VII

Números imaginarios

Si las ideas matemáticas tratadas en el

último capítulo han sido un éxito popular, las del presente capítulo han suscitado casi la misma atención general. Pero su éxito ha sido de un carácter distinto, ha sido lo que los franceses denominan un succès de scandale. No solo el hombre práctico, sino también los hombres de letras y los filósofos han expresado su desconcierto ante la devoción de los matemáticos por entidades misteriosas que, por su propio nombre, se confiesan imaginarias. En este punto, puede ser útil observar que cierto tipo de intelecto siempre se está preocupando a sí mismo y a los demás con discusiones sobre la aplicabilidad de los términos técnicos. ¿Se llama correctamente números a los números inconmensurables? ¿Son realmente números los números positivos y negativos? ¿Son imaginarios los números imaginarios, y son números? —son tipos de tales preguntas fútiles. Ahora bien, no se puede entender con demasiada claridad que, en ciencia, los términos técnicos son nombres asignados arbitrariamente, como los nombres de pila

nombres a los niños. No puede haber duda de que los nombres sean correctos o incorrectos. Pueden ser juiciosos o injudiciosos; pues a veces pueden disponerse de tal modo que sean fáciles de recordar, o de tal modo que sugieran ideas relevantes e importantes. Pero el principio esencial implicado fue enunciado con toda claridad en el País de las Maravillas a Alicia por Humpty Dumpty, cuando le dijo, a propósito de su uso de las palabras: «Les pago un extra y hago que signifiquen lo que yo quiero». Así que no nos preocuparemos por si los números imaginarios son imaginarios, o por si son números, sino que tomaremos la frase como el nombre arbitrario de cierta idea matemática, que ahora nos esforzaremos por aclarar.

El origen de la concepción es en todos los aspectos similar al de los números positivos y negativos. De la misma manera exacta, se debe a las tres grandes ideas matemáticas de la variable, la forma algebraica y la generalización. Los números positivos y negativos surgieron de la consideración de ecuaciones como $x+1=3$, $x+3=1$ y la forma general $x+a=b$. De forma similar, el origen de los números imaginarios se debe a ecuaciones como $x^2+1=3$, $x^2+3=1$ y $x^2+a=b$. Se sigue exactamente el mismo proceso. La ecuación $x^2+1=3$ se convierte en $x^2=2$, y esta tiene dos soluciones, ya sea $x=+\sqrt{2}$ o $x=-\sqrt{2}$. La afirmación de que existen estas alternativas

las soluciones se escriben habitualmente $x=\pm \sqrt{2}$. Hasta aquí todo va sobre ruedas, igual que en el caso anterior. Pero ahora surge una dificultad análoga. Pues la ecuación $x^2+3=1$ da $x^2=-2$, y no existe ningún número positivo o negativo que, multiplicado por sí mismo, dé un cuadrado negativo. Por tanto, si nuestros símbolos han de significar los números positivos o negativos ordinarios, no hay solución para $x^2=-2$, y la ecuación es, de hecho, un sinsentido. Así, tomando finalmente la forma general $x^2+a=b$, hallamos el par de soluciones $x=\pm \sqrt{(b-a)}$, cuando, y solo cuando, $b$ no es menor que $a$. En consecuencia, no podemos decir sin restricciones que las "constantes" $a$ y $b$ pueden ser cualquier número, es decir, las "constantes" $a$ y $b$ no son, como deberían ser, "variables" independientes sin restricciones; y así, de nuevo, una multitud de limitaciones y restricciones se acumularán en torno a nuestro trabajo a medida que avancemos.

Nos espera, por tanto, la misma tarea: debemos dar una nueva interpretación a nuestros símbolos, de modo que las soluciones $\pm \sqrt{(b-a)}$ para la ecuación $x^2+a=b$ tengan siempre significado. En otras palabras, requerimos una interpretación de los símbolos tal que $\sqrt{a}$ tenga siempre significado, ya sea $a$ positivo o negativo. Por supuesto, la interpretación debe ser tal que todas las leyes formales ordinarias para la suma, la resta, la multiplicación y la división sigan siendo válidas; y, además, no debe interferir con la

generalidad a la que hemos llegado mediante el uso de los números positivos y negativos. De hecho, debe en cierto sentido incluirlos como casos especiales. Cuando $a$ es negativo podemos escribir $-c^2$ en su lugar, de modo que $c^2$ sea positivo. Entonces

$$\begin{gathered} \sqrt{a}\&=\sqrt{(-c^2)}=\sqrt{\{(-1)\times c^2\}} \\ \&=\sqrt{(-1)}\sqrt{c^2}=c\sqrt{(-1)}. \end{gathered}$$

Por tanto, si podemos interpretar nuestros símbolos de tal manera que $\sqrt{(-1)}$ tenga un significado, habremos alcanzado nuestro objetivo. Así, $\sqrt{(-1)}$ ha pasado a ser considerada como la cabeza y el frente de todas las cantidades imaginarias.

Este asunto de encontrar una interpretación para $\sqrt{(-1)}$ es una tarea mucho más difícil que la análoga de interpretar $-1$. De hecho, mientras que el problema más sencillo se resolvió casi instintivamente tan pronto como surgió, al principio apenas se le ocurrió, incluso a los más grandes matemáticos, que aquí existía un problema que quizás fuera susceptible de solución. Ecuaciones como $x^2=-3$, cuando surgían, eran simplemente descartadas por carecer de sentido.

Sin embargo, se empezó a percibir gradualmente durante el siglo XVIII, e incluso antes, lo muy conveniente que resultaría si se pudiera asignar una interpretación a estos símbolos carentes de sentido. Se realizaban razonamientos formales con estos símbolos, asumiendo simplemente que obedecían a las leyes ordinarias

leyes algebraicas de transformación; y se vio que se podía alcanzar todo un mundo de resultados interesantes, si tan solo estos símbolos pudieran utilizarse legítimamente. Muchos matemáticos no tenían entonces muy clara la lógica de su procedimiento, y se extendió la idea de que, de alguna manera misteriosa, los símbolos que no significan nada pueden, mediante una manipulación adecuada, producir pruebas válidas de proposiciones. Nada puede ser más erróneo. Un símbolo que no ha sido definido correctamente no es un símbolo en absoluto. Es simplemente una mancha de tinta sobre el papel que tiene una forma fácilmente reconocible. Nada puede probarse mediante una sucesión de manchas, excepto la existencia de una mala pluma o de un escritor descuidado. Fue durante esta época cuando el epíteto "imaginario" comenzó a aplicarse a $\sqrt{(-1)}$. Lo que estos matemáticos habían logrado probar realmente eran una serie de proposiciones hipotéticas, de las cuales esta es la forma vacía: Si existen interpretaciones para $\sqrt{(-1)}$ y para la suma, resta, multiplicación y división de $\sqrt{(-1)}$ que hacen que se satisfagan las reglas algebraicas ordinarias (por ejemplo, $x+y=y+x$, etc.), entonces se siguen tales y cuales resultados. Era natural que los matemáticos no apreciaran siempre el gran "Si", que debería haber precedido a las declaraciones de sus resultados.

Como cabe esperar, la interpretación,

cuando se descubrió, fue un asunto mucho más elaborado que el de los números negativos y se debe pedir la atención del lector para una cuidadosa explicación preliminar. Ya nos hemos encontrado con la representación de un punto mediante dos números. Con la ayuda de los números positivos y negativos podemos ahora representar la posición de cualquier punto en un plano mediante un par de dichos números. Así, tomamos el par de líneas rectas $XO{X}^{\prime }$ y $YO{Y}^{\prime }$, en ángulos rectos, como los "ejes" desde los cuales comenzamos todas nuestras mediciones. Las longitudes medidas a lo largo de $OX$ y $OY$ son positivas, y las medidas hacia atrás a lo largo de $O{X}^{\prime }$ y $O{Y}^{\prime }$ son negativas. Supongamos que un par de números, escritos en orden, por ejemplo $(+3,+1)$, de modo que

es un primer número ($+3$ en el ejemplo anterior) y un segundo número ($+1$ en el ejemplo anterior), representa medidas desde $O$ a lo largo de $XO{X}^{\prime }$ para el primer número, y a lo largo de $YO{Y}^{\prime }$ para el segundo número. Por tanto (cf. [fig.]9), en $(+3,+1)$ una longitud de $3$ unidades debe medirse a lo largo de $XO{X}^{\prime }$ en la dirección positiva, es decir, desde $O$ hacia $X$, y una longitud de $+1$ medida a lo largo de $YO{Y}^{\prime }$ en la dirección positiva, es decir, desde $O$ hacia $Y$. De manera similar, en $(-3,+1)$ la longitud de $3$ unidades debe medirse desde $O$ hacia $X^{\prime }$, y la de $1$ unidad desde $O$ hacia $Y$. Asimismo, en $(-3,-1)$ las dos longitudes deben medirse a lo largo de $O{X}^{\prime }$ y $O{Y}^{\prime }$ respectivamente, y en $(+3,-1)$ a lo largo de $OX$ y $O{Y}^{\prime }$ respectivamente. Llamemos por el momento a tal par de números un "par ordenado". Entonces, a partir de los dos números $1$ y $3$, se pueden generar ocho pares ordenados, a saber

Cada uno de estos ocho «pares ordenados» dirige un proceso de medición a lo largo de $XO{X}^{\prime }$ y $YO{Y}^{\prime }$ que es diferente al dirigido por cualquiera de los otros.

Los procesos de medición representados por los últimos cuatro pares ordenados, mencionados anteriormente, se muestran gráficamente en la figura. Las longitudes $OM$ y $ON$ juntas corresponden

a $(+3,+1)$, las longitudes $O{M}^{\prime }$ y $ON$ juntas corresponden a $(-3,+1)$, $O{M}^{\prime }$ y $O{N}^{\prime }$ juntas a $(-3,-1)$, y $OM$ y $O{N}^{\prime }$ juntas a $(+3,-1)$. Pero al completar los diversos rectángulos, es fácil ver que el punto $P$ determina completamente y es determinado por el par ordenado 9 $(+3,+1)$, el punto $P^{\prime }$ por $(-3,+1)$, el punto $P^{″}$ por $(-3,-1)$, y el punto $P^{‴}$ por $(+3,-1)$. Más generalmente en la figura anterior ([fig:8]8), el punto $P$ corresponde al par ordenado $(x,y)$, donde se supone que tanto $x$ como $y$ en la figura son positivos, el punto $P^{\prime }$ corresponde a $(x^{\prime },y)$, donde se supone que $x^{\prime }$ en la figura es negativo, $P^{″}$ a $(x^{\prime },y^{\prime })$, y $P^{‴}$ a $(x,y^{\prime })$. Por tanto, un ordenado

par $(x,y)$, donde $x$ e $y$ son cualesquiera números positivos o negativos, y el punto correspondiente se determinan recíprocamente el uno al otro. Es conveniente introducir algunos nombres en este momento. En el par ordenado $(x,y)$, al primer número $x$ se le llama «abscisa» del

punto correspondiente, y el segundo número $y$ se denomina «ordenada» del punto, y

los dos números juntos se llaman "coordenadas"

del punto. La idea de determinar la posición de un punto mediante sus "coordenadas" no era en absoluto nueva cuando se estaba formando la teoría de los "imaginarios". Se debía a Descartes, el gran francés

matemático y filósofo, y aparece en su Discours publicado en Leiden en 1637. La idea del par ordenado como una entidad por derecho propio es de desarrollo posterior y es el resultado de los esfuerzos por interpretar los imaginarios de la manera más abstracta posible.

Puede observarse, como ilustración adicional de esta idea del par ordenado, que el punto $M$ en la [fig.]9 es el par $(+3,0)$, el punto $N$ es el par $(0,+1)$, el punto $M^{\prime }$ el par $(-3,0)$, el punto $N^{\prime }$ el par $(0,-1)$, y el punto $O$ el par $(0,0)$.

Otra forma de representar el par ordenado $(x,y)$ es pensar que representa la línea punteada $OP$ (cf. [fig.] 8), en lugar del punto $P$. Así, el par ordenado representa una línea trazada desde un «origen», $O$, de una determinada

longitud y en una dirección determinada. La línea $OP$ puede denominarse línea vectorial de $O$ a $P$, o el paso de $O$ a $P$. Vemos, por tanto, que en este capítulo solo hemos extendido la interpretación que dimos anteriormente de los números positivos y negativos. Este método de representación mediante vectores es muy

útil cuando consideramos el significado que debe asignarse a las operaciones de suma y multiplicación de pares ordenados.

plus 0.75em minus 0.25em Pasaremos ahora a esta cuestión y preguntaremos qué significado nos resultará conveniente asignar a la suma de los dos pares ordenados $(x,y)$ y $(x^{\prime },y^{\prime })$. La interpretación debe: (a) hacer que el resultado de la suma sea otro par ordenado, (b) hacer que la operación sea conmutativa, de modo que $(x,y)+(x^{\prime },y^{\prime })=(x^{\prime },y^{\prime })+(x,y)$, (c) hacer que la operación sea asociativa, de modo que $\{(x,y)+(x^{\prime },y^{\prime })\}+(u,v)=(x,y)+\{(x^{\prime },y^{\prime })+(u,v)\}$, (d) hacer que el resultado de la resta sea único, de modo que cuando busquemos determinar el par ordenado desconocido $(x,y)$ para satisfacer la ecuación $(x,y)+(a,b)=(c,d)$, exista una y solo una respuesta que podamos representar mediante $(x,y)=(c,d)-(a,b)$.

Todos estos requisitos se satisfacen tomando $(x,y)+(x^{\prime },y^{\prime })$ como el par ordenado $(x+x^{\prime },y+y^{\prime })$. En consecuencia, por definición, establecemos $(x,y)+(x^{\prime },y^{\prime })=(x+x^{\prime },y+y^{\prime }).$ Nótese que aquí hemos adoptado la costumbre matemática de utilizar el mismo símbolo $+$ en sentidos diferentes. El $+$ del lado izquierdo de la ecuación tiene el nuevo significado de $+$ que acabamos de definir; mientras que los dos $+$ del lado derecho tienen el significado de la suma de números (operaciones) positivos y negativos que se definió en el último capítulo. No surge ninguna confusión práctica de este doble uso.

Como ejemplos de suma tenemos

El significado de la resta ha quedado establecido para nosotros. Encontramos que $(x,y)-(u,v)=(x-u,y-v).$ Por lo tanto, $(+3,+2)-(+1,+1)=(+2,+1),$ y $(+1,-2)-(+2,-4)=(-1,+2),$ y $(-1,-2)-(+2,+3)=(-3,-5).$

Es fácil ver que $(x,y)-(u,v)=(x,y)+(-u,-v).$ Asimismo, $(x,y)-(x,y)=(0,0).$ Por tanto, $(0,0)$ debe considerarse como el par ordenado cero. Por ejemplo, $(x,y)+(0,0)=(x,y).$

La representación pictórica de la suma de pares ordenados es sorprendentemente sencilla. 10

plus 0.75em minus 0.25em Sea $OP$ la representación de $(x,y)$ de modo que $OM=x$ y $PM=y$; sea $OQ$ la representación de $(x_1,y_1)$ de modo que $O{M}_1=x_1$ y $Q{M}_1=y_1$. Complétese el paralelogramo $OPRQ$ mediante las líneas punteadas $PR$ y $QR$, entonces la diagonal $OR$ es el par ordenado $(x+x_1,y+y_1)$. Pues trácese $PS$ paralelo

a $OX$; entonces, evidentemente, los triángulos $OQ{M}_1$ y $PRS$ son en todos sus aspectos iguales. De donde $M{M}^{\prime }=PS=x_1$, y $RS=Q{M}_1$ y, por tanto,

$$\begin{gathered} O{M}^{\prime }=OM+M{M}^{\prime }=x+x_1, \\ R{M}^{\prime }=S{M}^{\prime }+RS=y+y_1. \end{gathered}$$

Así, $OR$ representa el par ordenado según se requiere. Esta figura también puede dibujarse con $OP$ y $OQ$ en otros cuadrantes.

Resulta evidente de inmediato que aquí hemos vuelto a la ley del paralelogramo, la cual

se mencionó en el VI., sobre las leyes del movimiento, como aplicable a velocidades y fuerzas. Se recordará que, si $OP$ y $OQ$ representan dos velocidades, se dice que una partícula se mueve con una velocidad igual a la suma de las dos velocidades si se mueve con la velocidad $OR$. En otras palabras, se dice que $OR$ es la resultante de las dos velocidades $OP$ y $OQ$. Asimismo, las fuerzas que actúan en un punto de un cuerpo pueden representarse mediante líneas, tal como ocurre con las velocidades; y se cumple la misma ley del paralelogramo, a saber, que la resultante de las dos fuerzas $OP$ y $OQ$ es la fuerza representada por la diagonal $OR$. De ello se deduce que podemos considerar un par ordenado como la representación de una velocidad o de una fuerza, y la regla que acabamos de dar para la suma de pares ordenados representa entonces las leyes fundamentales de la mecánica para la suma de fuerzas y

velocidades. Una de las características más fascinantes de las matemáticas es la sorprendente manera en que las ideas y los resultados de diferentes partes de la disciplina encajan entre sí. Durante las discusiones de este y el anterior capítulo, nos hemos guiado meramente por las más abstractas de las consideraciones matemáticas puras; y, sin embargo, al final de ellas, nos hemos visto conducidos de vuelta a las más fundamentales de todas las leyes de la naturaleza, leyes que deben estar en la mente de todo ingeniero cuando diseña un motor, y de todo arquitecto naval cuando calcula la estabilidad de un barco. No es ninguna paradoja decir que, en nuestros estados de ánimo más teóricos, podemos estar más cerca de nuestras aplicaciones más prácticas.

[Números imaginarios] VIII Números imaginarios (continuación)

La definición de la multiplicación de pares ordenados se guía exactamente por las mismas consideraciones que la de su adición. La interpretación de la multiplicación debe ser tal que

() el resultado es otro par ordenado,

() la operación es conmutativa, de modo que $(x,y)\times (x^{\prime },y^{\prime })=(x^{\prime },y^{\prime })\times (x,y),$

() la operación es asociativa, de modo que $\{(x,y)\times (x^{\prime },y^{\prime })\}\times (u,v)=(x,y)\times \{(x^{\prime },y^{\prime })\times (u,v)\},$

() debe hacer que el resultado de la división sea único [con una excepción para el caso del par cero $(0,0)$], de modo que cuando busquemos determinar el par desconocido $(x,y)$ para satisfacer la ecuación $(x,y)\times (a,b)=(c,d),$ exista una y solo una respuesta, que podemos representar mediante $(x,y)=(c,d)÷(a,b),\text{o mediante}(x,y)=\frac{(c,d)}{(a,b)}.$

() Además, debe cumplirse la ley que involucra tanto la suma como la multiplicación, llamada ley distributiva, a saber

Todas estas condiciones (), (), (), (), () pueden satisfacerse mediante una interpretación que, aunque parezca complicada al principio, es susceptible de una interpretación geométrica sencilla.

Por definición, establecemos $(x,y)\times (x^{\prime },y^{\prime })=\{(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }),(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y)\}.\text{quadensuremath{(A)}\}$

Esta es la definición del significado del símbolo $\times$ cuando se escribe entre dos pares ordenados. Se deduce evidentemente de esta definición que el resultado de la multiplicación es otro par ordenado, y que el valor del lado derecho de la ecuación (A) no se altera al intercambiar simultáneamente $x$ con $x^{\prime }$, y $y$ con $y^{\prime }$. Por tanto, las condiciones () y () se satisfacen evidentemente. La prueba de la satisfacción de (), (), () es igualmente sencilla una vez que hemos dado la interpretación geométrica, lo cual procederemos a hacer en un momento. Pero antes de hacer esto, será interesante detenernos a ver si hemos alcanzado el objetivo para el cual se inició toda esta elaboración.

Nos encontramos con ecuaciones de la forma $x^2=-3$, para las cuales no se pudieron encontrar soluciones

asignados en términos de números reales positivos y negativos. Descubrimos entonces que todas nuestras dificultades desaparecerían si pudiéramos interpretar la ecuación $x^2=-1$, es decir, si pudiéramos definir $\sqrt{(-1)}$ de tal modo que $\sqrt{(-1)}\times \sqrt{(-1)}=-1$.

Ahora consideremos los tres especiales

pares ordenadosPara el futuro seguimos la costumbre de omitir el signo $+$ siempre que sea posible, por lo que $(1,0)$ representa a $(+1,0)$ y $(0,1)$ a $(0,+1)$. $(0,0)$, $(1,0)$ y $(0,1)$.

Ya hemos demostrado que $(x,y)+(0,0)=(x,y).$

Además, ahora tenemos $(x,y)\times (0,0)=(0,0).$

Por tanto, tanto para la suma como para la multiplicación, el par $(0,0)$ desempeña el papel de cero en la aritmética y el álgebra elementales; compárense las ecuaciones anteriores con $x+0=x$ y $x\times 0=0$.

Consideremos de nuevo $(1,0)$: este desempeña el papel de $1$ en la aritmética y el álgebra elementales. En estas ciencias elementales, la característica especial del $1$ es que $x\times 1=x$, para todos los valores de $x$. Ahora, según nuestra ley de multiplicación $(x,y)\times (1,0)=\{(x-0),(y+0)\}=(x,y).$

Por lo tanto, $(1,0)$ es el par unidad.

Consideremos finalmente $(0,1)$: esto interpretará para nosotros el símbolo $\sqrt{(-1)}$. El símbolo debe poseer, por tanto, la propiedad característica de que $\sqrt{(-1)}\times \sqrt{(-1)}=-1$. Ahora bien, según la ley de multiplicación para pares ordenados $(0,1)\times (0,1)=\{(0-1),(0+0)\}=(-1,0).$

Pero $(1,0)$ es el par unidad, y $(-1,0)$ es el par unidad negativo; de modo que $(0,1)$ tiene la propiedad deseada. Existen, sin embargo, dos raíces de $-1$ que deben considerarse, a saber, $\pm \sqrt{(-1)}$. Consideremos $(0,-1)$; aquí, recordando de nuevo que $(-1{)}^2=1$, encontramos que $(0,-1)\times (0,-1)=(-1,0)$.

Por tanto, $(0,-1)$ es la otra raíz cuadrada de $-1$. En consecuencia, los pares ordenados $(0,1)$ y $(0,-1)$ son las interpretaciones de $\pm \sqrt{(-1)}$ en términos de pares ordenados. Pero ¿cuál corresponde a cuál? ¿Corresponde $(0,1)$ a $+\sqrt{(-1)}$ y $(0,-1)$ a $-\sqrt{(-1)}$, o $(0,1)$ a $-\sqrt{(-1)}$ y $(0,-1)$ a $+\sqrt{(-1)}$? La respuesta es que resulta perfectamente indiferente qué simbolismo adoptemos.

Los pares ordenados pueden dividirse en tres tipos: (i) el tipo «imaginario complejo» $(x,y)$, en el que ni $x$ ni $y$ son cero; (ii) el tipo «real» $(x,0)$; (iii) el tipo «imaginario puro» $(0,y)$. Consideremos las relaciones de estos tipos entre sí. Multipliquemos primero el «imaginario complejo»

par $(x,y)$ y el par «real» $(a,0)$, encontramos $(a,0)\times (x,y)=(ax,ay).$

Así, el efecto es simplemente multiplicar cada término del par $(x,y)$ por el número real positivo o negativo $a$.

En segundo lugar, al multiplicar el par «imaginario complejo» $(x,y)$ por el par «imaginario puro» $(0,b)$, obtenemos $(0,b)\times (x,y)=(-by,bx).$

Aquí el efecto es más complicado, y se comprende mejor en la interpretación geométrica a la que procedemos tras observar tres casos aún más especiales.

En tercer lugar, multiplicamos el par «real» $(a,0)$ por el imaginario $(0,b)$ y obtenemos $(a,0)\times (0,b)=(0,ab).$

En cuarto lugar, multiplicamos las dos parejas «reales» $(a,0)$ y $(a^{\prime },0)$ y obtenemos $(a,0)\times (a^{\prime },0)=(a{a}^{\prime },0).$

En quinto lugar, multiplicamos las dos «parejas imaginarias» $(0,b)$ y $(0,b^{\prime })$ y obtenemos $(0,b)\times (0,b^{\prime })=(-b{b}^{\prime },0).$

Pasamos ahora a la interpretación geométrica, comenzando primero con algunos casos especiales.

Tomemos los pares $(1,3)$ y $(2,0)$ y consideremos la ecuación $(2,0)\times (1,3)=(2,6).$ 11

En el diagrama ([fig.]11), el vector $OP$ representa $(1,3)$, el vector $ON$ representa $(2,0)$ y el vector $OQ$ representa $(2,6)$. Por tanto, el producto $(2,0)\times (1,3)$ se halla geométricamente tomando la longitud del vector $OQ$ como el producto de las longitudes de los vectores $OP$ y $ON$, y (en este caso) prolongando $OP$ hasta $Q$ para que tenga la longitud requerida. Consideremos de nuevo el producto $(0,2)\times (1,3)$, tenemos $(0,2)\times (1,3)=(-6,2).$

El vector $O{N}_1$ corresponde a $(0,2)$ y el vector $OR$ a $(-6,2)$. Por tanto, $OR$ que

representa que el nuevo producto forma un ángulo recto con $OQ$ y es de la misma longitud. Obsérvese que tenemos la misma ley que regula la longitud de $OQ$ que en el caso anterior, a saber, que su longitud es el producto de las longitudes de los dos vectores que se multiplican entre sí; pero ahora que tenemos $O{N}_1$ a lo largo del eje de «ordenadas» $OY$, en lugar de $ON$ a lo largo del eje de «abscisas» $OX$, la dirección de $OP$ ha girado un ángulo recto.

Hasta ahora, en estos ejemplos de multiplicación, hemos considerado el vector $OP$ como modificado por los vectores $ON$ y $O{N}_1$. Obtendremos una pista sobre la ley general de la dirección invirtiendo la forma de pensar y considerando los vectores $ON$ y $O{N}_1$ como modificados por el vector $OP$. La ley para la longitud permanece inalterada; la longitud resultante es la longitud del producto de los dos vectores. La nueva dirección para el $ON$ ampliado (es decir, $OQ$) se encuentra rotándolo en la dirección (antihoraria) de rotación desde $OX$ hacia $OY$ en un ángulo igual al ángulo $XOP$: es un accidente de este caso particular que esta rotación haga que $OQ$ se encuentre a lo largo de la línea $OP$. Consideremos de nuevo el producto de $O{N}_1$ y $OP$; la nueva dirección para el $O{N}_1$ ampliado (es decir, $OR$) se encuentra rotando $ON$ en la dirección antihoraria de rotación en un ángulo igual al ángulo $XOP$, a saber, el ángulo $N_{1}OR$ es igual al ángulo $XOP$.

La regla general para la representación geométrica de la multiplicación puede enunciarse ahora de la siguiente manera: 12

El producto de los dos vectores $OP$ y $OQ$ es un vector $OR$, cuya longitud es el producto de las longitudes de $OP$ y $OQ$ y cuya dirección $OR$ es tal que el ángulo $XOR$ es igual a la suma de los ángulos $XOP$ y $XOQ$.

Por tanto, podemos concebir el vector $OP$ haciendo que el vector $OQ$ gire un ángulo $XOP$ (es decir, $\text{el ángulo }QOR=\text{el ángulo }XOP$), o el vector $OQ$ haciendo que el vector $OP$ gire el ángulo $XOQ$ (es decir, $\text{el ángulo }POR=\text{el ángulo }XOQ$).

No demostramos esta ley general, ya que nosotros

debería, por tanto, conducir a procesos matemáticos más técnicos de los que entran en el diseño de este libro. Pero ahora podemos ver inmediatamente que la ley asociativa [numerada () arriba] para la multiplicación se cumple. Consideremos primero la longitud del vector resultante; esta se obtiene mediante el proceso ordinario de multiplicación para números reales; y, por tanto, la ley asociativa se cumple para ella.

De nuevo, la dirección del vector resultante se obtiene mediante la simple suma de ángulos, y la ley asociativa también se cumple para este proceso.

Hasta aquí con la multiplicación. Hemos indicado ahora rápidamente, al considerar la suma y la multiplicación, cómo puede construirse un álgebra o «cálculo» de vectores en un plano, de tal manera que cualesquiera dos vectores en el plano puedan sumarse, o restarse, y puedan multiplicarse, o dividirse el uno por el otro.

No hemos considerado los detalles técnicos de todos estos procesos porque nos llevaría demasiado lejos hacia detalles matemáticos; pero hemos mostrado el modo general de procedimiento. Cuando interpretamos nuestros símbolos algebraicos de esta manera, se dice que estamos empleando "cantidades imaginarias" o "complejas

cantidades". Estos términos son meros detalles, y tenemos demasiado en qué pensar como para detenernos a indagar si están o no muy acertadamente elegidos.

El resultado neto de nuestras investigaciones es que

Cualquier ecuación como $x+3=2$ o $(x+3{)}^2=-2$ puede ahora interpretarse siempre en términos de vectores, y encontrar soluciones para ellas. Al buscar tales interpretaciones, es conveniente notar que $3$ se convierte en $(3,0)$, $-2$ se convierte en $(-2,0)$, y $x$ se convierte en el par «desconocido» $(u,v)$: de modo que las dos ecuaciones se convierten, respectivamente, en $(u,v)+(3,0)=(2,0)$ y $\{(u,v)+(3,0){\}}^2=(-2,0)$.

Hemos resuelto ya por completo las dificultades iniciales que llamaron nuestra atención tan pronto como consideramos incluso los elementos del álgebra. La ciencia, tal como emerge de la solución, es mucho más compleja en ideas que aquella con la que comenzamos. Hemos creado, de hecho, una ciencia nueva y completamente diferente, que servirá para todos los propósitos para los que se inventó la antigua y para muchos más además. Pero, antes de que podamos felicitarnos por este resultado de nuestras labores, debemos disipar una sospecha que a estas alturas debería haber surgido en la mente del estudiante. La pregunta que el lector debería estarse haciendo es: ¿Dónde va a terminar toda esta invención de nuevas interpretaciones? Es cierto que hemos logrado interpretar el álgebra de modo que siempre seamos capaces de resolver una ecuación cuadrática como $x^2-2x+4=0$; pero hay un número infinito de otras ecuaciones, por ejemplo, $x^3-2x+4=0$, $x^4+x^3+2=0$, y así sucesivamente sin límite. ¿Tenemos que hacer una

¿nueva ciencia cada vez que aparece una nueva ecuación?

Ahora bien, si este fuera el caso, el conjunto de nuestras investigaciones precedentes, aunque para algunas mentes pudieran resultar divertidas, carecería en realidad de toda importancia. Pero el gran hecho, que ha hecho posible el análisis moderno, es que, con la ayuda de este cálculo de vectores, toda fórmula que surge puede recibir su interpretación adecuada; y se puede demostrar que la cantidad «desconocida» en cada ecuación indica algún vector. Así, la ciencia está ahora completa en sí misma en lo que respecta a sus ideas fundamentales. Estaba recibiendo su forma definitiva casi al mismo tiempo que se perfeccionaba la máquina de vapor, y seguirá siendo un arma grande y poderosa para lograr la victoria del pensamiento sobre las cosas cuando curiosos ejemplares de aquella máquina reposen en los museos en compañía de los cascos y corazas de una época ligeramente anterior.