera vista, tan absurdamente simple que resulta difícil hacer que un principiante comprenda su importancia. Comencemos con un ejemplo sencillo. En II. mencionamos la correlación entre dos números variables x e y representada por la ecuación x + y = 1 . Esto puede representarse de un número indefinido de maneras; por ejemplo, x = 1 − y , y = 1 − x ,