Variables

Las matemáticas como ciencia comenzaron cuando por primera vez alguien, probablemente un griego, demostró proposiciones sobre cosas cualesquiera o sobre algunas cosas, sin especificar cosas particulares y definidas.

Estas proposiciones fueron enunciadas por primera vez por los griegos para la geometría; y, en consecuencia, la geometría fue la gran ciencia matemática griega. Tras el surgimiento de la geometría pasaron los siglos antes de que el álgebra tuviera un comienzo realmente efectivo, a pesar de algunos tenues anticipos por parte de los matemáticos griegos tardíos.

Las ideas de cualquier número y de algún número se introducen en el álgebra mediante el uso de letras, en lugar de los números definidos de la aritmética.

Así, en vez de decir que $2 + 3 = 3 + 2$ , en el álgebra generalizamos y decimos que, si $x$ e $y$ representan dos números cualesquiera, entonces $x + y = y + x$ .

De nuevo, en lugar de decir que $3 > 2$ , generalizamos y decimos que si $x$ es un número cualquiera, existe algún número (o números) $y$ tal que $y > x$ .

Podemos señalar de paso que esta última suposición —pues al ser expresada en su forma estricta y última es una suposición— es de vital importancia, tanto para la filosofía como para las matemáticas; ya que mediante ella se introduce la noción de infinito.

Tal vez se requirió la introducción de los números arábigos, con los cuales el uso de letras para representar números definidos ha sido completamente descartado en las matemáticas, para sugerir a los matemáticos la conveniencia técnica del uso de letras para las ideas de cualquier número y algún número.

Los romanos habrían indicado el año en que esto está escrito en la forma MDCCCCX., mientras que nosotros lo escribimos 1910, reservando así las letras para el otro uso. Pero esto es meramente una especulación.

Tras el surgimiento del álgebra, el cálculo diferencial fue inventado por Newton y

Leibniz, y luego se produjo una pausa en el progreso de la filosofía del pensamiento matemático en lo que respecta a estas nociones; y no fue hasta hace muy pocos años que se ha comprendido cuán fundamentales son todo y algún para la naturaleza misma de la matemática, con el resultado de abrir aún más temas para la exploración matemática.

Hagamos ahora algunas afirmaciones algebraicas sencillas, con el objeto de comprender exactamente cómo surgen estas ideas fundamentales.

(1) Para cualquier número $x$ , $x + 2 = 2 + x$ ;

(2) Para algún número $x$ , $x + 2 = 3$ ;

(3) Para algún número $x$ , $x + 2 > 3$ .

El primer punto que debe señalarse son las posibilidades contenidas en el significado de algunos, tal como se usa aquí.

Puesto que $x + 2 = 2 + x$ para cualquier número $x$ , es verdad para algún número $x$ . Por lo tanto, tal como se usa aquí, cualquiera implica algunos y algunos no excluye a cualquiera.

De nuevo, en el segundo ejemplo, hay de hecho un solo número $x$ tal que $x + 2 = 3$ , a saber, únicamente el número $1$ . Por lo tanto, el algunos puede ser un solo número.

Pero en el tercer ejemplo, cualquier número $x$ que sea mayor que $1$ da $x + 2 > 3$ . De ahí que haya un número infinito de números que responden al algún número en este caso.

Así pues, algunos puede ser cualquier cosa entre cualquiera y uno solo, incluidos ambos casos límite.

Es natural reemplazar las afirmaciones (2) y (3) por las preguntas:

(2') ¿Para qué número $x$ se cumple que $x + 2 = 3$ ;

(3') ¿Para qué números $x$ se cumple que $x + 2 > 3$ .

Considerando (2'), $x + 2 = 3$ es una ecuación, y es fácil ver que su solución es $x = 3 - 2 = 1$ .

Cuando hemos formulado la pregunta implícita en el enunciado de la ecuación $x + 2 = 3$ , a $x$ se la denomina la incógnita. El objetivo de la resolución de la ecuación es la determinación de la incógnita.

Las ecuaciones son de gran importancia en las matemáticas, y parece como si (2') ejemplificara una idea mucho más profunda y fundamental que el enunciado original (2). Esto, sin embargo, es un completo error.

La idea de la «variable» indeterminada tal como aparece en el uso de «algún» o «cualquiera» es la verdaderamente importante en matemáticas; la de la «incógnita» en una ecuación, que debe resolverse lo más rápidamente posible, es de uso meramente subordinado, aunque por supuesto es muy importante.

Una de las causas de la aparente trivialidad de gran parte del álgebra elemental es la preocupación de los libros de texto por la resolución de ecuaciones. El mismo comentario se aplica a la resolución de la desigualdad (3') en comparación con el enunciado original (3).

Pero la mayoría de las fórmulas interesantes, especialmente cuando está presente la idea de algunas, involucran más de una variable. Por ejemplo, la consideración de los pares de números $x$ e $y$ (fraccionarios o enteros) que satisfacen $x + y = 1$ involucra la idea de dos variables correlacionadas, $x$ e $y$ . Cuando hay dos variables presentes, ocurren los mismos dos tipos principales de afirmación. Por ejemplo, (1) para cualquier par de números, $x$ e $y$ , $x + y = y + x$ , y (2) para algunos pares de números, $x$ e $y$ , $x + y = 1$ .

El segundo tipo de afirmación invita a considerar el conjunto de pares de números que están unidos por alguna relación fija; en el caso dado, por la relación $x + y = 1$ . Un uso de las fórmulas del primer tipo, verdaderas para cualquier par de números, es que mediante ellas las fórmulas del segundo tipo pueden transformarse en un número indefinido de formas equivalentes. Por ejemplo, la relación $x + y = 1$ es equivalente a las relaciones $y + x = 1, (x - y) + 2 y = 1, 6 x + 6 y = 6,$ y así sucesivamente. Por lo tanto, un matemático hábil utiliza aquella forma equivalente de la relación bajo consideración que sea más conveniente para su propósito inmediato.

No es en general cierto que, cuando un par de términos satisfacen alguna relación fija, si se da uno de los términos, el otro también quede determinado de manera definida. Por ejemplo, cuando $x$ e $y$ satisfacen $y^{2} = x$ , si $x = 4$ , $y$ puede ser $\pm 2$ ; por lo tanto, para cualquier valor positivo de $x$ hay valores alternativos para $y$ . Asimismo, en la relación $x + y > 1$ , cuando se da $x$ o $y$ , queda abierto un número indefinido de valores para el otro.

De nuevo hay que señalar otro punto importante.

Si nos limitamos a los números positivos, enteros o fraccionarios, al considerar la relación $x + y = 1$ , entonces, si $x$ o $y$ es mayor que $1$ , no hay ningún número positivo que el otro pueda tomar para satisfacer la relación.

Así, el «campo» de la relación para $x$ está limitado a los números menores que $1$ , y de manera similar para el «campo» abierto a $y$ .

De nuevo, consideremos únicamente los números enteros, positivos o negativos, y tomemos la relación

$y^{2} = x$ , satisfecho por pares de dichos números.

Luego, cualquiera que sea el valor entero que se le dé a $y$ , $x$ puede asumir un valor entero correspondiente. Así que el "campo" para $y$ no tiene restricciones entre estos enteros positivos o negativos.

Pero el "campo" para $x$ está restringido de dos maneras. En primer lugar, $x$ debe ser positivo y, en segundo lugar, dado que $y$ ha de ser entero, $x$ debe ser un cuadrado perfecto.

En consecuencia, el "campo" de $x$ está restringido al conjunto de los enteros $1^{2}$ , $2^{2}$ , $3^{2}$ , $4^{2}$ , y así sucesivamente, es decir, a $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , y así sucesivamente.

El estudio de las propiedades generales de una relación entre pares de números se facilita mucho con el uso de un diagrama construido de la siguiente manera: 1

Trazarse dos rectas $O X$ y $O Y$ en ángulo recto; represéntese cualquier número $x$ mediante $x$ unidades (en cualquier escala) de longitud a lo largo de $O X$ , y cualquier número $y$ mediante $y$ unidades (en cualquier escala) de longitud a lo largo de $O Y$ .

Así, si $O M$ , a lo largo de $O X$ , tiene una longitud de $x$ unidades, y $O N$ , a lo largo de $O Y$ , tiene una longitud de $y$ unidades, al completar el paralelogramo $O M P N$ hallamos un punto $P$ que corresponde al par de números $x$ e $y$ . A cada punto le corresponde un par de números, y a cada par de números le corresponde un punto. El par de números se denomina las coordenadas del punto.

Entonces, los puntos cuyas coordenadas satisfacen alguna relación fija pueden indicarse de manera conveniente trazando una línea, si todos ellos yacen sobre una línea, o sombreando un área si son todos puntos del área.

Si la relación puede representarse mediante una ecuación como $x + y = 1$ , o $y^{2} = x$ , entonces los puntos yacen sobre una línea, la cual es recta en el primer caso y curva en el segundo. Por ejemplo, considerando únicamente números positivos, los puntos cuyas coordenadas satisfacen $x + y = 1$ yacen sobre la línea recta $A B$ en 1, donde $0 A = 1$ y $O B = 1$ . Así, este segmento de la línea recta $A B$ proporciona una representación gráfica de las propiedades de la relación bajo la restricción a números positivos.

Otro ejemplo de relación entre dos variables se presenta al considerar las variaciones en la presión y el volumen de una masa dada de alguna sustancia gaseosa —como el aire, el gas de alumbrado o el vapor— a temperatura constante.

Sea $v$ el número de pies cúbicos de su volumen y $p$ su presión en libras de peso por pulgada cuadrada. Entonces la ley, conocida como ley de Boyle, que expresa la relación entre $p$ y $v$ a medida que ambas varían, es que el producto $p v$ es constante, suponiendo siempre que la temperatura no se altera.

Supongamos, por ejemplo, que la cantidad del gas y sus demás circunstancias son tales que podemos escribir $p v = 1$ (el número exacto en el lado derecho de la ecuación no introduce ninguna diferencia esencial). 2

Luego en 2 tomamos dos líneas, $O V$ y $O P$ , en ángulo recto y trazamos $O M$ a lo largo de $O V$ para representar $v$ unidades de volumen, y $O N$ a lo largo de $O P$

para representar $p$ unidades de presión. Entonces el punto $Q$ , que se halla completando el paralelogramo $O M Q N$ , representa el estado del gas cuando su volumen es de $v$ pies cúbicos y su presión es de $p$ libras de peso por pulgada cuadrada.

Si las circunstancias de la porción de gas considerada son tales que $p v = 1$ , entonces todos estos puntos $Q$ que corresponden a cualquier estado posible de esta porción de gas deben yacer sobre la línea curva $A B C$ , la cual incluye todos los puntos para los cuales $p$ y $v$ son positivos, y $p v = 1$ . Así, esta línea curva ofrece una representación gráfica de la relación que se cumple entre el volumen y la presión.

Cuando la presión es muy grande, el punto $Q$ correspondiente debe estar cerca de $C$ , o incluso más allá de $C$ en la parte no dibujada de la curva; entonces el volumen será muy pequeño. Cuando el volumen es grande, $Q$ estará cerca de $A$ , o más allá de $A$ ; y entonces la presión será pequeña.

Nótese que un ingeniero o un físico puede querer conocer la presión particular correspondiente a un volumen asignado de manera precisa. Tenemos entonces el caso de determinar la incógnita $p$ cuando

$v$ es un número conocido. Pero esto es solo en casos particulares. Al considerar en general las propiedades del gas y cómo se comportará, él tiene que tener en su mente la forma general de toda la curva $A B C$ y sus propiedades generales.

En otras palabras, la idea verdaderamente fundamental es la del par de variables que satisfacen la relación $p v = 1$ . Este ejemplo ilustra cómo la idea de variables es fundamental, tanto en las aplicaciones como en la teoría de las matemáticas.