El cálculo diferencial

La invención del cálculo diferencial marca una crisis en la historia de las matemáticas.

El progreso de la ciencia se divide entre períodos caracterizados por una lenta acumulación de ideas y períodos en los que, debido al nuevo material de pensamiento así pacientemente recolectado, algún genio, mediante la invención de un nuevo método o un nuevo punto de vista, transforma repentinamente todo el tema a un nivel superior.

Estos períodos contrastados en el progreso de la historia del pensamiento son comparados por Shelley con la formación de una avalancha.

¡La avalancha despierta por el sol! cuya masa, Tres veces cernida por la tormenta, se había acumulado allí Copo a copo,—como en las mentes que desafían al cielo se amontona pensamiento tras pensamiento, hasta que alguna gran verdad se desata, y las naciones resuenan a su alrededor,

La comparación resistirá un poco de presión.

El último estallido de luz solar que despierta la avalancha no es necesariamente incomparable en magnitud con las demás fuerzas de la naturaleza que han presidido su lenta formación.

Lo mismo ocurre en la ciencia. El genio que tiene la buena fortuna de producir la idea final que transforma toda una región del pensamiento, no supera necesariamente a todos sus predecesores que han trabajado en la formación preliminar de las ideas.

Al considerar la historia de la ciencia, es a la vez necio e ingrato limitar nuestra admiración con un asombro boquiabierto a aquellos hombres que han dado los avances finales hacia una nueva época.

En el caso particular que tenemos ante nosotros, el tema tenía una larga trayectoria antes de adoptar su forma definitiva a manos de sus dos inventores.

Hay algunos rastros de sus métodos incluso entre los matemáticos griegos y, finalmente, justo antes de la creación real del tema, Fermat (nacido en 1601 y fallecido en 1665), un distinguido matemático francés, había perfeccionado tanto las ideas anteriores que el tema estuvo a punto de ser creado por él.

Fermat también puede reclamar ser el coinventor de la geometría analítica junto con su contemporáneo y compatriota, Descartes. Fue, de hecho,

Descartes, de quien el mundo de la ciencia recibió las nuevas ideas, pero Fermat ciertamente había llegado a ellas de forma independiente.

No necesitamos, sin embargo, escatimar nuestra admiración ni hacia Newton ni hacia Leibniz.

Newton era matemático y estudioso de la ciencia física, Leibniz era matemático y filósofo, y cada uno de ellos en su propio departamento del pensamiento fue uno de los mayores genios que el mundo ha conocido.

La invención conjunta fue el motivo de una disputa desafortunada y poco digna.

Newton estaba usando los métodos de las fluxiones, como él llamaba a la materia, en 1666, y lo empleó en la composición de sus Principia, aunque en la obra impresa se evite cualquier notación algebraica especial.
Pero no imprimió una exposición directa de su método hasta 1693.
Leibniz publicó su primera exposición en 1684.

Fue acusado por los amigos de Newton de haberlo obtenido de un manuscrito de Newton, que se le había mostrado en privado. Leibniz también acusó a Newton de haber plagiado de él.

Hoy en día no hay muchas dudas de que a ambos se les debe conceder el mérito de ser descubridores independientes.

El tema había llegado a una etapa en la que estaba maduro para el descubrimiento, y no hay nada sorprendente en el hecho de que dos hombres tan capaces lo hayan hallado de manera independiente.

Estos descubrimientos conjuntos son bastante comunes en la ciencia.

Los descubrimientos por lo general no se hacen antes de que la tendencia previa del pensamiento haya conducido a ellos, y para entonces muchas mentes van tras los talones de la idea importante.

Si nos atenemos meramente a los descubrimientos en los que participan ingleses, la enunciación simultánea de la ley de la selección natural por Darwin y

Wallace y el descubrimiento simultáneo de

Neptuno por Adams y el astrónomo francés,

Leverrier, vienen de inmediato a la mente.

Las disputas sobre a quién se le debe dar el mérito están a menudo influenciadas por un espíritu nacionalista indigno.

La reflexión verdaderamente inspiradora que sugiere la historia de las matemáticas es la unidad de pensamiento e interés entre hombres de tantas épocas, tantas naciones y tantas razas.

Indios,
egipcios,
asirios,
griegos,
árabes,
italianos,
franceses,
alemanes,
ingleses y
rusos,

todos han hecho contribuciones esenciales al progreso de la ciencia.

Ciertamente, la exaltación celosa de la contribución de una nación en particular no es muestra de un espíritu más amplio.

La importancia del cálculo diferencial surge de la propia naturaleza de la materia, que es la consideración sistemática de las razones de incremento de las funciones. Esta idea se nos presenta de inmediato por el estudio de la naturaleza; la velocidad es la razón de incremento de la distancia recorrida, y la aceleración es la razón de incremento de la velocidad.

Así, la idea fundamental de cambio, que se encuentra en la base de toda nuestra percepción de los fenómenos, sugiere inmediatamente la investigación sobre la razón de cambio. Los términos familiares de «rápidamente» y «lentamente» adquieren su significado a partir de una referencia tácita a las razones de cambio.

De este modo, el cálculo diferencial se ocupa de la clave misma de la posición desde la cual las matemáticas pueden aplicarse con éxito a la explicación del curso de la naturaleza.

Esta idea de la velocidad de cambio estaba ciertamente en la mente de Newton, y se plasmaba en el lenguaje con el que explicó el tema.

Cabe dudar, sin embargo, de si este punto de vista, derivado de los fenómenos naturales, estuvo alguna vez muy presente en la mente de los matemáticos precedentes que prepararon el tema para su nacimiento. Ellos se ocupaban de los problemas más abstractos de trazar tangentes a las curvas, de hallar las longitudes de las curvas y de encontrar las áreas encerradas por las curvas.

Los dos últimos problemas, de la rectificación de curvas y la cuadratura de curvas, como se les llama, pertenecen al Cálculo Integral, que está sin embargo relacionado con el mismo tema general que el Cálculo Diferencial.

La introducción de la geometría analítica hace que ambos puntos de vista se fundan.

Sea (v. [fig.] 32) $A Q P$ una línea curva cualquiera y sea $P T$ la tangente en el punto $P$ de la misma. Sean $O X$ y $O Y$ los ejes de coordenadas; y sea $y = f (x)$ la ecuación de la curva, de modo que $O M = x$ , y $P M = y$ .

Supongamos ahora que $Q$ es un punto móvil cualquiera sobre la curva, con coordenadas $x_{1}$ , $y_{1}$ ; entonces $y_{1} = f (x_{1})$ . Y sea $Q^{'}$ el punto sobre la tangente con la misma abscisa $x_{1}$ ; supongamos que las coordenadas de $Q^{'}$ son $x_{1}$ y $y^{'}$ .

Supongamos ahora que $N$ se desplaza a lo largo del eje $O X$ de izquierda a derecha con velocidad uniforme; entonces es fácil ver que la ordenada $y^{'}$ del punto $Q^{'}$ en la tangente $T P$ también aumenta uniformemente a medida que $Q^{'}$ se mueve a lo largo de la tangente de manera correspondiente.

De hecho, es fácil ver que la razón de la tasa de incremento de $Q^{'} N$ a la tasa de incremento de $O N$ está en la razón de $Q^{'} N$ a $T N$ , la cual es la misma en todos los puntos de la línea recta. Pero la tasa de incremento de $Q N$ , que es la tasa de incremento de $f (x_{1})$ , varía de un punto a otro de la curva mientras esta no sea recta. A medida que $Q$ pasa por el punto $P$ , la tasa de incremento de $f (x_{1})$ (donde $x_{1}$ coincide con $x$ por un instante)

es el mismo que la razón de cambio de $y^{'}$ en la tangente en $P$ .

Por consiguiente, si disponemos de un método general para determinar la razón de cambio de una función $f (x)$ de una variable $x$ , podemos determinar la pendiente de la tangente en cualquier punto $(x, y)$ de una curva, y a partir de ahí podemos trazarla.

Así pues, los problemas de trazar tangentes a una curva y de determinar las razones de cambio de una función son en realidad idénticos.

Se notará que, al igual que en los casos de las Secciones Cónicas y la Trigonometría, el más artificial de los dos puntos de vista es aquel en el que el tema tuvo su origen.

El aspecto realmente fundamental de la ciencia solo cobró prominencia comparativamente tarde. Es una generalización histórica bien fundada que lo último que se descubre en cualquier ciencia es de qué trata realmente dicha ciencia.

Los hombres siguen tanteando a ciegas durante siglos, guiados meramente por un instinto tenue y una curiosidad desconcertada, hasta que por fin «se libera alguna gran verdad».

Tomemos algunos casos especiales para familiarizarnos con el tipo de ideas que queremos precisar.

Un tren está en movimiento; ¿cómo determinaremos su velocidad en un instante dado, digamos, al mediodía?

Podemos tomar un intervalo de cinco minutos que incluya el mediodía, y medir qué distancia ha recorrido el tren en ese período. Supongamos que resulta ser de cinco millas, entonces podemos concluir que el tren corría a razón de $60$ millas por hora.

Pero cinco millas es una gran distancia, y no podemos estar seguros de que justo al mediodía el tren se estuviera moviendo a ese ritmo. Al mediodía puede haber estado corriendo a $70$ millas por hora, y después se pudo haber aplicado el freno.

Será más seguro trabajar con un intervalo más pequeño, digamos un minuto, que incluya el mediodía, y medir el espacio recorrido durante ese período. Pero para algunos propósitos se puede requerir mayor precisión, y un minuto puede ser demasiado largo.

En la práctica, la imprecisión necesaria de nuestras mediciones hace que sea inútil tomar un período demasiado pequeño para la medición.

Pero en teoría, cuanto menor sea el período, mejor, y nos sentimos tentados a decir que para lograr una precisión ideal se requiere un período infinitamente pequeño. Los matemáticos más antiguos, en particular Leibniz, no solo sintieron la tentación, sino que cayeron en ella y efectivamente lo dijeron. Aún hoy es una manera útil de hablar, siempre que sepamos cómo interpretarla en el lenguaje del sentido común.

Resulta curioso que, en su exposición de los fundamentos del cálculo, Newton, el científico natural, sea mucho más filosófico que Leibniz, el filósofo, y que, por otra parte, Leibniz proporcionara la admirable notación que ha sido tan esencial para el progreso de la disciplina.

Ahora tomemos otro ejemplo dentro del ámbito de la matemática pura. Procedamos a hallar la tasa de incremento de la función $x^{2}$ para cualquier valor $x$ de su argumento. Todavía no hemos definido realmente qué entendemos por tasa de incremento. Intentaremos comprender su significado en relación con este caso particular. Cuando $x$ aumenta a $x + h$ , la función $x^{2}$ aumenta a $(x + h)^{2}$ ; de modo que el incremento total ha sido $(x + h)^{2} - x^{2}$ , debido a un incremento $h$ en el argumento. De ahí que en todo el intervalo $x$ a $(x + h)$ , el incremento medio de la función por unidad de incremento del argumento sea $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ . Pero $(x + h)^{2} = x^{2} + 2 h x + h^{2},$ y por lo tanto $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 h x + h^{2}}{h} = 2 x + h .$ Así pues, $2 x + h$ es el incremento medio de la función $x^{2}$ por unidad de incremento en el argumento, tomando la media en el intervalo de $x$ a $x + h$ . Pero $2 x + h$ depende de $h$ , el tamaño del intervalo. Evidentemente obtendremos lo que queremos, a saber, la tasa de incremento en el valor $x$ del argumento, disminuyendo $h$ cada vez más. Por lo tanto, en el límite cuando $h$ ha disminuido indefinidamente, decimos que $2 x$ es la tasa de incremento de $x^{2}$ en el valor $x$ del argumento.

Aquí de nuevo nos vemos aparentemente empujados hacia la idea de cantidades infinitamente pequeñas al usar las palabras «en el límite cuando $h$ ha disminuido indefinidamente».

Leibniz sostenía que, por muy misterioso que pudiera sonar, existían en realidad tales cosas como las cantidades infinitamente pequeñas y, por supuesto, números infinitamente más pequeños que les correspondían. El lenguaje y las ideas de Newton seguían más las líneas modernas; pero no logró explicar el asunto con la suficiente claridad como para demostrar que hacía algo más que explicar las ideas de Leibniz con un lenguaje bastante indirecto.

La verdadera explicación del tema fue dada por primera vez por Weierstrass y la escuela de matemáticos de Berlín hacia mediados del siglo XIX. Pero entre Leibniz y Weierstrass había surgido una abundante literatura, tanto matemática como filosófica, en torno a estas misteriosas cantidades infinitamente pequeñas que las matemáticas habían descubierto y la filosofía se dispuso a explicar.

Algunos filósofos,

El obispo Berkeley, por ejemplo, negó correctamente la validez de toda la idea, aunque por razones distintas de las aquí indicadas.

Pero el curioso hecho seguía siendo que, a pesar de todas las críticas a los fundamentos del tema, no cabía duda de que el procedimiento matemático era sustancialmente correcto. De hecho, el tema era correcto, aunque las explicaciones fuesen erróneas. Es esta posibilidad de estar en lo cierto, aunque con explicaciones totalmente equivocadas sobre lo que se está haciendo, lo que hace tan a menudo que la crítica externa —al menos en la medida en que pretende detener la búsqueda de un método— resulte singularmente estéril y fútil en el progreso de la ciencia.

El instinto de los observadores formados, y su sentido de la curiosidad, debido al hecho de que evidentemente están llegando a algo, son guías mucho más seguras.

De cualquier modo, el efecto general del éxito del cálculo diferencial fue generar una gran cantidad de mala filosofía, centrada en torno a la idea de lo infinitamente pequeño. Los vestigios de esta verbosidad todavía pueden encontrarse en las explicaciones de muchos libros de texto de matemáticas elementales sobre el cálculo diferencial. Es una regla segura aplicar que, cuando un autor matemático o filosófico escribe con una profunda nebulosidad, está diciendo tonterías.

Newton habría formulado la pregunta diciendo que, a medida que $h$ se aproxima a cero, en el límite $2 x + h$ se convierte en $2 x$ . Es nuestra tarea explicar esta afirmación de tal modo que se muestre que en realidad no presupone encubiertamente la existencia de las cantidades infinitamente pequeñas de Leibniz.

Al releer el método de exposición newtoniano, tienta buscar la simplicidad diciendo que $2 x + h$ es $2 x$ , cuando $h$ es cero. Pero esto no sirve; pues con ello se anula el intervalo de $x$ a $x + h$ , sobre el cual se calculó el incremento medio.

El problema consiste en cómo mantener un intervalo de longitud $h$ sobre el cual calcular el incremento medio, y al mismo tiempo tratar a $h$ como si fuera cero. Newton hizo esto mediante la concepción de un límite, y ahora procedemos a dar la explicación de Weierstrass sobre su verdadero significado.

En primer lugar, obsérvese que, al analizar $2 x + h$ , hemos estado considerando que $x$ tiene un valor fijo y $h$ es variable.

En otras palabras, $x$ ha sido tratada como una variable «constante», o parámetro, tal como se explica en el capítulo IX; y en realidad hemos estado considerando $2 x + h$ como una función del argumento $h$ .

De ahí que podamos generalizar la cuestión que nos ocupa, y preguntar qué queremos decir al afirmar que la función $f (h)$ tiende al límite $l$ , digamos, a medida que su argumento $h$ tiende al valor cero.

Pero, una vez más, veremos que el valor especial cero para el argumento no pertenece a la esencia del tema; y de nuevo generalizamos aún más, y preguntamos qué queremos decir al afirmar que la función $f (h)$ tiende al límite $l$ a medida que $h$ tiende al valor $a$ .

Ahora bien, según la explicación de Weierstrass, la idea entera de que $h$ tiende al valor $a$ , aunque ofrece una especie de imagen metafórica de lo que pretendemos lograr, en realidad carece por completo de sentido.

De hecho, es bastante obvio que, mientras conservemos algo parecido a que « $h$ tiende a $a$ » como una idea fundamental, seguiremos atrapados en las garras de lo infinitamente pequeño; pues implícitamente admitimos la noción de que $h$ está infinitamente cerca de $a$ . Esto es precisamente de lo que queremos librarnos.

Por consiguiente, volveremos a enunciar nuestra frase por explicar, y preguntaremos qué queremos decir al afirmar que el límite de la función $f (h)$ en $a$ es $l$ .

El límite de $f (h)$ en $a$ es una propiedad del entorno de $a$ , donde "entorno" se usa en el sentido definido en el capítulo XI durante la discusión de la continuidad de las funciones. El valor de la función $f (h)$ en $a$ es $f (a)$ ; pero el límite es distinto en su concepto del valor, y puede ser diferente de este, y puede existir cuando el valor no ha sido definido.

También usaremos el término "grado de aproximación" en el sentido en que está definido en el capítulo XI. De hecho, en la definición de "continuidad" dada hacia el final de ese capítulo hemos definido prácticamente un límite. La definición de un límite es:–-

Una función $f (x)$ tiene el límite $l$ en un valor $a$ de su argumento $x$ , cuando en el vecindario de $a$ sus valores se aproximan a $l$ dentro de cualquier estándar de aproximación.

Compare esta definición con la ya dada para continuidad, a saber:–-

Una función $f (x)$ es continua en un valor $a$ de su argumento cuando, en el entorno de $a$ , sus valores se aproximan a su valor en $a$ dentro de cualquier estándar de aproximación.

Es a la vez evidente que una función es continua en $a$ cuando (i) posee un límite en $a$ , y (ii) dicho límite es igual a su valor en $a$ .

Así, las ilustraciones de continuidad dadas al final del capítulo XI son ilustraciones de la idea de límite; a saber, todas ellas estaban dirigidas a probar que $f (a)$ era el límite de $f (x)$ en $a$ para las funciones consideradas y el valor de $a$ considerado.

En realidad es más instructivo considerar el límite en un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, considérese la función cuya gráfica se da en la [fig.] 20 del capítulo XI. Esta función $f (x)$ está definida de modo que tiene el valor $1$ para todos los valores del argumento excepto para los enteros $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , etc., y para estos valores enteros tiene el valor $0$ .

Ahora pensemos en su límite cuando $x = 3$ . Notamos que en la definición de límite se excluye el valor de la función en $a$ (en este caso, $a = 3$ ). Pero, excluyendo $f (3)$ , los valores de $f (x)$ , cuando $x$ se encuentra dentro de cualquier intervalo que (i) contiene a $3$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) no se extiende tan lejos como $2$ y $4$ , son todos iguales a $1$ ; y por lo tanto estos valores se aproximan a $1$ dentro de cualquier estándar de aproximación. De ahí que $1$ sea el límite de $f (x)$ en el valor $3$ del argumento $x$ , pero por definición $f (3) = 0$ .

Este es un ejemplo de una función que posee tanto un valor como un límite en el valor $3$ del argumento, pero el valor no es igual al límite.

Al final del capítulo XI se consideró la función $x^{2}$ en el valor $2$ del argumento. Su valor en $2$ es $2^{2}$ , es decir, $4$ , y se demostró que su límite también es $4$ . Por lo tanto, aquí tenemos una función con un valor y un límite que son iguales.

Finalmente llegamos al caso que es esencialmente importante para nuestros propósitos, a saber, a una función que posee un límite, pero ningún valor definido en un determinado valor de su argumento. No necesitamos ir muy lejos para buscar tal función, $\frac{2 x}{x}$ servirá a nuestro propósito.

Ahora bien, en cualquier libro de matemáticas, podríamos encontrar la ecuación $\frac{2 x}{x} = 2$ , escrita sin vacilación ni comentario. Pero hay una dificultad en esto; porque cuando $x$ es cero, $\frac{2 x}{x} = \frac{0}{0}$ ; y $\frac{0}{0}$ no tiene un significado definido.

Así, el valor de la función $\frac{2 x}{x}$ en $x = 0$ no tiene un significado definido. Pero para cualquier otro valor de $x$ , el valor de la función $\frac{2 x}{x}$ es $2$ . Por lo tanto, el límite de $\frac{2 x}{x}$ en $x = 0$ es $2$ , y no tiene valor en $x = 0$ .

De manera similar, el límite de $\frac{x^{2}}{x}$ en $x = a$ es $a$ cualquiera que sea $a$ , de modo que el límite de $\frac{x^{2}}{x}$ en $x = 0$ es $0$ . Pero el valor de $\frac{x^{2}}{x}$ en $x = 0$ toma la forma $\frac{0}{0}$ , la cual no tiene un significado definido. Así, la función $\frac{x^{2}}{x}$ tiene un límite pero ningún valor en $0$ .

Volvemos ahora al problema con el que iniciamos esta discusión sobre la naturaleza de un límite. ¿Cómo vamos a definir la razón de incremento de la función $x^{2}$ para cualquier valor $x$ de su argumento? Nuestra respuesta es que esta razón de incremento es el límite de la función $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ en el valor cero para su argumento $h$ . (Nótese que aquí $x$ es una "constante".) Veamos cómo funciona esta respuesta a la luz de nuestra definición de límite. Tenemos $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 h x + h^{2}}{h} = \frac{h (2 x + h)}{h} .$

Ahora bien, al hallar el límite de $\frac{h (2 x + h)}{h}$ en el valor $0$ del argumento $h$ , el valor (si lo hay) de la función en $h = 0$ queda excluido. Pero para todos los valores de $h$ , excepto $h = 0$ , podemos dividir ambos términos entre $h$ .

Por tanto, el límite de $\frac{h (2 x + h)}{h}$ en $h = 0$ es el mismo que el de $2 x + h$ en $h = 0$ .

Ahora bien, cualquier que sea el estándar de aproximación $k$ que decirnos tomar, al considerar el intervalo de $- \frac{1}{2} k$ a $+ \frac{1}{2} k$ vemos que, para los valores de $h$ que caen dentro de él, $2 x + h$ difiere de $2 x$ en menos de $\frac{1}{2} k$ , es decir, en menos de $k$ . Esto es cierto para cualquier estándar $k$ .

De ahí que, en la vecindad del valor $0$ para $h$ , $2 x + h$ se aproxime a $2 x$ dentro de cualquier estándar de aproximación, y por consiguiente $2 x$ sea el límite de $2 x + h$ en $h = 0$ .

Por tanto, según lo dicho anteriormente, $2 x$ es el límite de $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ en el valor $0$ para $h$ . Se sigue, por consiguiente, que $2 x$ es lo que hemos llamado la razón de incremento de $x^{2}$ en el valor $x$ del argumento.

Así, este método nos conduce a la misma razón de incremento para $x^{2}$ que la forma leibniziana de hacer que $h$ crezca "infinitamente pequeño".

Los términos más abstractos «coeficiente diferencial»,

o «función derivada», se usan generalmente para lo que hasta ahora hemos llamado la «tasa de aumento» de una función.

La definición general es la siguiente: el coeficiente diferencial de la función $f (x)$ es el límite, si existe, de la función $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ del argumento $h$ en el valor $0$ de su argumento.

¿Cómo hemos logrado realmente, mediante esta definición y la definición subsidiaria de límite, evitar la noción de «números infinitamente pequeños» que tanto preocupaba a nuestros antepasados matemáticos?

Para ellos, la dificultad surgía porque, por un lado, tenían que utilizar un intervalo de $x$ a $x + h$ sobre el cual calcular el incremento medio y, por otro lado, finalmente querían hacer $h = 0$ . El resultado era que parecían verse abocados a la noción de un intervalo existente de tamaño cero.

Ahora bien, ¿cómo evitamos esta dificultad? De este modo: utilizamos la noción de que, correspondiente a cualquier estándar de aproximación, se puede encontrar algún intervalo con tales y cuales propiedades. La diferencia radica en que nosotros hemos comprendido la importancia de la noción de «variable», y ellos no lo habían hecho.

Así, al final de nuestra exposición de las nociones esenciales del análisis matemático, somos conducidos de nuevo a las ideas con las que en el capítulo II comenzamos nuestra investigación: que en matemáticas las ideas fundamentalmente importantes son las de «algunas cosas» y «cualesquiera cosas».