Funciones

El uso matemático del término función también se ha adoptado en la vida común. Por ejemplo, «su temperamento es función de su digestión», utiliza el término exactamente en este sentido matemático. Significa que se puede asignar una regla que le dirá cuál será su temperamento cuando se sepa cómo funciona su digestión.

Por lo tanto, la idea de «función» es bastante simple, solo tenemos que ver cómo se aplica en las matemáticas a los números variables. Pensemos primero en algunos ejemplos concretos:

• Si un tren ha estado viajando a una velocidad de veinte millas por hora, la distancia ($s$ millas) recorrida después de cualquier número de horas, digamos $t$, está dada por $s=20\times t$; y $s$ se llama una función de $t$. Asimismo, $20\times t$ es la función de $t$ con la cual $s$ es idéntica.
• Si Juan es un año mayor que Tomás, entonces, cuando Tomás tiene una edad de $x$ años, la edad de Juan ($y$ años) está dada por $y=x+1$; y $y$ es una función de $x$, a saber, es la función $x+1$.

En estos ejemplos, $t$ y $x$ se denominan los "argumentos" de las funciones en las que aparecen.

Así, $t$ es el argumento de la función $20\times t$, y $x$ es el argumento de la función $x+1$.

Si $s=20\times t$ y $y=x+1$, entonces $s$ e $y$ se denominan los "valores" de las funciones $20\times t$ y $x+1$ respectivamente.

Llegando ahora al caso general, podemos definir una función en matemáticas como una correlación entre dos números variables, llamados respectivamente el argumento y el valor de la función, de tal manera que, cualquiera que sea el valor que se le asigne al «argumento de la función», el «valor de la función» queda definida (es decir, unívocamente) determinado.

Lo recíproco no es necesariamente cierto, a saber, que cuando el valor de la función está determinado, el argumento también quede unívocamente determinado. Otras funciones del argumento $x$ son $y=x^2$,

$y=2x^2+3x+1$, $y=x$, $y=\log x$, $y=\sin x$.

Las dos últimas funciones de este grupo serán fácilmente reconocibles para quienes entiendan un poco de álgebra y trigonometría. No vale la pena detenerse ahora en su explicación, ya que solo se citan a modo de ejemplo.

Hasta este punto, aunque hemos definido lo que entendemos por función en general, solo hemos mencionado una serie de funciones especiales. Pero las matemáticas, fieles a sus métodos generales de procedimiento, simbolizan la idea general de cualquier función. Lo hacen escribiendo

$F(x)$, $f(x)$, $g(x)$, $\varphi (x)$, etc., para cualquier función de $x$, donde el argumento $x$ se coloca entre paréntesis, y alguna letra como $F$, $f$, $g$, $\varphi$, etc., se antepone al paréntesis para representar la función.

Esta notación tiene sus defectos. Así, choca evidentemente con la convención de que las letras individuales deben representar números variables; puesto que aquí $F$, $f$, $g$, $\varphi$, etc., antepuestas a un paréntesis representan funciones variables.

Sería fácil dar ejemplos en los que solo podemos fiarnos del sentido común y del contexto para ver qué se quiere decir. Una forma de eludir la confusión es utilizando letras griegas (por ejemplo, $\varphi$ como antes) para las funciones; otra forma es mantenerse en $f$ y $F$ (la letra inicial de función) para la letra funcional y, si hay que simbolizar otras funciones variables, tomar una letra adyacente como $g$.

Con estas explicaciones y precauciones, escribimos $y=f(x)$, para denotar que $y$ es el valor de alguna función indeterminada del argumento $x$; donde $f(x)$ puede representar cualquier cosa tal como $x+1$, $x^2-2x+1$, $\sin x$, $\log x$, o meramente $x$ en sí mismo.

El punto esencial es que cuando se da $x$, entonces $y$ queda por ello definitivamente determinado. Es importante tener muy clara la generalidad de esta idea. Así, en $y=f(x)$, podemos determinar, si así lo elegimos, que $f(x)$ signifique que cuando $x$ es un número entero, $f(x)$ es cero, y cuando $x$ tiene cualquier otro valor, $f(x)$ es $1$.

En consecuencia, al poner $y=f(x)$, con esta elección para el significado de $f$, $y$ es $0$ o $1$ según que el valor de $x$ sea entero o de otro tipo. Así, $f(1)=0$, $f(2)=0$, $f(\frac{2}{3})=1$, $f(\sqrt{2})=1$, y así sucesivamente. Esta elección para el significado de $f(x)$ da una función perfectamente válida del argumento $x$ según la definición general de una función.

Una función, que al fin y al cabo no es más que una especie de correlación entre dos variables, se representa como otras correlaciones mediante un gráfico, es decir, en la práctica, mediante los métodos de la geometría analítica. Por ejemplo, la [fig.] 2 en el cap. II es el gráfico de la función ${\displaystyle \frac{1}{v}}$, donde $v$ es el argumento y $p$ el valor de la función. En este caso, el gráfico se dibuja únicamente para valores positivos de $v$, que son los únicos valores que poseen algún significado para la aplicación física considerada en ese capítulo. Asimismo, en la [fig.] 14 del cap. IX, toda la longitud de la línea $AB$, ilimitada en ambas direcciones, es el gráfico de la función $x+1$, donde $x$ es el argumento e $y$ es el valor de la función; y en la misma figura, la línea ilimitada $A_{1}B$ es el gráfico de la función $1-x$, y la línea $LO{L}^{\prime }$ es el gráfico de la función $x$, siendo $x$ el argumento e $y$ el valor de la función.

Estas funciones, que se expresan mediante fórmulas algebraicas sencillas, son aptas para su representación mediante gráficos. Pero para algunas funciones esta representación resultaría muy engañosa sin una explicación detallada, o podría ser incluso imposible.

Así pues, consideremos la función mencionada anteriormente, que tiene el valor $1$ para todos los valores de su argumento $x$, excepto aquellos que son enteros, por ejemplo, excepto para $x=0$, $x=1$, $x=2$, etc., cuando tiene el valor $0$.

Su aspecto en un gráfico sería el de la línea recta $AB{A}^{\prime }$ trazada paralela al eje $XO{X}^{\prime }$ a una distancia de él de $1$ unidad de longitud. Pero los puntos $B$, $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, etc., correspondientes a los valores $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, etc., del argumento $x$, deben omitirse, y en lugar de ellos deben tomarse los puntos $O$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, etc., sobre el eje $OX$.

Es fácil encontrar funciones para las cuales la representación gráfica no solo es inconveniente, sino imposible. Las funciones que no se prestan a ser graficadas son importantes en las matemáticas superiores, pero no necesitamos ocuparnos más de ellas aquí.

La división más importante entre funciones es la que existe entre las funciones continuas y las discontinuas.

Una función es continua cuando su valor solo se altera de forma gradual ante alteraciones graduales del argumento, y es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos.

Así, las dos funciones $x+1$ y $1-x$, cuyas gráficas se representan como líneas rectas en la [fig.] 14 del cap. IX., son funciones continuas, y también lo es la función ${\displaystyle \frac{1}{v}}$, representada en la II., si solo consideramos valores positivos de $v$.

Pero la función representada en la [fig.] 20 de este capítulo es discontinua, ya que en los valores $x=1$, $x=2$, etc., de su argumento, su valor experimenta saltos repentinos.

Pensemos en algunos ejemplos de funciones que nos presenta la naturaleza, con el fin de grabarnos bien en la cabeza el verdadero significado de la continuidad y la discontinuidad.

Consideremos un tren en su viaje a lo largo de una línea ferroviaria, por ejemplo, desde la estación de Euston, la terminal en Londres del Ferrocarril de Londres y del Noroeste. A lo largo de la línea se encuentran, en orden, las estaciones de Bletchley y Rugby.

Sea $t$ el número de horas que el tren lleva de viaje desde Euston, y $s$ el número de millas recorridas. Entonces $s$ es una función de $t$, es decir, es el valor variable correspondiente al argumento variable $t$.

Si conocemos las circunstancias de la marcha del tren, conocemos $s$ tan pronto como se da cualquier valor especial de $t$.

Ahora bien, milagros aparte, podemos asumir con confianza que $s$ es una función continua de $t$. Es imposible admitir la contingencia de que podamos seguir el tren continuamente desde Euston hasta Bletchley, y que luego, sin ningún tiempo intermedio, por corto que sea, aparezca en Rugby.

La idea es demasiado fantástica para entrar en nuestro cálculo: contempla posibilidades que no se encuentran fuera de las Mil y una noches; y aun en esos relatos la pura discontinuidad del movimiento apenas entra en la imaginación, pues no se atreven a poner a prueba nuestra credulidad con nada más que una velocidad muy inusual.

Pero una velocidad inusual no contradice la gran ley de la continuidad del movimiento que parece cumplirse en la naturaleza. Así, la luz se desplaza a una velocidad de unas $190.000$ millas por segundo y nos llega desde el sol en siete u ocho minutos; pero, a pesar de esta velocidad, la distancia recorrida es siempre una función continua del tiempo.

No nos resulta tan obvio que la velocidad de un cuerpo sea invariablemente una función continua del tiempo.

Consideremos el tren en cualquier instante $t$: se mueve con cierta velocidad definida, digamos $v$ millas por hora, donde $v$ es cero cuando el tren está detenido en una estación y es negativo cuando el tren retrocede.

Ahora bien, aceptamos sin dificultad que $v$ no puede cambiar su valor repentinamente para un tren grande y pesado. Ciertamente, el tren no puede marchar a cuarenta millas por hora desde las 11:45 a. m. hasta el mediodía y luego, de repente, sin ningún transcurso de tiempo, empezar a marchar a $50$ millas por hora.

Admitimos inmediatamente que el cambio de velocidad será un proceso gradual.

¿Pero qué hay de los golpes repentinos de magnitud adecuada? Supongamos que chocan dos trenes; o, para tomar objetos más pequeños, supongamos que un hombre patea un balón de fútbol. Ciertamente, a nuestros sentidos les parece como si el balón comenzara a moverse de repente.

Así, en el caso de la velocidad, nuestros sentidos no se rebelan ante la idea de que sea una función discontinua del tiempo, como lo hicieron ante la idea de que el tren fuera transportado instantáneamente de Bletchley a Rugby.

A decir verdad, si las leyes del movimiento, con su concepción de la masa, son ciertas, no existe tal cosa como la velocidad discontinua en la naturaleza. Todo lo que se presenta a nuestros sentidos como un cambio discontinuo de velocidad debe ser considerado, de acuerdo con ellas, como un caso de cambio gradual que es demasiado rápido para que lo percibamos.

Sería precipitado, sin embargo, lanzarse a la generalización de que la naturaleza no nos presenta ninguna función discontinua.

Un hombre que, confiando en que la altura media de la tierra sobre el nivel del mar entre Londres y París era una función continua de la distancia desde Londres, caminara de noche por el acantilado de Shakespeare

Acantilado por Dover en contemplación de la Vía Láctea, habría muerto antes de haber tenido tiempo de reorganizar sus ideas en cuanto a la necesidad de cautela en las conclusiones científicas.

Es muy fácil encontrar una función discontinua, aun si nos limitamos a las 21 fórmulas algebraicas más simples. Por ejemplo, tómese la función $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$, que ya hemos considerado en la forma $p={\displaystyle \frac{1}{v}}$, en la que $v$ se limitaba a valores positivos. Pero ahora permitamos que $x$ tenga cualquier valor, positivo o negativo. La gráfica de la función se muestra en la [fig.] 21.

Supongamos que $x$ cambia continuamente desde un valor negativo grande, pasando por un conjunto decreciente en valor absoluto de valores negativos hasta llegar a $0$, y de ahí a través de la serie de valores positivos crecientes.

En consecuencia, si un punto en movimiento, $M$, representa a $x$ sobre $XO{X}^{\prime }$, $M$ empieza en el extremo izquierdo del eje $XO{X}^{\prime }$ y se mueve sucesivamente a través de $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, etc. Los puntos correspondientes en la función son $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, etc.

Es fácil ver que hay un punto de discontinuidad en $x=0$, es decir, en el origen $O$. Pues el valor de la función en el lado negativo (izquierdo) del origen se vuelve infinitamente grande, pero negativo, y la función reaparece en el lado positivo (derecho) como infinitamente grande pero positiva.

Por lo tanto, por pequeña que tomemos la longitud $M_2{M}_3$, hay un salto finito entre los valores de la función en $M_2$ y $M_3$. De hecho, este caso tiene la peculiaridad de que cuanto menor tomemos la longitud entre $M_2$ y $M_3$, siempre que encierren al origen, mayor será el salto en el valor de la función entre ellos.

Este gráfico pone de manifiesto, lo que también es evidente en la [fig.]20 de este capítulo, que para muchas funciones las discontinuidades solo ocurren en puntos aislados, de modo que, al restringir los valores del argumento, obtenemos una función continua para estos valores restantes.

Así pues, de la [fig.]21 se desprende claramente que en $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$, si nos atenemos únicamente a los valores positivos y excluimos el origen, obtenemos una función continua. De igual modo, la misma función, si nos atenemos únicamente a los valores negativos, excluyendo el origen, es continua.

Asimismo, la función que se representa en la [fig.]20 es continua entre $B$ y $C_1$, y entre $C_1$ y $C_2$, y entre $C_2$ y $C_3$, y así sucesivamente, excluyendo siempre en cada caso los puntos extremos.

Sin embargo, es fácil encontrar funciones cuyas discontinuidades ocurren en todos los puntos.

Por ejemplo, consideremos una función $f(x)$ tal que cuando $x$ es cualquier número fraccionario $f(x)=1$, y cuando $x$ es cualquier número incomensurable $f(x)=2$. Esta función es discontinua en todos los puntos.

Finalmente, examinaremos un poco más de cerca la definición de continuidad dada anteriormente.

Hemos dicho que una función es continua cuando su valor solo se altera de manera gradual ante alteraciones graduales del argumento, y que es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos. Este es exactamente el tipo de definición que satisfacía a nuestros antepasados matemáticos y que ya no satisface a los matemáticos modernos.

Vale la pena dedicarle algo de tiempo; pues cuando comprendamos las objeciones modernas a ella, habremos avanzado un gran trecho hacia la comprensión del espíritu de las matemáticas modernas.

Toda la diferencia entre las matemáticas más antiguas y las más nuevas radica en el hecho de que los términos vagos y semimetafóricos como «gradualmente» ya no se toleran en sus afirmaciones exactas. Las matemáticas modernas solo admiten afirmaciones, definiciones y argumentos que emplean exclusivamente las pocas ideas simples sobre el número, la magnitud y las variables en las que se funda la ciencia.

• De dos números, uno puede ser mayor o menor que el otro;
• y uno puede ser tal o cual múltiplo del otro;

pero no existe relación de «gradualidad» entre dos números, y por tanto el término es inadmisible. Ahora bien, esto puede parecer a primera vista una gran pedantería. A esta acusación hay dos respuestas.

En primer lugar, durante la primera mitad del siglo xix algunos grandes matemáticos, especialmente Abel en

Suecia, y Weierstrass en Alemania, de que gran parte de las matemáticas tal como se enunciaban a la antigua usanza despreocupada eran simplemente erróneas.

Macaulay, en su ensayo sobre Bacon, contrasta la certeza de las matemáticas con la incertidumbre de la filosofía; y a modo de ejemplo retórico dice: "No ha habido ninguna reacción contra el teorema de Taylor".

No podría haber elegido un peor ejemplo. Pues, sin haber hecho un examen de los libros de texto ingleses de matemáticas contemporáneos a la publicación de este ensayo, la suposición es bastante segura de que el teorema de Taylor fue enunciado y demostrado erróneamente en cada uno de ellos.

En consecuencia, la rigurosa precisión de las matemáticas modernas es necesaria para la exactitud. En segundo lugar, es necesaria para la investigación.

Contribuye a la claridad del pensamiento y, a partir de ahí, a la audacia del pensamiento y a la fecundidad al probar nuevas combinaciones de ideas. Cuando las afirmaciones iniciales son vagas y descuidos, en cada etapa posterior del pensamiento el sentido común tiene que intervenir para limitar las aplicaciones y explicar los significados.

Ahora bien, en el pensamiento creativo el sentido común es un mal amo. Su único criterio de juicio es que las nuevas ideas se parezcan a las viejas. En otras palabras, solo puede actuar suprimiendo la originalidad.

Al abrirnos camino hacia la definición precisa de continuidad (tal como se aplica a las funciones), consideremos más de cerca la afirmación de que no existe ninguna relación de «gradualidad» entre los números.

Se podrá preguntar: ¿Acaso un número no puede ser solo ligeramente mayor que otro, o en otras palabras, no puede ser pequeña la diferencia entre ambos números?

El quid de la cuestión es que, en abstracto, al margen de cualquier aplicación supuesta de forma arbitraria, no existe tal cosa como un número grande o pequeño.

• Un millón de millas es un número pequeño de millas para un astrónomo que investiga las estrellas fijas, pero un millón de libras es un gran ingreso anual.
• Por otra parte, una cuarta parte es una gran fracción de los ingresos de uno para donar a la caridad, pero es una pequeña fracción de estos para conservar para uso privado.

Se pueden acumular ejemplos indefinidamente para demostrar que «grande» o «pequeño» en cualquier sentido absoluto no tienen aplicación abstracta en los números. Podemos decir de dos números que uno es mayor o menor que otro, pero no que un número cualquiera sea grande o pequeño sin especificar circunstancias particulares.

Nuestra tarea es, por lo tanto, definir continuidad sin mencionar ningún cambio «pequeño» o «gradual» en el valor de la función.

Para lograrlo, le daremos nombres a algunas ideas, lo cual también nos será útil cuando pasemos a considerar los límites y el cálculo diferencial.

Un «intervalo» de valores del argumento $x$

de una función $f(x)$ son todos los valores comprendidos entre dos valores cualesquiera del argumento.

Por ejemplo, el intervalo entre $x=1$ y $x=2$ consta de todos los valores que $x$ puede tomar comprendidos entre $1$ y $2$, es decir, consta de todos los números reales entre $1$ y $2$.

Pero los números que delimitan un intervalo no tienen por qué ser enteros.

Un intervalo de valores del argumento contiene un número $a$ cuando $a$ es un miembro del intervalo. Por ejemplo, el intervalo entre $1$ y $2$ contiene $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{7}{4}$, etcétera.

Un conjunto de números se aproxima a un número $a$

dentro de un estándar $k$, cuando la diferencia numérica entre $a$ y cada número del conjunto es menor que $k$. Aquí $k$ es el "estándar de aproximación".

Por lo tanto, el conjunto de números $3$, $4$, $6$, $8$ se aproxima al número $5$ dentro del estándar $4$. En este caso, el estándar $4$ no es el más pequeño que se podría haber elegido; el conjunto también se aproxima a $5$ dentro de cualquiera de los estándares $3.1$, $3.01$ o $3.001$.

Asimismo, los números $3.1$, $3.141$, $3.1415$, $3.14159$ se aproximan a $3.13102$ dentro del estándar $\mathrm{.032}$, y también dentro del estándar más pequeño $\mathrm{.03103}$.

Estas dos ideas de un intervalo y de la aproximación a un número dentro de un margen estándar son bastante sencillas; su única dificultad radica en que parecen un tanto triviales.

Pero cuando se combinan con la siguiente idea, la del «entorno» de un número, forman el fundamento del razonamiento matemático moderno.

¿Qué queremos decir al afirmar que algo es verdad para una función $f(x)$ en el entorno del valor $a$ del argumento $x$? Es esta noción fundamental la que ahora debemos precisar.

Se dice que los valores de una función $f(x)$ poseen una característica en el «entorno de $a$» cuando se puede encontrar cierto intervalo que (i) contiene al número $a$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que cada valor de la función para argumentos distintos de $a$, situados dentro de ese intervalo, posee la característica. El valor $f(a)$ de la función para el argumento $a$ puede o no poseer la característica. Las afirmaciones sobre el entorno de $a$ no determinan nada al respecto.

Por ejemplo, supongamos que tomamos la función particular $x^2$. Ahora bien, en el entorno de $2$, los valores de $x^2$ son menores que $5$. Pues podemos encontrar un intervalo, por ejemplo, de $1$ a $2.1$, que (i) contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que, para los valores de $x$ que se encuentran en él, $x^2$ es menor que $5$.

Ahora bien, combinando las ideas precedentes, sabemos lo que significa decir que, en el entorno de $a$, la función $f(x)$ se aproxima a $c$ dentro del estándar $k$. Significa que se puede encontrar algún intervalo que (i) incluye a $a$ sin ser uno de sus puntos extremos, y (ii) es tal que todos los valores de $f(x)$, donde $x$ se encuentra en el intervalo y no es $a$, difieren de $c$ en menos de $k$.

Por ejemplo, en el entorno de $2$, la función $\sqrt{x}$ se aproxima a $1.41425$ con la tolerancia estándar de $\mathrm{.0001}$.

Esto es verdad porque la raíz cuadrada de $1.99996164$ es $1.4142$ y la raíz cuadrada de $2.00024449$ es $1.4143$; por tanto, para los valores de $x$ comprendidos en el intervalo de $1.99996164$ a $2.00024449$, el cual contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos, los valores de la función $\sqrt{x}$ se encuentran todos entre $1.4142$ y $1.4143$, y por consiguiente todos difieren de $1.41425$ en menos de $\mathrm{.0001}$.

En este caso podemos, si así lo deseamos, fijar un margen de aproximación más pequeño, a saber, $\mathrm{.000051}$ o $\mathrm{.0000501}$.

Nuevamente, para tomar otro ejemplo, en el vecindario de $2$ la función $x^2$ se aproxima a $4$ dentro del margen estándar de $\mathrm{.5}$.

Pues $(1.9{)}^2=3.61$ y $(2.1{)}^2=4.41$, y por lo tanto se ha hallado el intervalo requerido de $1.9$ a $2.1$, que contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos.

Este ejemplo pone de relieve el hecho de que las afirmaciones sobre una función $f(x)$ en el entorno de un número $a$ son distintas de las afirmaciones sobre el valor de $f(x)$ cuando $x=a$.

Se requiere la producción de un intervalo a lo largo del cual la afirmación sea verdadera. Por lo tanto, el mero hecho de que $2^2=4$ no nos justifica por sí mismo para decir que en el entorno de $2$ la función $x^2$ es igual a $4$. Esta afirmación sería falsa, porque no se puede producir ningún intervalo con la propiedad requerida.

Asimismo, el hecho de que $2^2=4$ no nos justifica por sí mismo para decir que en el entorno de $2$ la función $x^2$ se aproxima a $4$ dentro del margen estándar de $\mathrm{.5}$; aunque, a decir verdad, se acaba de demostrar que la afirmación es verdadera.

Si comprendemos las ideas precedentes, comprendemos los fundamentos de las matemáticas modernas. Recurriremos a ideas análogas en el capítulo sobre las Series, y de nuevo en el capítulo sobre el Cálculo Diferencial.

Mientras tanto, ya estamos preparados para definir las «funciones continuas».

Una función $f(x)$ es «continua» en un valor $a$ de su argumento, cuando en el entorno de $a$ sus valores se aproximan a $f(a)$ (es decir, a su valor en $a$) dentro de cualquier estándar de aproximación.

Esto significa que, cualquiera que sea el estándar $k$ elegido, en el entorno de $a$, $f(x)$ se aproxima a $f(a)$ dentro del estándar $k$.

Por ejemplo, $x^2$ es continua en el valor $2$ de su argumento, $x$, porque cualquiera que sea el estándar $k$ elegido, siempre podemos encontrar un intervalo que

(i) contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que los valores de $x^2$ para argumentos situados en su interior se aproximan a $4$ (es decir, $2^2$) dentro del estándar $k$.

Así pues, supongamos que elegimos el estándar $\mathrm{.1}$; ahora $(1.999{)}^2=3.996001$ y $(2.01{)}^2=4.0401$, y ambos números difieren de $4$ en menos de $\mathrm{.1}$. Por lo tanto, dentro del intervalo de $1.999$ a $2.01$, los valores de $x^2$ se aproximan a $4$ dentro del estándar $\mathrm{.1}$. De igual modo, se puede obtener un intervalo para cualquier otro estándar que queramos probar.

Tomemos el ejemplo del tren de ferrocarril. Su velocidad es continua a medida que pasa ante la caseta de señales, si para cualquier velocidad que guste asignar (digamos una millonésima de milla por hora) se puede encontrar un intervalo de tiempo que se extienda antes y después del instante del paso, tal que en todos los instantes dentro de él la velocidad del tren difiera de aquella con la que el tren pasó ante la caseta en menos de una millonésima de milla por hora; y lo mismo es cierto sin importar qué otra velocidad se mencione en lugar de una millonésima de milla por hora.