El simbolismo de las matemáticas

Volvemos ahora a las matemáticas puras y consideramos más de cerca el aparato de ideas a partir del cual se construye la ciencia. Nuestra primera preocupación es el simbolismo de la ciencia, y comenzamos con los símbolos más simples y universalmente conocidos, a saber, los de la aritmética.

Supongamos por el momento que tenemos ideas suficientemente claras sobre los números enteros, representados en la notación arábiga por $0$ , $1$ , $2$ , , $9$ , $10$ , $11$ , , $100$ , $101$ , y así sucesivamente. Esta notación fue introducida en Europa a través de los árabes, quienes al parecer la obtuvieron de fuentes hindús. La primera obra conocida en la que se encuentran los hechos históricos detallados relativos a las matemáticas puras se debe principalmente a A Short History of Mathematics, de W. W. R. Ball.

en la que se explica de manera sistemática, es obra de un matemático indio, Bhaskara (nacido en 1114). Pero los numerales en sí pueden rastrearse hasta el siglo VII de nuestra era, y tal vez fueron inventados originalmente en el Tíbet.

Para nuestros propósitos actuales, sin embargo, la historia de la notación es un detalle. El punto interesante que cabe señalar es el admirable ejemplo que este sistema numérico ofrece de la enorme importancia de una buena notación. Al liberar al cerebro de todo trabajo innecesario, una buena notación lo deja libre para concentrarse en problemas más avanzados y, de hecho, aumenta el poder mental de la raza humana.

Antes de la introducción de la notación arábiga, la multiplicación era difícil y la división, incluso de números enteros, exigía el uso de las más altas facultades matemáticas. Probablemente nada en el mundo moderno habría asombrado más a un matemático griego que enterarse de que, bajo la influencia de la educación obligatoria, una gran proporción de la población de Europa occidental podía realizar la operación de división con los números más grandes. Este hecho le habría parecido una absoluta imposibilidad.

La consiguiente extensión de la notación a las fracciones decimales no se logró hasta el siglo XVII. Nuestro poder moderno de calcular fácilmente con fracciones decimales es el resultado casi milagroso del descubrimiento gradual de una notación perfecta.

Las matemáticas se consideran a menudo una ciencia difícil y misteriosa, debido a los numerosos símbolos que emplean. Desde luego, nada hay más incomprensible que un simbolismo que no entendemos. Asimismo, un simbolismo que solo entendemos parcialmente y que no estamos acostumbrados a usar resulta difícil de seguir. Exactamente del mismo modo, los términos técnicos de cualquier profesión u oficio son incomprensibles para quienes nunca se han formado en su uso. Pero esto no se debe a que sean difíciles en sí mismos. Por el contrario, invariablemente se han introducido para facilitar las cosas. Así, en matemáticas, dado que prestemos cierta atención seria a las ideas matemáticas, el simbolismo es invariablemente una simplificación inmensa. No solo es de utilidad práctica, sino de gran interés; pues representa un análisis de las ideas de la materia y una representación casi pictórica de sus relaciones mutuas. Si alguien duda de la utilidad de los símbolos, que escriba por extenso, sin símbolo alguno, todo el significado de las siguientes ecuaciones que representan algunas de las leyes fundamentales del álgebra:–- Cf. Note A, noteA.60 x + y = y + x, \tag{\quad\ensuremath{(1)}} \ (x + y) + z = x + (y + z), \tag \ x × y = y × x, \tag}{\quad\ensuremath{(3)}} \ (x × y) × z = x × (y × z), \tag}} \ x × (y + z) = (x × y) + (x × z). \tag*{\quad\ensuremath{(5)}

Aquí (1) y (2) se llaman leyes conmutativa y asociativa de la suma, (3) y (4)

son las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación, y (5) es la ley distributiva que relaciona la suma y la multiplicación.

Por ejemplo, sin símbolos, (1) se convierte en:

Si se suma un segundo número a cualquier número dado, el resultado es el mismo que si el primer número dado se hubiera sumado al segundo número.

Este ejemplo muestra que, con la ayuda del simbolismo, podemos realizar transiciones en el razonamiento casi mecánicamente a través de la vista, las cuales de otro modo requerirían el uso de las facultades superiores del cerebro.

Es una perogrullada profundamente errónea, repetida en todos los cuadernos escolares y por gente eminente cuando pronuncia discursos, la de que debemos cultivar el hábito de pensar en lo que estamos haciendo.

Exactamente lo contrario es lo caso. La civilización avanza al extender el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar en ellas.

Las operaciones del pensamiento son como las cargas de caballería en una batalla: están estrictamente limitadas en número, requieren caballos frescos y solo deben realizarse en momentos decisivos.

Una propiedad muy importante que debe poseer el simbolismo es la de ser conciso, de modo que pueda verse de un solo golpe de vista y escribirse rápidamente.

Ahora bien, no podemos colocar los símbolos de manera más concisa que situándolos en inmediata yuxtaposición. Por lo tanto, en un buen simbolismo, la yuxtaposición de símbolos importantes debe tener un significado importante.

Esta es una de las virtudes de la notación arábiga para los números; mediante diez símbolos, $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , y mediante una simple yuxtaposición, simboliza cualquier número sin excepción.

Asimismo, en álgebra, cuando tenemos dos números variables $x$ e $y$ , debemos tomar una decisión sobre qué denotará su yuxtaposición $x y$ . Ahora bien, las dos ideas más importantes disponibles son las de adición y multiplicación. Los matemáticos han optado por hacer su simbolismo más conciso al definir que $x y$ representa a $x \times y$ .

Así, las leyes (3), (4) y (5) anteriores se escriben por lo general de este modo:

$x y = y x, (x y) z = x (y z), x (y + z) = x y + x z,$

logrando así una gran ganancia en concisión.

La misma regla de simbolismo se aplica a la yuxtaposición de un número determinado y una variable: escribimos $3 x$ en lugar de $3 \times x$ , y $30 x$ en lugar de $30 \times x$ .

Es evidente que al sustituir los números definidos por las variables hay que tener cierto cuidado de restituir el $\times$ , para no entran en conflicto con la notación arábiga. Así, cuando sustituimos $2$ por $x$ y $3$ por $y$ en $x y$ , debemos escribir $2 \times 3$ para $x y$ , y no $23$ , que significa $20 + 3$ .

Es interesante observar cuán importante para el desarrollo de la ciencia puede ser un símbolo de aspecto modesto. Puede representar la exposición enfática de una idea, a menudo una idea muy sutil, y mediante su existencia facilitar la exposición de la relación de esta idea con todas las complejas cadenas de ideas en las que aparece.

Por ejemplo, tomemos el más modesto de todos los símbolos, a saber, $0$ , que representa el número cero. La numeración romana no tenía ningún símbolo para el cero, y probablemente la mayoría de los matemáticos del mundo antiguo se habrían desconcertado horriblemente ante la idea del número cero. Pues, después de todo, es una idea muy sutil, que no resulta nada obvia. En las obras filosóficas se puede encontrar una gran cantidad de discusiones sobre el significado del cero de cantidad.

El cero no es, en verdad, más difícil o sutil en cuanto a su idea que los otros números cardinales. ¿Qué queremos decir con $1$ , con $2$ o con $3$ ? Pero estamos familiarizados con el uso de estas ideas, aunque la mayoría de nosotros nos veríamos en apuros para dar un análisis claro de las ideas más simples que concurren a formarlas.

La cuestión con respecto al cero es que no necesitamos usarlo en las operaciones de la vida cotidiana. Nadie sale a comprar cero pescados. Es, en cierto modo, el más civilizado de todos los cardinales, y su uso solo nos lo imponen las necesidades de los modos de pensamiento cultivados. Muchos servicios importantes son prestados por el símbolo $0$ , que representa el número cero.

El símbolo se desarrolló en relación con la notación arábiga para los números, de la cual es una parte esencial.

Pues en dicha notación el valor de un dígito depende de la posición en la que aparece. Considérese, por ejemplo, el dígito $5$ , tal como aparece en los números $25$ , $51$ , $3512$ , $5213$ .

En el primer número, $5$ representa cinco,
en el segundo número, $5$ representa cincuenta,
en el tercero, quinientos,
y en el cuarto número, cinco mil.

Ahora bien, cuando escribimos el número cincuenta y uno en la forma simbólica $51$ , el dígito $1$ empuja al dígito $5$ hacia el segundo lugar (contando de derecha a izquierda) y de este modo le otorga el valor de cincuenta.

Pero cuando queremos simbolizar el cincuenta por sí solo, no podemos contar con un dígito $1$ que cumpla esta función; necesitamos un dígito en el lugar de las unidades que no añada nada al total y que, sin embargo, empuje al $5$ hacia el segundo lugar. Esta función la desempeña el $0$ , el símbolo del cero.

Es extremadamente probable que los hombres que introdujeron [el símbolo] con este propósito no tuvieran en sus mentes una concepción definida del número cero.

Simplemente querían una marca para simbolizar el hecho de que nada era aportado por la posición del dígito en la que ocurre.

La idea del cero probablemente tomó forma gradualmente a partir del deseo de asimilar el significado de esta marca al de las marcas, $1$ , $2$ , , $9$ , que sí representan números cardinales.

Este no sería el único caso en el que una idea sutil se ha introducido en las matemáticas mediante un simbolismo que en su origen estuvo dictado por la conveniencia práctica.

Así, el primer uso del $0$ fue hacer posible la notación posicional[nota: arable es probablemente una errata por arabic en el original inglés, traducido como posicional/arábiga según el contexto matemático]*—lo cual no es un servicio menor.

Podemos imaginar que, cuando se introdujo con este fin, los hombres prácticos, de esos que aborrecen las ideas peregrinas, desaprobaron la tonta costumbre de identificarlo con el número cero. Pero se equivocoaron, como siempre les ocurre cuando abandonan su función propia de masticar los alimentos que otros han preparado. Porque el siguiente servicio prestado por el símbolo $0$ depende esencialmente de asignarle la función de representar el número cero.

Este segundo uso simbólico es a primera vista tan absurdamente sencillo que resulta difícil hacer que un principiante comprenda su importancia.

Comencemos con un ejemplo sencillo. En II. mencionamos la correlación entre dos números variables $x$ e $y$ representada por la ecuación $x + y = 1$ . Esta puede representarse de un número indefinido de maneras; por ejemplo, $x = 1 - y$ , $y = 1 - x$ , $2 x + 3 y - 1 = x + 2 y$ , y así sucesivamente. Pero la manera importante de expresarla es $x + y - 1 = 0 .$

De igual modo, la manera importante de escribir la ecuación $x = 1$ es $x - 1 = 0$ , y de representar la ecuación $3 x - 2 = 2 x^{2}$ es $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

El punto clave es que todos los símbolos que representan variables, p. ej. $x$ e $y$ , y los símbolos que representan algún número determinado distinto de cero, como $1$ o $2$ en los ejemplos anteriores, se escriben en el lado izquierdo, de modo que todo el lado izquierdo queda igualado al número cero.

Se dice que el primer hombre en hacer esto fue Thomas Harriot, nacido en Oxford en 1560 y fallecido en 1621.

Pero ¿cuál es la importancia de este sencillo procedimiento simbólico? Hizo posible el desarrollo de la concepción moderna de la forma algebraica.

Esta es una idea a la que deberemos recurrir continuamente; no es exagerado decir que ninguna parte de las matemáticas modernas se puede comprender adecuadamente sin recurrir constantemente a ella.

La concepción de forma es tan general que resulta difícil caracterizarla en términos abstractos. En esta etapa haremos mejor en limitarnos a considerar ejemplos.

Así, las ecuaciones $2 x - 3 = 0$ , $x - 1 = 0$ , $5 x - 6 = 0$ , son todas ecuaciones de la misma forma, a saber, ecuaciones que involucran una incógnita $x$ , la cual no está multiplicada por sí misma, de modo que no aparecen $x^{2}$ , $x^{3}$ , etc.

Asimismo, $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , $x^{2} - 4 = 0$ , son todas ecuaciones de la misma forma, a saber, ecuaciones que involucran una incógnita $x$ en la que aparece $x \times x$ , es decir, $x^{2}$ . Estas ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.

Del mismo modo, las ecuaciones cúbicas, en las que aparece $x^{3}$ , producen otra forma, y así sucesivamente.

Entre las tres ecuaciones cuadráticas dadas arriba hay una diferencia menor entre la última ecuación,

$x^{2} - 4 = 0$ , y las dos ecuaciones precedentes, debido al hecho de que $x$ (a diferencia de $x^{2}$ ) no aparece en la última y sí en las otras dos. Esta distinción es muy poco importante en comparación con el gran hecho de que las tres son ecuaciones cuadráticas.

Luego, además, existen las formas de ecuación que expresan correlaciones entre dos variables; por ejemplo, $x + y - 1 = 0$ , $2 x + 3 y - 8 = 0$ , y así sucesivamente.

Estos son ejemplos de lo que se denomina la forma lineal de ecuación. La razón de este nombre de «lineal» es que el método gráfico de representación, que se explica al final de II, siempre representa tales ecuaciones mediante una línea recta.

Luego hay otras formas para dos variables—por ejemplo, la forma cuadrática, la forma cúbica, y así sucesivamente. Pero el punto en el que insistimos aquí es que este estudio de la forma se ve facilitado, y de hecho hecho posible, por el método estándar de escribir ecuaciones con el símbolo $0$ en el lado derecho.

Existe además otra función que cumple el $0$ en relación con el estudio de la forma. Cualquiera que sea el número $x$ , $0 \times x = 0$ y $x + 0 = x$ .

Por medio de estas propiedades se pueden asimilar pequeñas diferencias de forma. Así, la diferencia mencionada anteriormente entre las ecuaciones cuadráticas $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ y $x^{2} - 4 = 0$ puede borrarse escribiendo esta última ecuación en la forma $x^{2} + (0 \times x) - 4 = 0$ .

Pues, según las leyes enunciadas anteriormente, $x^{2} + (0 \times x) - 4 = x^{2} + 0 - 4 = x^{2} - 4$ .

De ahí que la ecuación $x^{2} - 4 = 0$ sea meramente representativa de una clase particular de ecuaciones cuadráticas y pertenezca a la misma forma general que $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

Por estas tres razones el símbolo $0$ , que representa el número cero, es esencial para las matemáticas modernas. Ha hecho posibles tipos de investigación que habrían sido imposibles sin él.

El simbolismo de las matemáticas es, en verdad, el resultado de las ideas generales que dominan la ciencia.

Tenemos ahora ante nosotros dos de esas ideas generales: la de variable y la de forma algebraica.

La unión de estos conceptos ha impuesto a las matemáticas otro tipo de simbolismo, casi pintoresco en su carácter, pero no menos eficaz.

Hemos visto que una ecuación que involucra dos variables, $x$ e $y$ , representa una correlación particular entre el par de variables.

Así, $x + y - 1 = 0$ representa una correlación definida y $3 x + 2 y - 5 = 0$ representa otra correlación definida entre las variables $x$ e $y$ ; y ambas correlaciones tienen la forma de lo que hemos llamado correlaciones lineales.

Pero ahora, ¿cómo podemos representar cualquier correlación lineal entre los números variables $x$ e $y$ ? Aquí queremos simbolizar cualquier correlación lineal; así como $x$ simboliza cualquier número.

Esto se logra convirtiendo en letras los números que aparecen en la correlación definida $3 x + 2 y - 5 = 0$ . Obtenemos $a x + b y - c = 0$ .

Aquí $a$ , $b$ , $c$ representan números variables al igual que $x$ e $y$ ; pero hay una diferencia en el uso de los dos conjuntos de variables. Estudiamos las propiedades generales de la relación entre $x$ e $y$ mientras $a$ , $b$ y $c$ conservan valores inalterados.

No determinamos cuáles son los valores de $a$ , $b$ y $c$ ; pero cualesquiera que sean, permanecen fijos mientras estudiamos la relación entre las variables $x$ e $y$ para todo el grupo de valores posibles de $x$ e $y$ .

Pero cuando hemos obtenido las propiedades de esta correlación, notamos que, dado que $a$ , $b$ y $c$ de hecho no han sido determinados, hemos demostrado propiedades que deben pertenecer a cualquier relación de este tipo.

Así, al variar ahora $a$ , $b$ y $c$ , llegamos a la idea de que $a x + b y - c = 0$ representa una correlación lineal variable entre $x$ e $y$ . En comparación con $x$ e $y$ , las tres variables $a$ , $b$ y $c$ se denominan constantes. Las variables utilizadas de este modo a veces también se llaman parámetros.

Ahora bien, los matemáticos se ahorran habitualmente la molestia de explicar cuáles de sus variables deben tratarse como «constantes» y cuáles como variables, consideradas correlacionadas en sus ecuaciones, utilizando letras del final del alfabeto para las variables «variables», y letras del principio del alfabeto para las variables «constantes», o parámetros.

Los dos sistemas se encuentran de manera natural hacia la mitad del alfabeto. A veces es necesaria una palabra o dos de explicación; pero, en realidad, la costumbre y el sentido común suelen ser suficientes, y causa sorprendentemente poca confusión un procedimiento que parece tan laxo.

El resultado de esta continua eliminación de números definidos mediante capas sucesivas de parámetros es que la cantidad de aritmética realizada por los matemáticos es extremadamente pequeña.

A muchos matemáticos les disgusta todo cálculo numérico y no son particularmente expertos en él. El territorio de la aritmética termina allí donde las dos ideas de «variables» y de «forma algebraica» comienzan a ejercer su dominio.