Métodos de aplicación
La manera en que la idea de variables que satisfacen una relación se presenta en las aplicaciones de las matemáticas merece reflexión, y al dedicarle un tiempo aclararemos nuestras ideas sobre todo el tema.
Comencemos con el más simple de los ejemplos:–-Supongamos que construir cuesta s. por pie cúbico y que s. hacen £. Entonces, en todas las circunstancias complejas que concurren en la construcción de una nueva casa, en medio de todas las sensaciones y emociones del propietario, el arquitecto, el constructor, los obreros y los mirones a medida que la casa se eleva hasta su conclusión, esta correlación fija se da por supuesta por la ley entre el contenido cúbico y el coste para el propietario, a saber, que si es el número de pies cúbicos, y £ el coste, entonces . Se supone que esta correlación de e es verdadera para la construcción de cualquier casa por cualquier propietario. Asimismo, no se supone que el volumen de la casa y el coste hayan sido percibidos o comprendidos por ninguna sensación o facultad en particular, o por ningún hombre en particular. Se enuncian de un modo abstracto y general, con completa indiferencia hacia el estado mental del propietario cuando tiene que pagar la factura.
Ahora piense un poco más en lo que todo esto significa.
La construcción de una casa es un conjunto complicado de circunstancias. Es imposible empezar a aplicar la ley, o a comprobarla, a menos que en medio del curso general de los acontecimientos sea posible reconocer un conjunto definido de sucesos como formando una instancia particular de la construcción de una casa.
En resumen, debemos reconocer una casa cuando la vemos, y debemos reconocer los acontecimientos que pertenecen a su construcción. Entonces, en medio de estos acontecimientos, aislados así en la idea del resto de la naturaleza, los dos elementos del costo y el contenido cúbico deben ser determinables; y cuando ambos estén determinados, si la ley es verdadera, satisfacen la fórmula general
Pero ¿es cierta la ley? Cualquiera que haya tenido mucho que ver con la construcción sabrá que aquí hemos puesto el coste bastante alto. Solo para un tipo de casa costoso saldrá por este precio. Esto pone de relieve otro punto que debe quedar claro.
Mientras realizamos cálculos matemáticos relacionados con la fórmula , nos es indiferente que la ley sea verdadera o falsa. De hecho, los propios significados asignados a e , como número de pies cúbicos y número de libras esterlinas, resultan indiferentes.
Durante la investigación matemática estamos, en realidad, considerando meramente las propiedades de esta correlación entre un par de números variables e . Nuestros resultados se aplicarán igualmente bien si interpretamos que significa un número de pescadores y el número de peces pescados, de modo que la ley asumida sea que, en promedio, cada pescador pesca veinte peces.
La certeza matemática de la investigación solo se adscribe a los resultados considerados como propiedades de la correlación entre el par variable de números e .
No hay certeza matemática de ningún tipo sobre el coste de la construcción real de ninguna casa. La ley no es del todo cierta y el resultado que proporciona no será del todo preciso. De hecho, bien podría estar irremediablemente equivocada.
Ahora todo esto sin duda parece muy obvio.
Pero a decir verdad, en los casos más complicados no hay error más común que suponer que, debido a que se han realizado cálculos matemáticos prolongados y precisos, la aplicación del resultado a algún hecho de la naturaleza es absolutamente cierta.
La conclusión de ningún argumento puede ser más cierta que las premisas de las que parte. Todos los cálculos matemáticos sobre el curso de la naturaleza deben partir de alguna ley de la naturaleza supuesta, como, por ejemplo, la supuesta ley del coste de construcción indicada más arriba.
En consecuencia, por muy con precisión que hayamos calculado que debe ocurrir algún acontecimiento, la duda siempre permanece: ¿es verdadera la ley?
- Si la ley enuncia un resultado preciso, casi con seguridad no es precisamente exacta; y así, ni siquiera en el mejor de los casos es probable que ocurra el resultado tal como se ha calculado.
- Pero entonces no tenemos ninguna facultad capaz de observar con precisión ideal, así que, después de todo, nuestras leyes inexactas pueden ser lo suficientemente buenas.
Pasaremos ahora a un caso real, el de Newton y la ley de la gravedad.
Esta ley establece que dos cuerpos cualesquiera se atreven mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.
Por lo tanto, si y son las masas de los dos cuerpos, calculadas en libras, por ejemplo, y millas es la distancia entre ellos, la fuerza sobre cualquiera de los cuerpos, debida a la atracción del otro y dirigida hacia él, es proporcional a ; así, esta fuerza puede escribirse como igual a , donde es un número determinado que depende de la magnitud absoluta de esta atracción y también de la escala mediante la cual elegimos medir las fuerzas.
Es fácil ver que, si deseamos calcular en términos de fuerzas tales como el peso de una masa de libra, el número que representa debe ser sumamente pequeño; pues cuando , y se hacen iguales a cada uno, se convierte en la atracción gravitacional de dos masas iguales de libra a la distancia de una milla, y esta es totalmente inapreciable.
Sin embargo, ahora ya tenemos nuestra fórmula para la fuerza de atracción. Si llamamos a esta fuerza , es , lo que da la correlación entre las variables , , y .
Todos conocemos la historia de cómo fue descubierta. Se cuenta que Newton estaba sentado en un huerto y observó la caída de una manzana, y entonces la ley de la gravitación universal se le reveló en la mente. Puede ser que la formulación definitiva de la ley se le ocurriera en un huerto, además de en otros lugares—y en alguna parte tenía que estar.
Pero para nuestros propósitos es más instructivo detenernos en la inmensa cantidad de pensamiento preparatorio, producto de muchas mentes y muchos siglos, que fue necesaria antes de que pudiera formularse esta ley exacta. En primer lugar, tuvo que generarse el hábito mental matemático y el procedimiento matemático explicados en los dos capítulos anteriores; de otro modo, Newton nunca habría podido concebir una fórmula que representara la fuerza entre dos masas cualesquiera a cualquier distancia.
Por otra parte, ¿cuáles son los significados de los términos empleados, Fuerza, Masa, Distancia?
Tomemos el más fácil de estos términos: Distancia. Nos parece muy obvio concebir todas las cosas materiales como formando un todo geométrico bien definido, de tal modo que las distancias de las diversas partes sean medibles en función de alguna unidad de longitud, como una milla o una yarda.
Este es casi el primer aspecto de una estructura material que se nos ocurre. Es el resultado gradual del estudio de la geometría y de la teoría de la medición. Incluso ahora, en ciertos casos, otros modos de pensamiento resultan convenientes. En un país montañoso, las distancias suelen calcularse en horas.
Pero dejando a un lado la distancia, los otros términos, Fuerza y Masa, son mucho más oscuros. La comprensión exacta de las ideas que Newton quiso transmitir con estas palabras fue de lento desarrollo y, de hecho, el propio Newton fue el primer hombre que había dominado por completo los verdaderos principios generales de la Dinámica.
A lo largo de la Edad Media, bajo la influencia de Aristóteles, la ciencia fue enteramente malinterpretada.
Newton tuvo la ventaja de venir tras una serie de grandes hombres, notablemente Galileo, en Italia, quienes en los dos siglos anteriores habían reconstruido la ciencia y habían inventado la forma correcta de pensar en ella. Él completó su obra.
Luego, finalmente, teniendo las ideas de fuerza, masa y distancia claras y distintas en su mente, y comprendiendo su importancia y su relevancia para la caída de una manzana y los movimientos de los planetas, dio con la ley de la gravitación y demostró que es la fórmula que siempre se cumple en estos diversos movimientos.
El punto vital en la aplicación de las fórmulas matemáticas es tener ideas claras y una estimación correcta de su relevancia para los fenómenos bajo observación.
No menos que nosotros, nuestros remotos antepasados estaban impresionados por la importancia de los fenómenos naturales y por la conveniencia de tomar medidas enérgicas para regular la secuencia de los acontecimientos.
Bajo la influencia de ideas irrelevantes, ejecutaban elaborados ceremoniales religiosos para ayudar al nacimiento de la nueva luna, y realizaban sacrificios para salvar al sol durante la crisis de un eclipse.
No hay razón para creer que fuesen más estúpidos que nosotros. Pero en aquella época no había existido la oportunidad para la lenta acumulación de ideas claras y relevantes.
La manera en que las ciencias físicas evolucionan hasta adoptar una forma susceptible de ser tratada mediante métodos matemáticos se ilustra con la historia del desarrollo gradual de la ciencia del electromagnetismo.
Las tormentas son fenómenos a gran escala que despiertan terror en los hombres e incluso en los animales. Desde los primeros tiempos debieron de ser objeto de hipótesis descabelladas y fantásticas, aunque cabe dudar si nuestros modernos descubrimientos científicos en relación con la electricidad no son más asombrosos que cualquiera de las explicaciones mágicas de los salvajes.
Los griegos sabían que el ámbar (en griego, elektron), al ser frotado, atraía cuerpos ligeros y secos. En 1600, el doctor Gilbert, de Colchester, publicó la primera obra sobre el tema en la que se sigue algún método científico. Hizo una lista de sustancias que poseían propiedades similares a las del ámbar; también se le debe atribuir el mérito de haber relacionado, aunque de manera vaga, los fenómenos eléctricos y magnéticos.
A finales del siglo XVII y a lo largo del siglo XVIII el conocimiento avanzó. Se construyeron máquinas eléctricas, se obtuvieron chispas de ellas y se inventó la botella de Leyden, con la cual dichos efectos podían intensificarse. Se estaba obteniendo cierto conocimiento organizado; pero aún no se habían descubierto ideas matemáticas pertinentes. Franklin, en el año 1752, elevó una cometa hacia las nubes y demostró que las tormentas eran de naturaleza eléctrica.
Mientras que desde la época más remota (2634 a. C.) los chinos habían utilizado la propiedad característica de la aguja de la brújula, no parecen haberla relacionado con ninguna idea teórica.
Los cambios realmente profundos en la vida humana tienen todos su origen último en el conocimiento perseguido por sí mismo.
El uso de la brújula no se introdujo en Europa hasta finales del siglo XII, más de años después de su primer uso en China. La importancia que la ciencia del electromagnetismo ha adquirido desde entonces en todos los ámbitos de la vida humana no se debe a la superior inclinación práctica de los europeos, sino al hecho de que en Occidente los fenómenos eléctricos y magnéticos fueron estudiados por hombres dominados por intereses teóricos abstractos.
El descubrimiento de la corriente eléctrica se debe a dos italianos, Galvani en 1780, y Volta en 1792. Este gran invento abrió una nueva serie de fenómenos para la investigación.
El mundo científico tenía ahora a su disposición tres grupos de acontecimientos separados, aunque emparentados: los efectos de la electricidad «estática» proveniente de las máquinas eléctricas de fricción, los fenómenos magnéticos y los efectos debidos a las corrientes eléctricas.
Desde finales del siglo XVIII en adelante, estas tres líneas de investigación se interconectaron rápidamente y se construyó la ciencia moderna del electromagnetismo, que ahora amenaza con transformar la vida humana.
Aparecen ahora las ideas matemáticas. Durante la década de 1780 a 1789, Coulomb, un francés, demostró que los polos magnéticos se atraen o se repelen entre sí en proporción inversa al cuadrado de sus distancias, y también que la misma ley se cumple para las cargas eléctricas; leyes curiosamente análogas a la de la gravitación. En 1820, Öersted, un danés, descubrió que las corrientes eléctricas ejercen una fuerza sobre los imanes, y casi inmediatamente después la ley matemática de la fuerza fue formulada correctamente por Ampère, un francés, quien también demostró que dos corrientes eléctricas ejercían fuerzas la una sobre la otra. «La investigación experimental mediante la cual Ampère estableció la ley de la acción mecánica entre corrientes eléctricas es uno de los logros más brillantes de la ciencia. El conjunto, teoría y experimento, parece como si hubiera brotado, plenamente crecido y armado, de la mente del "Newton de la Electricidad". Es perfecto en su forma e inexpugnable en su precisión, y se resume en una fórmula a partir de la cual se pueden deducir todos los fenómenos, y que debe permanecer siempre como la fórmula cardinal de la electrodinámica». Electricity and Magnetism, Clerk Maxwell, Vol. II, cap. iii.
Las monumentales leyes de la inducción entre corrientes y entre corrientes e imanes fueron descubiertas por Michael Faraday en 1831–82.
A Faraday le preguntaron: "Para qué sirve este descubrimiento?". Él contestó: "Para qué sirve un niño; se convierte en un hombre".
El niño de Faraday se ha convertido en un hombre y es ahora la base de todas las aplicaciones modernas de la electricidad.
Faraday también reorganizó toda la concepción teórica de la ciencia. Sus ideas, que no habían sido comprendidas del todo por el mundo científico, fueron ampliadas y plasmadas en una forma directamente matemática por Clerk Maxwell en 1873.
Como resultado de sus investigaciones matemáticas, Maxwell reconoció que, bajo ciertas condiciones, las vibraciones eléctricas debían propagarse. Sugirió de inmediato que las vibraciones que forman la luz son eléctricas. Esta sugerencia ha sido verificada desde entonces, de modo que ahora toda la teoría de la luz no es más que una rama de la gran ciencia de la electricidad.
También Hertz, a
En 1888, Hertz, partiendo de las ideas de Maxwell, logró producir vibraciones eléctricas mediante métodos eléctricos directos. Sus experimentos son la base de nuestra telegrafía sin hilos.
En años más recientes se han hecho descubrimientos aún más fundamentales, y la ciencia sigue creciendo en importancia teórica y en interés práctico.
Este rápido esbozo de su progreso ilustra cómo, mediante la introducción gradual de las ideas teóricas pertinentes, sugeridas por el experimento y que a su vez sugieren nuevos experimentos, toda una masa de fenómenos aislados e incluso triviales se funde en una ciencia coherente, en la cual los resultados de deducciones matemáticas abstractas, que parten de unas pocas leyes supuestas y sencillas, proporcionan la explicación al complejo enmarañado del curso de los acontecimientos.
Por fin, yendo más allá de las ciencias particulares del electromagnetismo y de la luz, podemos generalizar aún más nuestro punto de vista y dirigir nuestra atención hacia el desarrollo de la física matemática considerada como un gran capítulo del pensamiento científico.
En primer lugar, ¿cuál es, en sus rasgos más esenciales, la historia de su desarrollo?
No comenzó como una sola ciencia, ni como el producto de un solo grupo de hombres.
Los pastores caldeos observaban los cielos, los agentes del gobierno en Mesopotamia y Egipto medían la tierra, sacerdotes y filósofos meditaban sobre la naturaleza general de todas las cosas.
La gran masa de las operaciones de la naturaleza parecía debida a fuerzas misteriosas e insondables.
"El viento sopla de donde quiere" expresa con precisión la absoluta ignorancia que entonces existía sobre cualquier regla estable seguida en detalle por la sucesión de fenómenos.
A grandes rasgos, entonces como ahora, la regularidad de los acontecimientos era evidente. Pero no era posible un seguimiento minucioso de su interconexión, y no se tenía conocimiento de cómo empezar siquiera a construir una ciencia tal.
Especulaciones aisladas, unos cuantos intentos afortunados o desafortunados sobre la naturaleza de las cosas, constituían el máximo que se podía producir.
Mientras tanto, las mediciones de tierras habían dado origen a la geometría, y las observaciones de los cielos revelaron la exacta regularidad del sistema solar.
Algunos de los griegos tardíos, como Arquímedes, tenían ideas acertadas sobre los fenómenos elementales de la hidrostática y la óptica. En efecto, Arquímedes, que combinaba el genio matemático con la intuición física, debe ser considerado, junto con Newton —quien vivió casi dos mil años después—, como uno de los fundadores de la física matemática.
Vivió en Siracusa, la gran ciudad griega de Sicilia. Cuando los romanos sitiaron la ciudad (entre los años 212 y 210), se dice que incendió sus naves concentrando en ellas los rayos del sol mediante espejos. La historia es sumamente improbable, pero constituye un buen testimonio de la reputación que se había ganado entre sus contemporáneos por sus conocimientos de óptica.
Al final de este sitio fue asesinado. Según uno de los relatos dados por Plutarco en su vida de
Marzelo, él fue hallado por un soldado romano absorto en el estudio de un diagrama geométrico que había trazado en el suelo arenoso de su habitación. No obedeció inmediatamente las órdenes de su captor, y por eso fue asesinado.
Para el mérito de los generales romanos hay que decir que los soldados tenían órdenes de perdonarle la vida. La evidencia interna de su otra historia famosa es muy fuerte; pues el descubrimiento que se le atribuye es uno eminentemente digno de su genio para la investigación matemática y física.
Por suerte, es lo bastante sencillo como para explicarlo aquí en detalle. Es uno de los mejores ejemplos sencillos del método de aplicación de las ideas matemáticas a la física.
Hierón, rey de Siracusa, había enviado una cierta cantidad de oro a un orfebre para confeccionar una corona. Sospechaba que los artesanos habían sustraído parte del oro y habían suplido su lugar aleando el resto con algún metal más vil.
Hierón envió la corona a Arquímedes y le pidió que la probara. En la actualidad se dispondría de un número indefinido de pruebas químicas. Pero entonces Arquímedes tuvo que resolver el asunto desde cero.
La solución acudió a su mente de repente mientras se bañaba. Se levantó de un salto y corrió por las calles hacia el palacio, gritando ¡Eureka! ¡Eureka! (Lo he encontrado, lo he encontrado).
Este día, si supiéramos cuál fue, debería celebrarse como el cumpleaños de la física matemática; la ciencia alcanzó la mayoría de edad cuando Newton se sentó en su huerto. Arquímedes había hecho en verdad un gran descubrimiento. Vio que un cuerpo, al ser sumergido en agua, es empujado hacia arriba por el agua circundante con una fuerza resultante igual al peso del agua que desplaza.
Esta ley puede demostrarse teóricamente a partir de los principios matemáticos de la hidrostática y también puede verificarse experimentalmente. Por lo tanto, si libras es el peso de la corona, tal como se pesa en el aire, y libras es el peso del agua que desplaza al ser sumergida por completo, sería la fuerza ascendente adicional necesaria para sostener la corona mientras cuelga en el agua.
Ahora bien, esta fuerza hacia arriba puede determinarse fácilmente pesando el cuerpo mientras cuelga en el agua, como se muestra en la figura adjunta. Si 3 los pesos en el platillo derecho suman lb., entonces el peso aparente de la corona en agua es lb.; y de este modo tenemos y por tanto y donde y se determinan mediante la operación sencilla y bastante precisa de pesar.
Por tanto, según la ecuación (A), se conoce . Pero es la relación entre el peso de la corona y el peso de un volumen igual de agua. Esta relación es la misma para cualquier trozo de metal del mismo material: hoy en día se denomina gravedad específica del material, y depende únicamente de la naturaleza intrínseca de la sustancia y no de su forma o cantidad.
Así pues, para comprobar si la corona era de oro, a Arquímedes le bastaba con tomar un trozo de oro indudablemente puro y hallar su gravedad específica mediante el mismo procedimiento. Si ambas gravedades específicas coincidían, la corona era pura; si no coincidían, estaba adulterada.
Este argumento se ha expuesto con detalle, no solo porque es el primer ejemplo preciso de la aplicación de ideas matemáticas a la física, sino también porque es un ejemplo perfecto y sencillo de lo que debe ser el método y el espíritu de esta ciencia para siempre.
La muerte de Arquímedes a manos de un soldado romano es simbólica de un cambio mundial de primera magnitud: los griegos teóricos, con su amor por la ciencia abstracta, fueron reemplazados en el liderazgo del mundo europeo por los romanos prácticos.
Lord Beaconsfield, en una de sus novelas, ha definido a un hombre práctico como aquel que practica los errores de sus antepasados.
Los romanos fueron una gran raza, pero estaban condenados por la esterilidad que acompaña a la practicidad. No mejoraron el conocimiento de sus antepasados, y todos sus avances se limitaron a los detalles técnicos menores de la ingeniería. No eran lo suficientemente soñadores como para llegar a nuevos puntos de vista que pudieran proporcionar un control más fundamental sobre las fuerzas de la naturaleza.
Ningún romano perdió la vida por estar absorto en la contemplación de un diagrama matemático.