XI

Funciones

El uso matemático del término función

también se ha adoptado en la vida cotidiana. Por ejemplo, «su temperamento es función de su digestión» utiliza el término exactamente en este sentido matemático. Significa que se puede asignar una regla que le dirá cuál será su temperamento cuando sepa cómo funciona su digestión. Por lo tanto, la idea de «función» es bastante sencilla; solo tenemos que ver cómo se aplica en matemáticas a los números variables. Pensemos primero en algunos ejemplos concretos: si un tren ha estado viajando a una velocidad de veinte millas por hora, la distancia ($s$ millas) recorrida después de cualquier número de horas, digamos $t$, viene dada por $s=20\times t$; y $s$ se llama función de $t$. Asimismo, $20\times t$ es la función de $t$ con la que $s$ es idéntica. Si Juan es un año mayor que Tomás, entonces, cuando Tomás tiene cualquier edad de $x$ años, la edad de Juan ($y$ años) viene dada por $y=x+1$; y $y$ es una función de $x$, concretamente, es la función $x+1$.

En estos ejemplos, $t$ y $x$ se denominan

«argumentos» de las funciones en las que aparecen. Por tanto, $t$ es el argumento de la función $20\times t$, y $x$ es el argumento de la función $x+1$. Si $s=20\times t$ y $y=x+1$, entonces $s$ y $y$ se denominan los «valores» de las funciones $20\times t$ y $x+1$ respectivamente.

Pasando ahora al caso general, podemos definir una función en matemáticas como una correlación entre dos números variables, llamados respectivamente el argumento y el valor de la función, de tal modo que, sea cual sea el valor que se asigne al «argumento de la función», el «valor de la función» queda determinado de forma definida (es decir, unívoca). Lo recíproco no es necesariamente cierto, a saber, que cuando el valor de la función está determinado, el argumento también quede determinado de forma unívoca. Otras funciones del argumento $x$ son $y=x^2$,

$y=2x^2+3x+1$, $y=x$, $y=\log x$, $y=\sin x$. Las dos últimas funciones de este grupo serán fácilmente reconocibles para aquellos que entiendan un poco de álgebra y trigonometría. No vale la pena detenerse ahora para explicarlas, ya que solo se citan a modo de ejemplo.

Hasta este punto, aunque hemos definido lo que entendemos por función en general, solo hemos mencionado una serie de funciones especiales. Pero la matemática, fiel a sus métodos generales de procedimiento, simboliza la idea general de cualquier función. Lo hace escribiendo

$F(x)$, $f(x)$, $g(x)$, $\varphi (x)$, etc., para cualquier función de $x$, donde el argumento $x$ se coloca entre paréntesis, y alguna letra como $F$, $f$, $g$, $\varphi$, etc., se antepone al paréntesis para representar la función. Esta notación tiene sus defectos. Así, obviamente choca con la convención de que las letras individuales deben representar números variables; puesto que aquí $F$, $f$, $g$, $\varphi$, etc., antepuestas a un paréntesis representan funciones variables. Sería fácil dar ejemplos en los que solo podemos confiar en el sentido común y el contexto para entender lo que se quiere decir. Una forma de evitar la confusión es usar letras griegas (p. ej., $\varphi$ como se indicó arriba) para las funciones; otra forma es limitarse a $f$ y $F$ (la letra inicial de función) para la letra funcional y, si se deben simbolizar otras funciones variables, tomar una letra adyacente como $g$.

Con estas explicaciones y advertencias, escribimos $y=f(x)$ para denotar que $y$ es el valor de alguna función indeterminada del argumento $x$; donde $f(x)$ puede representar cualquier cosa, como $x+1$, $x^2-2x+1$, $\sin x$, $\log x$, o simplemente $x$ por sí misma. El punto esencial es que, cuando se da $x$, entonces $y$ queda por ello definitivamente determinado. Es importante tener absoluta claridad sobre la generalidad de esta idea. Así, en $y=f(x)$, podemos determinar, si lo deseamos, que $f(x)$ signifique que cuando $x$ es un número entero, $f(x)$ es cero, y cuando $x$ tiene cualquier otro valor, $f(x)$ es $1$. En consecuencia, al establecer $y=f(x)$, con esta elección

Para el significado de $f$, $y$ es $0$ o $1$ según si el valor de $x$ es entero o no. Así, $f(1)=0$, $f(2)=0$, $f(\frac{2}{3})=1$, $f(\sqrt{2})=1$, y así sucesivamente. Esta elección para el significado de $f(x)$ da una función perfectamente válida del argumento $x$ de acuerdo con la definición general de función.

Una función, que después de todo no es más que una suerte

de la correlación entre dos variables, se representa, al igual que otras correlaciones, mediante una gráfica, es decir, en efecto, por los métodos de la geometría analítica. Por ejemplo, la [fig.] 2 en el cap. II es la gráfica de la función ${\displaystyle \frac{1}{v}}$, donde $v$ es el argumento y $p$ el valor de la función. En este caso, la gráfica solo se dibuja para valores positivos de $v$, que son los únicos valores que poseen algún significado para la aplicación física considerada en ese capítulo. Asimismo, en la [fig.] 14 del cap. IX, toda la longitud de la línea $AB$, ilimitada en ambas direcciones, es la gráfica de la función $x+1$, donde $x$ es el argumento y $y$ el valor de la función; y en la misma figura, la línea ilimitada $A_{1}B$ es la gráfica de la función $1-x$, y la línea $LO{L}^{\prime }$ es la gráfica de la función $x$, siendo $x$ el argumento y $y$ el valor de la función.

Estas funciones, que se expresan mediante fórmulas algebraicas simples, son adecuadas para su representación mediante gráficos. Pero para algunas funciones

esta representación sería muy engañosa sin una explicación detallada, o podría incluso ser imposible. Así pues, consideremos la función mencionada anteriormente, que tiene el valor $1$ para todos los valores de su argumento $x$, excepto para aquellos que son enteros, p. ej., excepto para $x=0$, $x=1$, $x=2$, etc., cuando tiene el valor $0$. Su apariencia en una gráfica sería la de la línea recta $AB{A}^{\prime }$ trazada paralela al eje $XO{X}^{\prime }$ a una distancia de $1$ unidad de longitud. Pero los puntos $B$, $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, etc., correspondientes a los valores $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, etc., del argumento $x$, deben omitirse, y en su lugar deben tomarse los puntos $O$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, etc., sobre el eje $OX$. Es fácil encontrar funciones para las cuales la representación gráfica no solo es inconveniente sino imposible. Las funciones que no se prestan a ser graficadas son importantes en el

matemáticas superiores, pero no necesitamos preocuparnos más por ellas aquí.

La división más importante entre funciones

es la que existe entre funciones continuas y discontinuas. Una función es continua cuando su valor solo se altera gradualmente ante alteraciones graduales del argumento, y es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos. Así, las dos funciones $x+1$ y $1-x$, cuyas gráficas se representan como líneas rectas en la [fig.] 14 del IX, son funciones continuas, al igual que la función ${\displaystyle \frac{1}{v}}$, representada en el II, si solo consideramos valores positivos de $v$. Pero la función representada en la [fig.] 20 de este capítulo es discontinua, ya que en los valores $x=1$, $x=2$, etc., de su argumento, su valor presenta saltos repentinos.

Pensemos en algunos ejemplos de funciones que se nos presentan en la naturaleza, a fin de hacernos una idea clara del verdadero significado de la continuidad y la discontinuidad. Consideremos un tren en su recorrido a lo largo de una línea ferroviaria, digamos desde la estación de Euston, la terminal en Londres del ferrocarril de Londres y el Noroeste. A lo largo de la línea se encuentran, en orden, las estaciones de Bletchley y Rugby. Sea $t$ el número de horas que el tren lleva de viaje desde Euston, y $s$ el número de millas recorridas. Entonces $s$ es una función de $t$, es decir, es el valor variable correspondiente al argumento variable $t$.

Si conocemos las circunstancias del trayecto del tren, conocemos $s$ tan pronto como se nos da cualquier valor especial de $t$. Ahora bien, dejando de lado los milagros, podemos asumir con confianza que $s$ es una función continua de $t$. Es imposible contemplar la contingencia de que podamos seguir el tren de forma continua desde Euston hasta Bletchley y que luego, sin ningún tiempo intermedio, por breve que sea, aparezca en Rugby. La idea es demasiado fantástica para entrar en nuestros cálculos: contempla posibilidades que no se encuentran fuera de Las mil y una noches; e incluso en esos relatos, la pura discontinuidad del movimiento apenas entra en la imaginación, pues no se atreven a poner a prueba nuestra credulidad con nada más que una velocidad muy inusual. Pero una velocidad inusual no es ninguna contradicción a la gran ley de la continuidad del movimiento que parece regir en la naturaleza. Así, la luz se desplaza a una velocidad de unas $190.000$ millas por segundo y nos llega desde el sol en siete u ocho minutos; pero, a pesar de esta velocidad, la distancia que recorre es siempre una función continua del tiempo.

No nos resulta tan evidente que la velocidad de un cuerpo sea invariablemente una función continua del tiempo. Consideremos el tren en cualquier instante $t$: se mueve con una velocidad determinada, digamos $v$ millas por hora, donde $v$ es cero cuando el tren está detenido en una estación y es negativa cuando el tren retrocede. Ahora bien, admitimos fácilmente que $v$ no puede cambiar su

valor repentino para un tren grande y pesado. Sin duda, el tren no puede ir a cuarenta millas por hora desde las 11:45 a. m. hasta el mediodía y, de repente, sin que pase tiempo alguno, comenzar a ir a $50$ millas por hora. Admitimos de inmediato que el cambio de velocidad será un proceso gradual. Pero ¿qué hay de los golpes repentinos de magnitud adecuada? Supongamos que dos trenes chocan; o, para tomar objetos más pequeños, supongamos que un hombre patea un balón de fútbol. Ciertamente, a nuestros sentidos les parece como si el balón comenzara a moverse de repente. Así, en el caso de la velocidad, nuestros sentidos no se rebelan ante la idea de que sea una función discontinua del tiempo, como lo hicieron ante la idea de que el tren fuera transportado instantáneamente de Bletchley a Rugby. De hecho, si las leyes del movimiento, con su concepción de la masa, son ciertas, no existe tal cosa como una velocidad discontinua en la naturaleza. Cualquier cosa que aparezca ante nuestros sentidos como un cambio discontinuo de velocidad debe, según ellas, considerarse un caso de cambio gradual que es demasiado rápido para que lo percibamos. Sería imprudente, sin embargo, apresurarse a generalizar que no se nos presentan funciones discontinuas en la naturaleza. Un hombre que, confiando en que la altura media de la tierra sobre el nivel del mar entre Londres y París era una función continua de la distancia desde Londres, caminara de noche por el Shakespeare's

Cliff junto a Dover, en contemplación de la Vía Láctea, habría muerto antes de haber tenido tiempo de reorganizar sus ideas sobre la necesidad de cautela en las conclusiones científicas.

Es muy fácil encontrar una función discontinua, incluso si nos limitamos a las 21 fórmulas algebraicas más sencillas. Por ejemplo, tomemos la función $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$, que ya hemos considerado en la forma $p={\displaystyle \frac{1}{v}}$, donde $v$ estaba restringida a valores positivos. Pero

ahora sea $x$ cualquier valor, positivo o negativo. La gráfica de la función se muestra en la [fig.]21. Supongamos que $x$ cambia continuamente desde un valor negativo grande a través de un conjunto numéricamente decreciente de valores negativos hasta $0$, y desde allí a través de la serie de valores positivos crecientes. En consecuencia, si un punto móvil, $M$, representa a $x$ en $XO{X}^{\prime }$, $M$ comienza en el extremo izquierdo del eje $XO{X}^{\prime }$ y se mueve sucesivamente a través de $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, etc. Los puntos correspondientes en la función son $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, etc. Es fácil ver que hay un punto de discontinuidad en $x=0$, es decir, en el origen $O$. Pues el valor de la función en el lado negativo (izquierdo) del origen se vuelve infinitamente grande, pero negativo, y la función reaparece en el lado positivo (derecho) como infinitamente grande pero positiva. Por lo tanto, por pequeña que tomemos la longitud $M_2{M}_3$, existe un salto finito entre los valores de la función en $M_2$ y $M_3$. De hecho, este caso tiene la peculiaridad de que cuanto más pequeña tomamos la longitud entre $M_2$ y $M_3$, siempre que encierren el origen, mayor es el salto en el valor de la función entre ellos. Esta gráfica pone de manifiesto, lo que también es evidente en la [fig.]20 de este capítulo, que para muchas funciones las discontinuidades solo ocurren en puntos aislados, de modo que al restringir los valores del argumento obtenemos una función continua para estos valores restantes. Así pues, es evidente

de la [fig.]21 que en $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$, si nos limitamos solo a valores positivos y excluimos el origen, obtenemos una función continua. De manera similar, la misma función, si nos limitamos solo a valores negativos, excluyendo el origen, es continua. A su vez, la función que se representa en la [fig.]20 es continua entre $B$ y $C_1$, entre $C_1$ y $C_2$, entre $C_2$ y $C_3$, y así sucesivamente, siempre en cada caso excluyendo los puntos extremos. Sin embargo, es fácil encontrar funciones cuyas discontinuidades ocurran en todos los puntos. Por ejemplo, consideremos una función $f(x)$ tal que, cuando $x$ es cualquier número fraccionario, $f(x)=1$, y cuando $x$ es cualquier número inconmensurable, $f(x)=2$. Esta función es discontinua en todos los puntos.

Por último, examinaremos con un poco más de detenimiento la definición de continuidad dada anteriormente. Hemos dicho que una función es continua cuando su valor solo se altera gradualmente ante alteraciones graduales del argumento, y que es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos. Este es exactamente el tipo de definición que satisfacía a nuestros antepasados matemáticos y que ya no satisface a los matemáticos modernos. Vale la pena dedicarle algo de tiempo; pues cuando comprendamos las objeciones modernas a la misma, habremos avanzado mucho hacia la comprensión del espíritu de las matemáticas modernas. La

Toda la diferencia entre las matemáticas antiguas y las nuevas reside en el hecho de que términos vagos y semimetafóricos como «gradualmente» ya no se toleran en sus enunciados exactos. Las matemáticas modernas solo admiten enunciados, definiciones y argumentos que empleen exclusivamente las pocas ideas simples sobre número, magnitud y variables en las que se fundamenta la ciencia. De dos números, uno puede ser mayor o menor que el otro; y uno puede ser tal o cual múltiplo del otro; pero no existe una relación de «gradualidad» entre dos números y, por tanto, el término es inadmisible. Ahora bien, esto puede parecer a primera vista una gran pedantería. A esta acusación hay dos respuestas. En primer lugar, durante la primera mitad del siglo XIX, algunos grandes matemáticos, especialmente Abel en

Suecia, y Weierstrass en Alemania, que

grandes partes de las matemáticas, tal como se enunciaban a la antigua usanza despreocupada, eran simplemente erróneas. Macaulay en su ensayo sobre Bacon

contrasta la certeza de las matemáticas con la incertidumbre de la filosofía; y a modo de ejemplo retórico dice: "No ha habido ninguna reacción contra el teorema de Taylor".

No podría haber elegido un ejemplo peor. Pues, sin haber hecho un examen de los libros de texto ingleses de matemáticas contemporáneos a la publicación de este ensayo, el

es una suposición bastante segura que el teorema de Taylor fue enunciado y demostrado erróneamente en cada uno de ellos. En consecuencia, la ansiosa precisión de las matemáticas modernas es necesaria para la exactitud. En segundo lugar, es necesaria para la investigación. Fomenta la claridad de pensamiento y, por ende, la audacia de pensamiento y la fertilidad al probar nuevas combinaciones de ideas. Cuando los enunciados iniciales son vagos y descuidados, en cada etapa posterior del pensamiento el sentido común tiene que intervenir para limitar las aplicaciones y explicar los significados. Ahora bien, en el pensamiento creativo el sentido común es un mal maestro. Su único criterio de juicio es que las nuevas ideas se parezcan a las antiguas. En otras palabras, solo puede actuar suprimiendo la originalidad.

Al avanzar hacia la definición precisa de continuidad (tal como se aplica a las funciones), consideremos más de cerca la afirmación de que no existe una relación de "gradualidad" entre los números. Podría preguntarse: ¿acaso no puede un número ser solo ligeramente mayor que otro o, en otras palabras, no puede ser pequeña la diferencia entre dos números? El quid de la cuestión es que, en abstracto, al margen de cualquier aplicación asumida arbitrariamente, no existe tal cosa como un número grande o pequeño. Un millón de millas es un número pequeño de millas para un astrónomo que investiga las estrellas fijas, pero un millón

libras es un ingreso anual grande. De nuevo, una cuarta parte es una fracción grande de los ingresos de uno para donar a la caridad, pero es una fracción pequeña para retener para uso privado. Se pueden acumular ejemplos indefinidamente para mostrar que grande o pequeño en cualquier sentido absoluto no tienen aplicación abstracta a los números. Podemos decir de dos números que uno es mayor o menor que otro, pero no sin la especificación de circunstancias particulares que cualquier número sea grande o pequeño. Nuestra tarea, por lo tanto, es definir la continuidad sin ninguna mención de un cambio "pequeño" o "gradual" en el valor de la función.

Para hacer esto, daremos nombre a algunas ideas, lo cual también será útil cuando lleguemos a considerar los límites y el cálculo diferencial.

Un «intervalo» de valores del argumento $x$

de una función $f(x)$ son todos los valores situados entre dos valores cualesquiera del argumento. Por ejemplo, el intervalo entre $x=1$ y $x=2$ consiste en todos los valores que $x$ puede tomar situados entre $1$ y $2$, es decir, consiste en todos los números reales entre $1$ y $2$. Pero los números que delimitan un intervalo no tienen por qué ser enteros. Un intervalo de valores del argumento contiene un número $a$, cuando $a$ es un miembro del intervalo. Por ejemplo, el intervalo entre $1$ y $2$ contiene $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{7}{4}$, etcétera.

Un conjunto de números se aproxima a un número $a$

dentro de un estándar $k$, cuando la diferencia numérica entre $a$ y cada número del conjunto es menor que $k$. Aquí $k$ es el "estándar de aproximación". Por tanto, el conjunto de números $3$, $4$, $6$, $8$, se aproxima al número $5$ dentro del estándar $4$. En este caso, el estándar $4$ no es el más pequeño que podría haberse elegido, el conjunto también se aproxima

a $5$ dentro de cualquiera de los estándares $3.1$ o $3.01$ o $3.001$. De nuevo, los números $3.1$, $3.141$, $3.1415$, $3.14159$ se aproximan a $3.13102$ dentro del estándar $\mathrm{.032}$, y también dentro del estándar más pequeño $\mathrm{.03103}$.

Estas dos ideas de un intervalo y de

Las aproximaciones a un número dentro de un estándar son bastante sencillas; su única dificultad es que parecen un tanto triviales. Pero cuando se combinan con la siguiente idea, la del «entorno» de un número, forman la base del razonamiento matemático moderno. ¿Qué queremos decir al afirmar que algo es cierto para una función $f(x)$ en el entorno del valor $a$ del argumento $x$? Es esta noción fundamental la que ahora tenemos que precisar.

Se dice que los valores de una función $f(x)$ poseen una característica en el "entorno de $a$" cuando se puede encontrar algún intervalo que (i) contenga al número $a$ sin que este sea un extremo, y (ii) sea tal que todo valor

de la función para argumentos distintos de $a$ que se encuentren dentro de ese intervalo posee la característica. El valor $f(a)$ de la función para el argumento $a$ puede o no poseer la característica. Nada se decide sobre este punto mediante las afirmaciones acerca del entorno de $a$.

Por ejemplo, supongamos que tomamos la función particular $x^2$. Ahora bien, en el entorno de $2$, los valores de $x^2$ son menores que $5$. Pues podemos encontrar un intervalo, por ejemplo, de $1$ a $2.1$, que (i) contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que, para los valores de $x$ que se encuentran dentro de él, $x^2$ es menor que $5$.

Ahora, combinando las ideas precedentes, sabemos lo que significa decir que en la vecindad de $a$ la función $f(x)$ se aproxima a $c$ dentro del estándar $k$. Significa que se puede encontrar algún intervalo que (i) incluya a $a$ sin que sea un punto extremo, y (ii) sea tal que todos los valores de $f(x)$, donde $x$ se encuentra en el intervalo y no es $a$, difieran de $c$ en menos de $k$. Por ejemplo, en la vecindad de $2$, la función $\sqrt{x}$ se aproxima a $1.41425$ dentro del estándar $\mathrm{.0001}$. Esto es cierto porque la raíz cuadrada de $1.99996164$ es $1.4142$ y la raíz cuadrada de $2.00024449$ es $1.4143$; por lo tanto, para los valores de $x$ que se encuentran en el intervalo de $1.99996164$ a $2.00024449$, el cual contiene a $2$ sin que sea un punto extremo, los valores de la función $\sqrt{x}$ se sitúan todos entre $1.4142$ y $1.4143$, y

por lo tanto, todos ellos difieren de $1.41425$ en menos de $\mathrm{.0001}$. En este caso podemos, si lo deseamos, fijar un estándar de aproximación menor, a saber, $\mathrm{.000051}$ o $\mathrm{.0000501}$. De nuevo, para tomar otro ejemplo, en la vecindad de $2$ la función $x^2$ se aproxima a $4$ dentro del estándar $\mathrm{.5}$. Pues $(1.9{)}^2=3.61$ y $(2.1{)}^2=4.41$, y así se ha encontrado el intervalo requerido de $1.9$ a $2.1$, que contiene a $2$ sin ser un punto extremo. Este ejemplo pone de manifiesto el hecho de que las afirmaciones sobre una función $f(x)$ en la vecindad de un número $a$ son distintas de las afirmaciones sobre el valor de $f(x)$ cuando $x=a$. Se requiere la producción de un intervalo a lo largo del cual la afirmación sea verdadera. Así, el mero hecho de que $2^2=4$ no nos justifica por sí mismo para decir que en la vecindad de $2$ la función $x^2$ es igual a $4$. Esta afirmación sería falsa, porque no se puede producir ningún intervalo con la propiedad requerida. Además, el hecho de que $2^2=4$ no nos justifica por sí mismo para decir que en la vecindad de $2$ la función $x^2$ se aproxima a $4$ dentro del estándar $\mathrm{.5}$; aunque, de hecho, la afirmación acaba de demostrarse como verdadera.

Si comprendemos las ideas precedentes, comprendemos los fundamentos de las matemáticas modernas. Recurriremos a ideas análogas en el capítulo sobre Series, y de nuevo en el capítulo sobre el Cálculo Diferencial.

Mientras tanto, ahora estamos preparados para definir las «funciones continuas». Una función $f(x)$ es «continua» en un valor $a$ de su argumento cuando, en el entorno de $a$, sus valores se aproximan a $f(a)$ (es decir, a su valor en $a$) dentro de cualquier estándar de aproximación.

Esto significa que, sea cual sea el estándar $k$ que se elija, en la vecindad de $a$, $f(x)$ se aproxima a $f(a)$ dentro del estándar $k$. Por ejemplo, $x^2$ es continua en el valor $2$ de su argumento, $x$, porque, por mucho que se elija $k$, siempre podemos encontrar un intervalo que (i) contenga a $2$ sin que sea uno de sus puntos extremos, y (ii) sea tal que los valores de $x^2$ para los argumentos que se encuentran dentro de él se aproximen a $4$ (es decir, $2^2$) dentro del estándar $k$. Así, supongamos que elegimos el estándar $\mathrm{.1}$; ahora, $(1.999{)}^2=3.996001$ y $(2.01{)}^2=4.0401$, y ambos números difieren de $4$ en menos de $\mathrm{.1}$. Por lo tanto, dentro del intervalo de $1.999$ a $2.01$, los valores de $x^2$ se aproximan a $4$ dentro del estándar $\mathrm{.1}$. De manera similar, se puede producir un intervalo para cualquier otro estándar que queramos probar.

Tomemos el ejemplo del tren ferroviario. Su velocidad es continua mientras pasa por la caseta de señales si, para cualquier velocidad que se desee asignar (digamos, una millonésima de milla por hora), se puede encontrar un intervalo de tiempo que se extienda antes y después del instante de paso, de tal modo que en todos los instantes dentro de él la velocidad del tren

difiere de aquella con la que el tren pasó la caja en menos de una millonésima de milla por hora; y lo mismo es cierto sea cual sea la otra velocidad que se mencione en lugar de una millonésima de milla por hora.