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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS
Por A. N. WHITEHEAD, Sc.D., F.R.S.
Londres WILLIAMS NORGATE
0.5in0.5pt
HENRY HOLT Co., Nueva York Canadá: WM. BRIGGS, Toronto India: R. T. WASHBOURNE, Ltd.
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Editores:
HERBERT FISHER, M.A.. F.B.A.
PROF. GILBERT MURRAY, D.LlTT., LL.D., F.B.A.
PROF. J. ARTHUR THOMSON, M.A.
PROF. WILLIAM T. BREWSTER, M.A.
(UNIVERSIDAD DE COLUMBIA, EE. UU.)
NUEVA YORK
HENRY HOLT AND COMPANY
UNA INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS
POR A. N. WHITEHEAD, Sc.D., F.R.S.,
AUTOR DE "UNIVERSAL ALGEBRA", COAUTOR DE "PRINCIPIA MATHEMATICA"
NUEVA EDICIÓN REVISADA
LONDRES WILLIAMS AND NORGATE
IMPRESO POR
HAZELL, WATSON AND VINEY, LD., LONDON AND AYLESBURY.
ILa naturaleza abstracta de las matemáticas7
IIVariables15
IIIMétodos de Aplicación25
IVDynamics42
VEl simbolismo de las matemáticas58
VIGeneralizaciones del Número 71
VIIImaginary Numbers87
VIIIImaginary Numbers (Continued)101
IXGeometría Coordinada112
XConic Sections128
XIFunctions145
XIIPeriodicidad en la Naturaleza164
XIIITrigonometry173
XIVSeries194
XVEl cálculo diferencial217
XVIGeometry236
XVII Quantity 245
Notes250
Bibliografía251
Índice253
[Naturaleza de las Matemáticas]ILa Naturaleza Abstracta de las Matemáticas
El estudio de las matemáticas suele comenzar con una decepción.
Las importantes aplicaciones de la ciencia, el interés teórico de sus ideas y el rigor lógico de sus métodos generan la expectativa de una introducción rápida a procesos de interés. Se nos dice que, con su ayuda, las estrellas son pesadas y se cuentan los miles de millones de moléculas de una gota de agua.
Sin embargo, como el fantasma del padre de Hamlet, esta gran ciencia elude los esfuerzos de nuestras armas mentales por atraparla; «está aquí, está ahí, ya no está», y lo que sí vemos no sugiere la misma excusa de elusividad que le bastó al fantasma, a saber, que es demasiado noble para nuestros burdos métodos.
«Un acto de violencia», si alguna vez es excusable, bien puede «ofrecerse» a los resultados triviales que ocupan las páginas de algunos tratados matemáticos elementales.
La razón de este fracaso de la ciencia en estar a la altura de su reputación es que sus ideas fundamentales no se explican al estudiante desvinculadas del procedimiento técnico que se ha ideado para facilitar su presentación exacta en casos particulares.
En consecuencia, el desafortunado alumno se encuentra luchando por adquirir el conocimiento de un cúmulo de detalles que no están iluminados por ninguna concepción general.
Sin lugar a dudas, la destreza técnica es un requisito previo para una actividad mental valiosa: no lograremos apreciar el ritmo de Milton, ni la pasión de Shelley, mientras nos sea necesario deletrear las palabras y no estemos del todo seguros de las formas de las letras individuales.
En este sentido, no hay atajos para el aprendizaje. Pero es un error igualmente grave limitar la atención a los procesos técnicos, excluyendo la consideración de las ideas generales. Aquí radica el camino hacia la pedantería.
El objeto de los siguientes Capítulos no es enseñar matemáticas, sino permitir a los estudiantes, desde el principio mismo de su curso, saber de qué trata la ciencia y por qué es necesariamente el fundamento del pensamiento exacto aplicado a los fenómenos naturales.
Toda alusión en lo que sigue a deducciones detalladas en cualquier parte de la ciencia se insertará meramente con el propósito de dar un ejemplo, y se tendrá el cuidado de hacer que el argumento general sea comprensible, aun cuando aquí y allá se cite algún proceso técnico o símbolo que el lector no entienda con el propósito de ilustrar.
El primer contacto que la mayoría de las personas tiene con las matemáticas es a través de la aritmética. Que dos y dos son cuatro suele tomarse como el arquetipo de proposición matemática simple de la que todo el mundo ha oído hablar.
La aritmética, por tanto, será un buen tema que considerar para descubrir, de ser posible, la característica más obvia de la ciencia.
Ahora bien, el primer hecho notable acerca de la aritmética es que se aplica a todo, a los gustos y a los sonidos, a las manzanas y a los ángeles, a las ideas de la mente y a los huesos del cuerpo. La naturaleza de las cosas es perfectamente indiferente; de todas las cosas es verdad que dos y dos son cuatro.
Así pues, consignamos como la característica principal de las matemáticas el hecho de que tratan con propiedades e ideas que son aplicables a las cosas simplemente por ser cosas, y al margen de cualquier sentimiento, emoción o sensación particular que de algún modo esté conectado con ellas. Esto es lo que se entiende al calificar a las matemáticas de ciencia abstracta.
El resultado al que hemos llegado merece atención. Es natural pensar que una ciencia abstracta no puede tener gran importancia en los asuntos de la vida humana, puesto que ha omitido de su consideración todo aquello que posee un interés real.
Se recordará que Swift, en su descripción del viaje de Gulliver a Laputa, abriga opiniones divididas sobre este punto. Describe a los matemáticos de ese país como unos soñadores necios e inútiles, cuya atención debe ser despertada mediante abanicadores. Asimismo, el sastre matemático mide su altura con un cuadrante y deduce sus demás dimensiones mediante una regla y un compás, produciendo un traje de ropa que le sienta muy mal.
Por otra parte, los matemáticos de Laputa, gracias a su maravillosa invención de la isla magnética flotante en el aire, gobiernan el país y mantienen su supremacía sobre sus súbditos. Swift, en verdad, vivió en una época singularmente poco propicia para las burlas contra los matemáticos contemporáneos. Los Principia de Newton acababan de ser escritos, una de las grandes fuerzas que han transformado el mundo moderno. Swift bien podría haberse reído de un terremoto.
Pero una mera lista de los logros de las matemáticas es una forma insatisfactoria de formarse una idea de su importancia. Vale la pena dedicar un poco de reflexión a descubrir la razón fundamental por la cual las matemáticas, debido precisamente a su carácter abstracto, deben seguir siendo siempre uno de los temas más importantes para el pensamiento. Intentemos esclarecer por qué las explicaciones sobre el orden de los acontecimientos tienden necesariamente a volverse matemáticas.
Considera cómo todos los acontecimientos están interconectados.
Cuando vemos el relámpago, aguardamos el trueno; cuando oímos el viento, buscamos las olas en el mar; en el frío otoño, las hojas caen. Por doquier reina el orden, de modo que, una vez advertidas ciertas circunstancias, podemos prever que otras también estarán presentes.
El progreso de la ciencia consiste en observar estas interconexiones y en mostrar, con paciente ingenio, que los acontecimientos de este mundo en constante cambio no son sino ejemplos de unas pocas conexiones o relaciones generales llamadas leyes.
Ver lo que hay de general en lo particular y lo que hay de permanente en lo transitorio es el objetivo del pensamiento científico. A los ojos de la ciencia, la caída de una manzana, el movimiento de un planeta alrededor de un sol y la sujeción de la atmósfera a la tierra se perciben como ejemplos de la ley de la gravedad.
Esta posibilidad de desenmarañar las circunstancias más complejas y efímeras en varios ejemplos de leyes permanentes es la idea rectora del pensamiento moderno.
Ahora pensemos en el tipo de leyes que necesitamos para realizar completamente este ideal científico.
Nuestro conocimiento de los hechos particulares del mundo que nos rodea se obtiene a partir de nuestras sensaciones. Vemos, oímos, gustamos, olemos, sentimos calor y frío, y empujamos, y frotamos, y nos duele, y sentimos hormigueo. Estas son simplemente nuestras propias sensaciones personales: mi dolor de muelas no puede ser tu dolor de muelas, y mi vista no puede ser tu vista.
Pero atribuimos el origen de estas sensaciones a las relaciones entre las cosas que forman el mundo externo. Así, el dentista extrae no el dolor de muelas, sino la muela. Y no solo eso, también nos esforzamos por imaginar el mundo como un conjunto conectado de cosas que subyace a todas las percepciones de todas las personas. No hay un mundo de cosas para mis sensaciones y otro para las tuyas, sino un mundo en el que ambos existimos. Es la misma muela tanto para el dentista como para el paciente. Asimismo, oímos y tocamos el mismo mundo que vemos.
Es fácil, por tanto, comprender que queramos describir las conexiones entre estas cosas externas de algún modo que no dependa de ninguna sensación en particular, ni siquiera de todas las sensaciones de una persona determinada.
Las leyes a las que obedece el curso de los acontecimientos en el mundo de las cosas externas deben describirse, si es posible, de un modo universal y neutro, el mismo para los ciegos que para los sordos, y el mismo para seres con facultades que escapan a nuestro entendimiento que para los seres humanos normales.
Pero cuando hemos dejado a un lado nuestras sensaciones inmediatas, la parte más útil —por su claridad, definición y universalidad— de lo que queda se compone de nuestras ideas generales sobre las propiedades formales abstractas de las cosas; de hecho, las ideas matemáticas abstractas mencionadas anteriormente.
Así es como, paso a paso, y sin darse cuenta del pleno significado del proceso, la humanidad se ha visto conducida a buscar una descripción matemática de las propiedades del universo, porque solo de este modo puede formarse una idea general del curso de los acontecimientos, libre de toda referencia a personas particulares o a tipos particulares de sensación.
Por ejemplo, podría preguntarse en una cena: «¿Qué fue lo que subyacía a mi sensación de la vista, a la vuestra del tacto y a la suya del gusto y del olfato?», siendo la respuesta «una manzana». Pero, en su análisis final, la ciencia busca describir una manzana en términos de las posiciones y los movimientos de las moléculas, una descripción que nos ignora a mí, a ti y a él, y que también ignora la vista, el tacto, el gusto y el olfato.
Así pues, las ideas matemáticas, por el hecho de ser abstractas, proporcionan justo lo que se necesita para una descripción científica del curso de los acontecimientos.
Este punto suele entenderse mal por concebirse de un modo demasiado limitado.
Pitágoras vislumbró algo de esto al proclamar que el número era la fuente de todas las cosas. En los tiempos modernos, la creencia de que la explicación última de todas las cosas se hallaba en la mecánica newtoniana fue una premonición de la verdad de que toda ciencia, a medida que avanza hacia la perfección, se vuelve matemática en sus ideas.