Periodicidad en la Naturaleza
Toda la vida de la Naturaleza está dominada por la existencia de acontecimientos periódicos, es decir, por la existencia de sucesos sucesivos tan análogos entre sí que, sin forzar el lenguaje, pueden calificarse de recurrencias del mismo acontecimiento.
La rotación de la tierra produce los días sucesivos. Es verdad que cada día es diferente de los días precedentes, por abstractamente que definamos el significado de un día, de modo que excluyamos los fenómenos casuales. Pero con una definición de un día suficientemente abstracta, la distinción en propiedades entre dos días se vuelve tenue y ajena al interés práctico; y cada día puede concebirse entonces como una recurrencia del fenómeno de una rotación de la tierra.
Nuevamente el camino de la tierra alrededor del sol conduce a la recurrencia anual de las estaciones, e impone otra periodicidad a todas las operaciones de la naturaleza.
Otra periodicidad menos fundamental es proporcionada por las fases de la luna.
En la vida civilizada moderna, con su luz artificial, estas fases tienen escasa importancia, pero en la antigüedad, en climas donde los días son abrasadores y los cielos despejados, la vida humana estuvo al parecer muy influenciada por la existencia de la luz de la luna.
En consecuencia, nuestras divisiones en semanas y meses, con sus asociaciones religiosas, se han extendido entre los pueblos europeos desde Siria y Mesopotamia, aunque se encuentran observaciones independientes que siguen las fases lunares en la mayoría de las naciones.
Sin embargo, es a través de las mareas, y no de sus fases de luz y oscuridad, como la periodicidad de la luna ha influido principalmente en la historia de la tierra.
Nuestra vida corporal es esencialmente periódica. Está dominada por los latidos del corazón y la recurrencia de la respiración.
La presuposición de periodicidad es, en efecto, fundamental para nuestra propia concepción de la vida. No podemos imaginar un curso de la naturaleza en el que, a medida que los acontecimientos progresaran, fuéramos incapaces de decir: «Esto ya ha sucedido antes».
Toda la concepción de la experiencia como guía de la conducta estaría ausente. Los hombres siempre se encontrarían en situaciones nuevas que no poseerían ningún sustrato de identidad con nada de la historia pasada.
Faltaría el medio mismo de medir el tiempo como cantidad. Es posible que aún se reconociera que los acontecimientos ocurren en serie, de modo que unos fuesen anteriores y otros posteriores.
Pero ahora vamos más allá de este mero reconocimiento. No sólo podemos decir que tres acontecimientos, , , , ocurrieron en este orden, de modo que precedió a , y a ; sino que también podemos decir que el intervalo de tiempo transcurrido entre las ocurrencias de y fue el doble que el transcurrido entre y .
Ahora bien, la cantidad de tiempo depende esencialmente de observar el número de recurrencias naturales que han mediado. Podemos decir que la duración temporal entre y fue de tantos días, o tantos meses, o tantos años, según el tipo de recurrencia al que deseemos apelar.
En efecto, al comienzo de la civilización, estos tres modos de medir el tiempo eran realmente distintos. Ha sido una de las primeras tareas de la ciencia entre las naciones civilizadas o semicivilizadas el fusionarlos en una medida coherente.
Se debe comprender la magnitud total de esta tarea. Es necesario determinar, no solo qué número de días (por ejemplo, ) corresponden a un año determinado, sino también determinar previamente que el mismo número de días corresponde efectivamente a los años sucesivos.
Podemos imaginar un mundo en el que existen periodicidades, pero de tal modo que ninguna sea coherente con otra. En algunos años podría haber días y en otros . La determinación de la amplia consistencia general de las periodicidades más importantes fue el primer paso en la ciencia natural.
Esta consistencia no surge de ninguna ley del pensamiento intuitiva y abstracta; es meramente un hecho observado de la naturaleza garantizado por la experiencia.
En verdad, dista tanto de ser una ley necesaria, que ni siquiera es exactamente verdadera. Hay divergencias en cada caso.
En algunos casos estas divergencias se observan fácilmente y, por tanto, son inmediatamente aparentes. En otros casos se requieren las observaciones más refinadas y precisión astronómica para hacerlas aparentes.
A grandes rasgos, todas las recurrencias que dependen de seres vivos, como los latidos del corazón, están sujetas, en comparación con otras recurrencias, a variaciones rápidas.
Las grandes recurrencias estables y obvias —estables en el sentido de coincidir mutuamente con gran precisión— son aquellas que dependen del movimiento de la Tierra en su conjunto, y de movimientos similares de los cuerpos celestes.
Por tanto, suponemos que estas recurrencias astronómicas marcan intervalos iguales de tiempo. ¿Pero cómo hemos de lidiar con sus discrepancias, que las refinadas observaciones de la astronomía detectan? Aparentemente nos vemos reducidos a la suposición arbitraria de que uno u otro de estos conjuntos de fenómenos marca tiempos iguales —por ejemplo, que todos los días son de igual duración, o que todos los años son de igual duración—. Esto no es así: hay que hacer algunas suposiciones, pero la suposición que subyace a todo el procedimiento de los astrónomos al determinar la medida del tiempo es que las leyes del movimiento se verifican exactamente.
Antes de explicar cómo se hace esto, es interesante observar que esta delegación de la determinación de la medida del tiempo en los astrónomos surge (como se ha dicho) de la estable consistencia de las recurrencias con las que tratan.
Si se hubiera observado una consistencia superior semejante entre las recurrencias características del cuerpo humano, habríamos acudido naturalmente a los médicos para la regulación de nuestros relojes.
Al considerar cómo las leyes del movimiento entran en juego, nótese que dos modos inconsecuentes de medir el tiempo producirán diferentes variaciones de velocidad en el mismo cuerpo.
Por ejemplo, supongamos que definimos una hora como la veinticuatroava parte de un día, y tomamos el caso de un tren que marcha uniformemente durante dos horas a razón de veinte millas por hora. Tomemos ahora una medida del tiempo notoriamente inconsecuente, y supongamos que hace que la primera hora sea dos veces más larga que la segunda hora.
Entonces, según esta otra medida de duración, el tiempo del recorrido del tren se divide en dos partes, durante cada una de las cuales ha recorrido la misma distancia, a saber, veinte millas; pero la duración de la primera parte es dos veces más larga que la de la segunda parte.
De ahí que la velocidad del tren no haya sido uniforme y, en promedio, la velocidad durante el segundo período sea el doble que la del primer período.
Por lo tanto, la cuestión de si el tren ha estado funcionando de manera uniforme o no depende enteramente del patrón de tiempo que adoptemos.
Ahora bien, para todos los propósitos ordinarios de la vida en la tierra, las diversas recurrencias astronómicas pueden considerarse como absolutamente consistentes; y, además, suponiendo su consistencia, y suponiendo por ende las velocidades y los cambios de velocidad que poseen los cuerpos, hallamos que las leyes del movimiento, que se han considerado anteriormente, se verifican casi exactamente.
Pero solo casi exactamente cuando llegamos a algunos de los fenómenos astronómicos. Hallamos, sin embargo, que al suponer velocidades ligeramente diferentes para las rotaciones y movimientos de los planetas y estrellas, las leyes se verificarían exactamente. Esta suposición se hace entonces; y de hecho hemos adoptado con ello una medida del tiempo que, en verdad, se define mediante la referencia a los fenómenos astronómicos, pero no de modo que sea consistente con la uniformidad de ninguno de ellos.
Pero sigue pie el hecho general de que el flujo uniforme del tiempo en el que tanto se basa depende a su vez de la observación de acontecimientos periódicos.
Aun los fenómenos que en la superficie parecen fortuitos y excepcionales, o que, por otra parte, se mantienen con una persistencia uniforme, pueden deberse a la influencia remota de la periodicidad.
Tómese por ejemplo el principio de resonancia.
La resonancia surge cuando dos conjuntos de circunstancias conectadas tienen las mismas periodicidades. Es una ley dinámica que las pequeñas vibraciones de todos los cuerpos, cuando se les deja a su aire, ocurren en tiempos determinados característicos del cuerpo.
Así, un péndulo con una oscilación pequeña siempre vibra en un tiempo determinado, característico de su forma, de la distribución de su peso y de su longitud. Un cuerpo más complicado puede tener muchas maneras de vibrar; pero cada uno de sus modos de vibración tendrá su propio «periodo» peculiar. Esos periodos de vibración de un cuerpo se denominan sus periodos «libres».
- Así, un péndulo tiene un solo periodo de vibración, mientras que un puente colgante tendrá muchos.
- Obtenemos un instrumento musical, como la cuerda de un violín, cuando los periodos de vibración son todos submúltiplos simples del más largo; es decir, si segundos es el periodo más largo, los otros son , , y así sucesivamente, donde cualquiera de estos periodos más pequeños puede estar ausente.
Ahora bien, supongamos que excitamos las vibraciones de un cuerpo mediante una causa que es en sí misma periódica; entonces, si el período de la causa es muy cercano al de uno de los períodos del cuerpo, ese modo de vibración del cuerpo se excita de manera muy violenta; aun cuando la magnitud de la causa excitadora sea pequeña.
Este fenómeno se llama «resonancia».
La razón general es fácil de entender. Cualquiera que quiera desestabilizar una piedra oscilante empujará «en sintonía».
con las oscilaciones de la piedra, para asegurar como siempre un momento favorable para un empujón. Si los empujones están desentonados, algunos aumentan las oscilaciones, pero otros las frenan. Pero cuando están sintonizados, al cabo de un tiempo todos los empujones son favorables. La palabra «resonancia»
proviene de consideraciones sobre el sonido: pero el fenómeno se extiende mucho más allá del ámbito del sonido. Las leyes de absorción y emisión de luz dependen de él, la «sintonización» de los receptores para la telegrafía sin hilos, la importancia relativa de las influencias de los planetas en el movimiento mutuo de estos, el peligro para un puente colgante cuando las tropas lo cruzan marchando al unísono, y la vibración excesiva de algunos barcos bajo el golpeteo rítmico de su maquinaria a ciertas velocidades.
Esta coincidencia de periodicidades puede producir fenómenos estables cuando existe una asociación constante entre los dos eventos periódicos, o puede producir estallidos violentos y repentinos cuando la asociación es fortuitita y temporal.
Nuevamente, los períodos de vibración característicos y constantes mencionados anteriormente son las causas subyacentes de lo que se nos aparece como excitaciones constantes de nuestros sentidos.
Trabajamos durante horas bajo una luz constante, o escuchamos un sonido constante e invariable. Pero, si la ciencia moderna está en lo cierto, esta constancia no tiene equivalente en la naturaleza. La luz constante se debe al impacto sobre el ojo de un número incontable de ondas periódicas en un éter vibrante, y el sonido constante, a ondas similares en un aire vibrante.
No es nuestro propósito aquí explicar la teoría de la luz o la teoría de la sonido. Hemos dicho lo suficiente para hacer evidente que uno de los primeros pasos necesarios para hacer de las matemáticas un instrumento adecuado para la investigación de la Naturaleza es que deban ser capaces de expresar la periodicidad esencial de las cosas.
Si hemos comprendido esto, podemos entender la importancia de las concepciones matemáticas que debemos considerar a continuación, a saber, las funciones periódicas.