Trigonometría

La trigonometría no tuvo su origen en la consideración general de la periodicidad de la naturaleza. A este respecto, su historia es análoga a la de las secciones cónicas, que también tuvieron su origen en ideas muy particulares. En efecto, una comparación entre las historias de ambas ciencias ofrece algunas analogías y contrastes muy instructivos.

La trigonometría, al igual que las secciones cónicas, tuvo su origen entre los griegos. Su inventor fue Hiparco (nacido hacia el 160 a. C.), un astrónomo griego que realizó sus observaciones en Rodas. Sus servicios a la astronomía fueron muy grandes, y esta dejó sus manos convertida en una materia verdaderamente científica, con importantes resultados establecidos y el método correcto de progreso indicado. Tal vez la invención de la trigonometría no fue el menor de estos servicios para la ciencia principal de su estudio. El siguiente hombre que amplió la trigonometría fue Ptolomeo, el gran astrónomo alejandrino, a quien ya hemos mencionado.

Ahora vemos de inmediato el gran contraste entre las cónicas y la trigonometría.

El origen de la trigonometría fue práctico; se inventó porque era necesario para la investigación astronómica.

El origen de las cónicas fue puramente teórico. La única razón de su estudio inicial fue el interés abstracto de las ideas implicadas.

Característicamente, las cónicas se inventaron unos $150$ años antes que la trigonometría, durante el período más brillante del pensamiento griego. Pero la importancia de la trigonometría, tanto para la teoría como para la aplicación de las matemáticas, es solo uno de los innumerables ejemplos de las ideas fructíferas que la ciencia general ha obtenido de sus aplicaciones prácticas.

Intentaremos aclararnos qué es la trigonometría y por qué debe ser generada por el estudio científico de la astronomía.

En primer lugar:

• ¿Cuáles son las medidas que puede hacer un astrónomo?
• Son medidas de tiempo y medidas de ángulos.

El astrónomo puede ajustar un telescopio (pues es más fácil hablar del instrumento familiar de los astrónomos modernos) de modo que solo pueda girar alrededor de un eje fijo que apunte hacia el este y el oeste; el resultado es que el telescopio solo puede apuntar hacia el sur, con mayor o menor elevación en la dirección, o, si se hace girar más allá del cénit, apuntar hacia el norte.

Este es el instrumento de tránsito, el gran instrumento para la medida exacta de los tiempos en los que las estrellas se encuentran exactamente al sur o al norte.

Pero indirectamente este instrumento mide ángulos. Pues cuando se ha anotado el tiempo transcurrido entre los tránsitos de dos estrellas, mediante la suposición de la rotación uniforme de la tierra, obtenemos el ángulo que la tierra ha girado en ese período de tiempo.

A su vez, mediante otros instrumentos, el ángulo entre dos estrellas puede medirse directamente. Pues si $E$ es el ojo del astrónomo, 22 y $EA$ y $EB$ son las direcciones en las que se ven las estrellas, es fácil idear instrumentos que midan el ángulo $AEB$.

Por lo tanto, cuando el astrónomo está levantando un mapa de los cielos, está, de hecho, midiendo ángulos para fijar las direcciones relativas de las estrellas y los planetas en cualquier instante.

De nuevo, en el problema análogo de la geodesia, los ángulos son el objeto principal de las mediciones.

Las mediciones directas de la longitud solo son posibles en raras ocasiones con alguna precisión; los ríos, las casas, los bosques, las montañas y las irregularidades generales del terreno se interponen en el camino.

El levantamiento de todo un país dependerá únicamente de una o dos mediciones directas de la longitud, realizadas con el mayor esmero en lugares seleccionados como la llanura de Salisbury. La labor principal de un levantamiento es la medición de ángulos.

Por ejemplo, $A$, $B$ y $C$ serán puntos conspicuos en el distrito que se va a levantar, digamos las cimas de las torres de las iglesias. Estos puntos son visibles los unos desde los otros.

Luego es muy sencillo medir en $A$ el ángulo $BAC$, en $B$ el ángulo $ABC$ y en $C$ el ángulo $BCA$.

Teóricamente, solo es necesario medir dos de estos ángulos; pues, por una conocida proposición de la geometría, la suma de los tres ángulos de un triángulo equivale a dos rectos, de modo que, cuando se conocen dos de los ángulos, se puede deducir el tercero.

Sin embargo, en la práctica es mejor medir los tres, y así se pueden corregir pequeños errores de observación.

En el proceso de cartografía, un país se cubre completamente de triángulos de este modo. Este proceso se llama triangulación y es el procedimiento fundamental en un levantamiento topográfico.

Ahora bien, cuando se conocen todos los ángulos de un triángulo, se conoce su forma; es decir, la forma en contraposición al tamaño. Llegamos aquí al gran principio de la semejanza geométrica. La idea nos resulta muy familiar en sus aplicaciones prácticas. Todos estamos familiarizados con la idea de un plano dibujado a escala. Así, si la escala de un plano es de una pulgada por yarda, una longitud de tres pulgadas en el plano representa una longitud de tres yardas en el original. Asimismo, las formas representadas en el plano son las formas del original, de modo que un ángulo recto en el original aparece como un ángulo recto en el plano. De manera similar, en un mapa, que no es más que el plano de un país, las proporciones de las longitudes en el mapa son las proporciones de las distancias entre los lugares indicados, y las direcciones en el mapa son las direcciones en el país. Por ejemplo, si en el mapa un lugar está al nor-noroeste de otro, también lo está en la realidad; es decir, en un mapa los ángulos son los mismos que en la realidad.

La semejanza geométrica puede definirse así:

• Dos figuras son semejantes (i) si a cualquier punto de una figura le corresponde un punto de la otra, de modo que a cada línea le corresponda una línea y a cada ángulo un ángulo, y (ii) si las longitudes de las líneas correspondientes guardan una proporción fija, y las magnitudes de los ángulos correspondientes son iguales.

La proporción fija entre las longitudes de las líneas correspondientes en un mapa (o plano) y en el original se denomina escala del mapa. La escala debe indicarse siempre en el margen de todo mapa y plano.

Ya se ha señalado que dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente iguales son semejantes. Así, si los dos triángulos 24 $ABC$ y $DEF$ tienen los ángulos en $A$ y $D$ iguales, y los de $B$ y $E$, y los de $C$ y $F$, entonces $DE$ es a $AB$ en la misma proporción que $EF$ es a $BC$, y que $FD$ es a $CA$.

Pero no es cierto para otras figuras que la semejanza esté garantizada por la mera igualdad de ángulos. Tomemos, por ejemplo, los casos familiares de un rectángulo y un cuadrado.

Sea $ABCD$ un cuadrado y $ABEF$ un rectángulo. Entonces todos los ángulos correspondientes son iguales. Pero 25 mientras que el lado $AB$ del cuadrado es igual al lado $AB$ del rectángulo, el lado $BC$ del cuadrado mide aproximadamente la mitad del lado $BE$ del rectángulo. De ahí que no sea verdad que el cuadrado $ABCD$ sea semejante al rectángulo $ABEF$.

Esta propiedad peculiar del triángulo, que no comparten otras figuras rectilíneas, la convierte en la figura fundamental en la teoría de la semejanza. De ahí que en topografía la triangulación sea el proceso fundamental; y de ahí surge también la palabra «trigonometría».

derivado de las dos palabras griegas trigonon, triángulo, y metria, medición. La pregunta fundamental de la que surgió la trigonometría es la siguiente: dadas las magnitudes de los ángulos de un triángulo, ¿qué se puede afirmar sobre las magnitudes relativas de los lados?

Nótese que decimos "magnitudes relativas de los lados", ya que, según la teoría de la semejanza, solo se conocen las proporciones de los lados. Para responder a esta pregunta, se introducen ciertas funciones de las magnitudes de un ángulo, considerado como el argumento.

En su origen, estas funciones se obtenían considerando un triángulo rectángulo, y la magnitud del ángulo se definía por la longitud del arco de una circunferencia. En los libros elementales modernos, la posición fundamental del arco de la circunferencia como definidor de la magnitud del ángulo ha quedado relegada a un segundo plano, lo cual no beneficia ni a la teoría ni a la claridad de la explicación.

Debe observarse primero que, en relación con la semejanza, el círculo ocupa la misma posición fundamental entre las figuras curvilíneas que el triángulo entre las figuras rectilíneas.

Cualesquiera dos círculos son figuras semejantes; solo se diferencian en la escala. Las longitudes de las circunferencias de dos círculos, como $AP{A}^{\prime }$ y $A_1{P}_1{A}_1^{\prime }$ en la [fig.] 26, son proporcionales a las longitudes de sus radios.

Además, si los dos círculos tienen el mismo centro $O$, al igual que los dos círculos de la [fig.] 26, entonces los arcos $AP$ y $A_1{P}_1$ interceptados por los lados de cualquier ángulo $AOP$, también son proporcionales a sus radios.

De ahí que la razón entre la longitud del arco $AP$ y la longitud del radio $OP$, es decir, ${\displaystyle \frac{\text{arco }AP}{\text{radio }OP}}$, sea un número que es totalmente independiente de la longitud $OP$, y sea el mismo que la fracción ${\displaystyle \frac{\text{arco }{A}_1{P}_1}{\text{radio }O{P}_1}}$.

Esta fracción de "arco dividido por radio" es la manera teórica adecuada de medir la magnitud de un ángulo; ya que no depende de ninguna unidad de longitud arbitraria, ni de ninguna forma arbitraria de dividir un ángulo asumido arbitrariamente, como un ángulo recto.

Así, la fracción ${\displaystyle \frac{AP}{OA}}$ representa la magnitud del ángulo $AOP$.

Ahora tracemos $PM$ perpendicularmente a $OA$.

Luego, los matemáticos griegos llamaron a la línea $PM$ el seno del arco $AP$, y a la línea $OM$ el coseno del arco $AP$. Sabían muy bien que la importancia de las relaciones de estas diversas líneas entre sí dependía de la teoría de la semejanza que acabamos de exponer.

Pero no hicieron que sus definiciones expresaran las propiedades que surgen de esta teoría. Tampoco tenían en mente las ideas generales modernas respecto a las funciones como correlación de pares de números variables, ni de hecho conocían concepción moderna alguna del álgebra y el análisis algebraico.

En consecuencia, les era natural pensar meramente en las relaciones entre ciertas líneas en un diagrama. Para nosotros el caso es diferente: deseamos incorporar nuestras ideas más potentes.

Por tanto, en las matemáticas modernas, en lugar de considerar el arco $AP$, consideramos la fracción ${\displaystyle \frac{AP}{OP}}$, que es un número igual para todas las longitudes de $OP$; y, en lugar de considerar las líneas $PM$ y $OM$, consideramos las fracciones ${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ y ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$, que a su vez son números que no dependen de la longitud de $OP$, es decir, que no dependen de la escala de nuestros diagramas. Luego definimos el número ${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ como el seno del número ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$, y el número ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$ como el coseno del número ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$.

Estas formas fraccionarias son engorrosas de imprimir; así pues, pongamos $u$ para la fracción ${\displaystyle \frac{AP}{OP}}$, que representa la magnitud del ángulo $AOP$, y pongamos $v$ para la fracción ${\displaystyle \frac{PM}{OM}}$, y $w$ para la fracción ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$.

Entonces $u$, $v$, $w$ son números y, puesto que estamos hablando de cualquier ángulo $AOP$, son números variables.

Pero existe una correlación entre sus magnitudes, de modo que cuando se da $u$ (es decir, el ángulo $AOP$), las magnitudes de $v$ y $w$ quedan definitivamente determinadas.

De ahí que $v$ y $w$ sean funciones del argumento $u$. Hemos llamado $v$ al seno de $u$, y $w$ al coseno de $u$.

Deseamos adaptar la notación funcional general $y=f(x)$ a estos casos especiales: de modo que en las matemáticas modernas escribimos "$\sin$" en lugar de "$f$" cuando queremos indicar la función especial del "seno", y "$\cos$" en lugar de "$f$" cuando queremos indicar la función especial del "coseno".

Por lo tanto, con los significados anteriores para $u$, $v$, $w$, obtenemos

$v=\sin u,\text{y}w=\cos u,$

donde se omiten los paréntesis que rodean a la $x$ en $f(x)$ para las funciones especiales.

El significado de estas funciones $\sin$ y $\cos$ al correlacionar los pares de números $u$ y $v$, y $u$ y $w$ es que las relaciones funcionales deben encontrarse construyendo (v. [fig.] 26) un ángulo $AOP$, cuya medida «$AP$ dividido por $OP$» sea igual a $u$, y que entonces $v$ sea el número dado por «$PM$ dividido por $OP$» y $w$ sea el número dado por «$OM$ dividido por $OP$».

Es evidente que sin algunas definiciones adicionales tendremos dificultades cuando el número $u$ se tome demasiado grande. Pues entonces el arco $AP$ puede ser mayor que un cuarto de la circunferencia del círculo, y el punto $M$ (véase las figs. [fig:26]26 y [fig:27]27) puede caer entre $O$ y $A^{\prime }$ y no entre $O$ y $A$. Asimismo, $P$ puede estar por debajo de la línea $AO{A}^{\prime }$ y no por encima de ella como en la [fig.]26.

Para superar esta dificultad recurrimos a las ideas y convenciones de la geometría analítica al formular nuestras definiciones completas del seno y del coseno. Sea uno de los lados $OA$ del ángulo el eje $OX$, y prodúzcase el eje hacia atrás para obtener su parte negativa $O{X}^{\prime }$. Trazase el otro eje $YO{Y}^{\prime }$ perpendicular a él. Sea un punto cualquiera $P$ a una distancia $r$ de $O$ con coordenadas $x$ e $y$. Estas coordenadas son ambas positivas en el primer «cuadrante» del plano, p. ej. las coordenadas $x$ e $y$ de $P$ 27 en la [fig.] 27. En los demás cuadrantes, una o ambas coordenadas son negativas, por ejemplo, $x^{\prime }$ e $y$ para $P^{\prime }$, y $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ para $P^{″}$, y $x$ e $y^{\prime }$ para $P^{‴}$ en la [fig.] 27, donde $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ son ambos números negativos.

El ángulo positivo $POA$ es el arco $AP$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{\prime }$ es el arco $AB{P}^{\prime }$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{″}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{P}^{″}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{‴}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }{P}^{‴}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$.

Pero aun así no hemos ido lo bastante lejos. Pues supongamos que elegimos $u$ como un número mayor que la razón entre la circunferencia entera del círculo y su radio.

Debido a la semejanza de todos los círculos, esta razón es la misma para todos ellos. En matemáticas se denota siempre con el símbolo $2\pi$, donde $\pi$ es la forma griega de la letra p y su nombre en el alfabeto griego es «pi».

Se puede demostrar que $\pi$ es un número incomensurable y que, por tanto, su valor no puede expresarse mediante ninguna fracción, ni mediante ningún decimal exacto o periódico. Su valor con unas pocas cifras decimales es $3,14159$; para muchos propósitos, un valor aproximado suficientemente preciso es ${\displaystyle \frac{22}{7}}$.

Los matemáticos pueden calcular fácilmente $\pi$ con cualquier grado de precisión requerido, del mismo modo que se puede calcular $\sqrt{2}$. Su valor se ha llegado a dar efectivamente hasta $707$ cifras decimales. Tal elaboración del cálculo es meramente una curiosidad y carece de interés práctico o teórico.

La determinación precisa de $\pi$ es una de las dos partes del famoso problema de la cuadratura del círculo.

La otra parte del problema consiste en describir, mediante los métodos teóricos de la geometría pura, una línea recta de longitud igual a la circunferencia.

Hoy se sabe que ambas partes del problema son imposibles; y el problema insoluble ha perdido ya todo interés práctico o teórico especial, al haberse absorbido en ideas más amplias.

Tras esta digresión sobre el valor de $\pi$, volvemos ahora a la cuestión de la definición general de la magnitud de un ángulo, con el fin de poder producir un ángulo correspondiente a cualquier valor $u$. Supongamos que un punto móvil, $Q$, parte de $A$ sobre $OX$ (véase la [fig.] 27) y gira en dirección positiva (en sentido contrario a las agujas del reloj, en la figura considerada) alrededor de la circunferencia del círculo un número cualquiera de veces, para detenerse finalmente en cualquier punto, por ejemplo en $P$ o $P^{\prime }$ o $P^{″}$ o $P^{‴}$. Entonces, la longitud total del camino circular curvilíneo recorrido, dividida por el radio del círculo, $r$, es la definición generalizada de un ángulo positivo de cualquier tamaño. Sean $x$, $y$ las coordenadas del punto en el que se detiene el punto $Q$, es decir, en una de las cuatro posiciones alternativas mencionadas en la [fig.] 27; $x$ e $y$ (tal como se utilizan aquí) serán $x$ e $y$, o bien $x^{\prime }$ e $y$, o bien $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$, o bien $x$ e $y^{\prime }$.

Entonces el seno de este ángulo generalizado es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$. Con estas definiciones, las relaciones funcionales $v=\sin u$ y $w=\cos u$ quedan por fin definidas para todos los valores reales positivos de $u$. Para los valores negativos de $u$ simplemente tomamos la rotación de $Q$ en la dirección opuesta (en el sentido de las agujas del reloj); pero no vale la pena extendernos más en este punto, una vez que se ha explicado el método general de procedimiento.

Estas funciones de seno y coseno, tal como han sido definidas, nos permiten abordar los problemas relativos al triángulo a partir del cual surgió la Trigonometría. Pero ahora nos encontramos en condiciones de relacionar la Trigonometría con la idea más amplia de periodicidad, cuya importancia se explicó en el capítulo anterior.

Es fácil ver que las funciones $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas de $u$. Pues consideremos la posición, $P$ (en la [fig.] 27), de un punto móvil, $Q$, que ha partido de $A$ y ha girado alrededor de la circunferencia. Esta posición, $P$, determina los ángulos ${\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y $2\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y $4\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y $6\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y así indefinidamente.

Ahora bien, todos estos ángulos tienen el mismo seno y coseno, a saber, ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y ${\displaystyle \frac{x}{r}}$. De ahí que sea fácil ver que, si se elige $u$ con cualquier valor, los argumentos $u$ y $2\pi +u$, y $4\pi +u$, y $6\pi +u$, y $8\pi +u$ y así indefinidamente, tienen todos los mismos valores para sus senos y cosenos correspondientes. En otras palabras,

{4} \sin u &= \sin(2\pi + u) &&= \sin(4\pi + u) &&= \sin(6\pi + u) &&= \text{etc.}; \ \cos u &= \cos(2\pi + u) &&= \cos(4\pi + u) &&= \cos(6\pi + u) &&= \text{etc.}

Este hecho se expresa diciendo que $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas con su período igual a $2\pi$.

La gráfica de la función $y=\sin x$ (notase que ahora abandonamos $v$ y $u$ por las más familiares $y$ y $x$) se muestra en la [fig.]28. Tomamos sobre el eje de las $x$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $\pi$, y sobre el eje de las $y$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $1$. Los valores numéricos del seno y del coseno nunca pueden superar la unidad. Se advertirá la recurrencia de la figura tras periodos de $2\pi$. Esta gráfica representa el estilo más simple de función periódica, a partir del cual se construyen todas las demás. El coseno no aporta nada fundamentalmente diferente del seno. Pues es fácil demostrar que $\cos x=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$; de ahí que pueda verse que la gráfica de $\cos x$ es simplemente la [fig.]28 modificada trazando el eje $OY$ a través del punto en $OX$ marcado como ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, en vez de trazarlo en su posición real en la figura.

Es fácil construir una función «seno» en 28 en la que el período tenga cualquier valor asignado $a$. Pues no tenemos más que escribir $y=\sin \frac{2\pi x}{a},$ y luego $\sin \frac{2\pi (x+a)}{a}$

= \sin \left(\frac{2\pi x}{a} + 2\pi\right) = \sin \frac{2\pi x}{a}.$ Por lo tanto, el período de esta nueva función es ahora $a$. Demos ahora una definición general de lo que entendemos por función periódica. La función $f(x)$ es periódica, con período $a$, si (i) para cualquier valor de $x$ tenemos $f(x)=f(x+a)$, y (ii) no existe ningún número $b$ menor que $a$ tal que para cualquier valor de $x$, $f(x)=f(x+b)$.

La segunda cláusula se incluye en la definición porque cuando tenemos $\sin {\displaystyle \frac{2\pi x}{a}}$, no solo es periódico con el período $a$, sino también con los períodos $2a$ y $3a$, y así sucesivamente; esto surge ya que $\sin \frac{2\pi (x+3a)}{a}=\sin (\frac{2\pi x}{a}+6\pi )=\sin \frac{2\pi x}{a}.$

Así pues, es el período más pequeño el que queremos capturar y denominar el período de la función.

La mayor parte de la teoría abstracta de las funciones periódicas y la totalidad de las aplicaciones de la teoría a la ciencia física están dominadas por un teorema importante llamado Teorema de Fourier; a saber, que si $f(x)$ es una función periódica con el período $a$ y si $f(x)$ también satisface ciertas condiciones, que en la práctica siempre se presupone que cumplen las funciones sugeridas por los fenómenos naturales, entonces $f(x)$ puede escribirse como la suma de un conjunto de términos en la forma191

$$\begin{gathered} c_0+c_1\sin (\frac{2\pi x}{a}+e_1)+c_2\sin (\frac{4\pi x}{a}+e_2) \\ +c_3\sin (\frac{6\pi x}{a}+e_3)+\text{etc.} \end{gathered}$$

En esta fórmula $c_0$, $c_1$, $c_2$, $c_3$, etc., y también $e_1$, $e_2$, $e_3$, etc., son constantes, elegidas de modo que se adapten a la función en cuestión.

Nuevamente debemos preguntar: ¿Cuántos términos hay que elegir? Y aquí surge una nueva dificultad: pues podemos demostrar que, aunque en algunos casos particulares un número determinado servirá, en general todo lo que podemos hacer es aproximarnos tanto como queramos al valor de la función tomando cada vez más términos.

Este proceso de aproximación gradual nos lleva a la consideración de la teoría de las series infinitas, una parte esencial de la teoría matemática que consideraremos en el próximo capítulo.

El método anterior para expresar una función periódica como una suma de senos se denomina «análisis armónico» de la función.

Por ejemplo, en cualquier punto de la costa marina las mareas suben y bajan periódicamente. Así, en un punto cercano al estrecho de Dover habrá dos mareas diarias debido a la rotación de la tierra.

La crecida y bajada diarias de las mareas se complican por el hecho de que hay dos ondas mareales, una que sube por el canal de la Mancha y otra que ha rodeado el norte de Escocia y luego ha bajado hacia el sur por el mar del Norte.

Por otra parte, algunas mareas altas son más altas que otras: esto se debe al hecho de que el Sol también ejerce una influencia generadora de mareas, al igual que la Luna. De este modo se introducen periodos mensuales y de otro tipo.

Dejamos de lado la influencia excepcional de los vientos, que no puede preverse. El problema general del análisis armónico de las mareas consiste en encontrar conjuntos de términos como los de la expresión de la [página] 191 anterior, de modo que cada conjunto proporcione con aproximación exacta la contribución de las influencias generadoras de mareas de un «periodo» a la altura de la marea en cualquier instante. El argumento $x$ será, por tanto, el tiempo contado a partir de cualquier comienzo conveniente.

Nuevamente, el movimiento de vibración de una cuerda de lo violín se somete a un análisis armónico semejante, y lo mismo ocurre con las vibraciones del éter y del aire, que corresponden respectivamente a ondas de luz y ondas de sonido. Nos hallamos aquí en presencia de uno de los procesos fundamentales de la física matemática, a saber, nada menos que su método general para tratar el gran hecho natural de la Periodicidad.