El simbolismo de las matemáticas

Volvemos ahora a la matemática pura y consideramos más de cerca el aparato de ideas sobre el que se construye la ciencia. Nuestra primera preocupación es el simbolismo de la ciencia, y comenzamos con los símbolos más simples y universalmente conocidos, a saber, los de la aritmética.

Supongamos por el momento que tenemos

ideas suficientemente claras sobre los números enteros, representados en la notación arábiga por $0$ , $1$ , $2$ , , $9$ , $10$ , $11$ , , $100$ , $101$ , y así sucesivamente. Esta notación fue introducida en Europa a través de los árabes, pero al parecer ellos la obtuvieron de fuentes hindúes. La primera obra conocidaPara los hechos históricos detallados relacionados con las matemáticas puras, estoy principalmente en deuda con A Short History

de Matemáticas, por W. W. R. Ball.

en el cual se explica sistemáticamente, es una obra del matemático indio Bhaskara (nacido en 1114). Pero

los numerales actuales pueden rastrearse hasta el siglo VII de nuestra era, y tal vez fueron inventados originalmente en el Tíbet. Para nuestro presente

propósitos, sin embargo, la historia de la notación es un detalle. El punto interesante a observar es la admirable ilustración que este sistema numérico ofrece de la enorme importancia de una buena notación. Al liberar al cerebro de todo trabajo innecesario, una buena notación lo deja libre para concentrarse en problemas más avanzados y, en efecto, aumenta el poder mental de la raza. Antes de la introducción de la notación arábiga, la multiplicación era difícil, y la división incluso de números enteros requería el uso de las más altas facultades matemáticas. Probablemente nada en el mundo moderno habría asombrado más a un matemático griego que saber que, bajo la influencia de la educación obligatoria, una gran parte de la población de Europa Occidental podía realizar la operación de división con los números más grandes. Este hecho le habría parecido una absoluta imposibilidad. La consiguiente extensión de la notación a las fracciones decimales no se logró hasta el siglo XVII. Nuestra capacidad moderna para realizar cálculos sencillos con fracciones decimales es el resultado casi milagroso del descubrimiento gradual de una notación perfecta.

A menudo se considera que las matemáticas son una ciencia difícil y misteriosa, debido a los numerosos símbolos que emplea. Por supuesto, nada es más incomprensible que

un simbolismo que no comprendemos. Asimismo, un simbolismo que solo comprendemos parcialmente y que no estamos acostumbrados a utilizar resulta difícil de seguir. Exactamente del mismo modo, los términos técnicos de cualquier profesión u oficio son incomprensibles para quienes nunca han sido instruidos en su uso. Pero esto no se debe a que sean difíciles en sí mismos. Por el contrario, invariablemente se han introducido para facilitar las cosas. Así, en matemáticas, dado que prestemos una atención seria a las ideas matemáticas, el simbolismo es invariablemente una inmensa simplificación. No solo es de utilidad práctica, sino que es de gran interés. Pues representa un análisis de las ideas de la materia y una representación casi pictórica de sus relaciones entre sí. Si alguien duda de la utilidad de los símbolos, que escriba por completo, sin símbolo alguno, todo el significado de las siguientes ecuaciones que representan algunas de

las leyes fundamentales del álgebra:–- Cf. Nota A, noteA.60

x + y = y + x, \tag{\quad\ensuremath{(1)}} \ (x + y) + z = x + (y + z), \tag \ x × y = y × x, \tag}{\quad\ensuremath{(3)}} \ (x × y) × z = x × (y × z), \tag}} \ x × (y + z) = (x × y) + (x × z). \tag*{\quad\ensuremath{(5)}

Aquí (1) y (2) se denominan leyes conmutativa y asociativa de la suma, (3) y (4)

son las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación, y (5) es la ley distributiva que relaciona la suma y la multiplicación. Por ejemplo, sin símbolos, (1) se convierte en: Si se suma un segundo número a cualquier número dado, el resultado es el mismo que si el primer número dado se hubiera sumado al segundo número.

Este ejemplo muestra que, con la ayuda del simbolismo, podemos realizar transiciones en el razonamiento casi mecánicamente mediante la vista, las cuales, de otro modo, requerirían la intervención de las facultades superiores del cerebro.

Es una verdad de Perogrullo profundamente errónea, repetida en todos los cuadernos de caligrafía y por personas eminentes cuando pronuncian discursos, que deberíamos cultivar el hábito de pensar en lo que estamos haciendo. El caso es exactamente el contrario. La civilización avanza al aumentar el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar en ellas. Las operaciones del pensamiento son como las cargas de caballería en una batalla: son estrictamente limitadas en número, requieren caballos frescos y solo deben realizarse en momentos decisivos.

Una propiedad muy importante que debe poseer el simbolismo es la de ser conciso, de modo que sea visible de un solo vistazo y pueda escribirse rápidamente. Ahora bien, no podemos colocar símbolos de manera más concisa que situándolos en yuxtaposición inmediata. Por lo tanto, en un buen simbolismo, la yuxtaposición de importantes

Los símbolos deben tener un significado importante. Este es uno de los méritos de la notación arábiga para los números; mediante diez símbolos, $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , y por simple yuxtaposición, se simboliza cualquier número que sea. De nuevo en álgebra, cuando tenemos dos números variables $x$ e $y$ , tenemos que elegir qué denotará su yuxtaposición $x y$ . Ahora bien, las dos ideas más importantes que tenemos a mano son las de suma y multiplicación. Los matemáticos han elegido hacer su simbolismo más conciso definiendo que $x y$ represente $x \times y$ . Así, las leyes (3), (4) y (5) anteriores se escriben por lo general como $x y = y x, (x y) z = x (y z), x (y + z) = x y + x z,$ logrando así una gran ganancia en concisión. La misma regla de simbolismo se aplica a la yuxtaposición de un número definido y una variable: escribimos $3 x$ para $3 \times x$ , y $30 x$ para $30 \times x$ .

Es evidente que, al sustituir las variables por números definidos, debe tenerse cierto cuidado al restablecer el signo $\times$ , para no entrar en conflicto con la notación arábiga. Así, cuando sustituimos $x$ por $2$ e $y$ por $3$ en $x y$ , debemos escribir $2 \times 3$ para $x y$ , y no $23$ , que significa $20 + 3$ .

Resulta interesante observar lo importante que puede llegar a ser un símbolo de aspecto modesto para el desarrollo de la ciencia. Puede representar la presentación enfática de una idea, a menudo una muy

idea sutil, y mediante su existencia hacer fácil exhibir la relación de esta idea con todas las complejas cadenas de ideas en las que ocurre. Por ejemplo, tomemos el más modesto de todos los símbolos, a saber, $0$ , que representa el número

cero. La notación romana para los números no tenía ningún símbolo para el cero, y probablemente la mayoría de los matemáticos del mundo antiguo se habrían sentido terriblemente desconcertados ante la idea del número cero. Pues, al fin y al cabo, es una idea muy sutil, en absoluto evidente. En las obras filosóficas se encontrará una gran cantidad de discusiones sobre el significado de la cantidad cero. El cero no es, en realidad, más difícil o sutil en cuanto a su idea que los otros números cardinales. ¿Qué queremos decir con $1$ , o con $2$ , o con $3$ ? Pero estamos familiarizados con el uso de estas ideas, aunque la mayoría de nosotros nos sentiríamos desconcertados al dar un análisis claro de las ideas más simples que las conforman. La cuestión sobre el cero es que no necesitamos utilizarlo en las operaciones de la vida diaria. Nadie sale a comprar cero pescados. Es, en cierto modo, el más civilizado de todos los cardinales, y su uso solo se nos impone por las necesidades de los modos de pensamiento cultivados. Muchos servicios importantes son prestados por el símbolo $0$ , que representa al número cero.

El símbolo se desarrolló en relación con la notación arábiga de los números, de la cual es una parte esencial. Pues en dicha notación el

El valor de un dígito depende de la posición en la que se encuentre. Consideremos, por ejemplo, el dígito $5$ tal como aparece en los números $25$ , $51$ , $3512$ , $5213$ . En el primer número, el $5$ representa cinco; en el segundo número, el $5$ representa cincuenta; en el tercero, quinientos; y en el cuarto, cinco mil. Ahora bien, cuando escribimos el número cincuenta y uno en la forma simbólica $51$ , el dígito $1$ desplaza al dígito $5$ a la segunda posición (contando de derecha a izquierda) y, por tanto, le otorga el valor de cincuenta. Pero cuando queremos simbolizar el cincuenta por sí solo, no podemos contar con un dígito $1$ que realice esta función; necesitamos un dígito en la posición de las unidades que no añada nada al total y que, sin embargo, desplace al $5$ a la segunda posición. Este servicio lo realiza el $0$ , el símbolo del cero. Es extremadamente probable que los hombres que lo introdujeron con este propósito no tuvieran en mente una concepción definida del número cero. Simplemente querían una marca que simbolizara el hecho de que la posición del dígito en la que aparece no aporta nada. La idea del cero probablemente tomó forma gradualmente a partir del deseo de asimilar el significado de esta marca al de las marcas $1$ , $2$ , ..., $9$ , que sí representan números cardinales. Este no sería el único caso en el que una idea sutil se ha introducido en las matemáticas mediante un simbolismo que, en su origen, fue dictado por la conveniencia práctica.

Así, el primer uso del $0$ fue hacer posible la notación posicional; no fue un servicio menor. Podemos imaginar que, cuando se introdujo con este propósito, los hombres prácticos, de esos que detestan las ideas fantasiosas, desaprobaron la absurda costumbre de identificarlo con el número cero. Pero se equivocaban, como siempre ocurre con tales hombres cuando abandonan su función propia de masticar los alimentos que otros han preparado. Pues el siguiente servicio realizado por el símbolo $0$ depende esencialmente de asignarle la función de representar al número cero.

Este segundo uso simbólico es, a primera vista, tan absurdamente simple que resulta difícil hacer que un principiante comprenda su importancia. Comencemos con un ejemplo sencillo. En II. mencionamos la correlación entre dos números variables $x$ e $y$ representada por la ecuación $x + y = 1$ . Esto puede representarse de un número indefinido de maneras; por ejemplo, $x = 1 - y$ , $y = 1 - x$ , $2 x + 3 y - 1 = x + 2 y$ , y así sucesivamente. Pero la forma importante de expresarlo es $x + y - 1 = 0$ . Del mismo modo, la forma importante de escribir la ecuación $x = 1$ es $x - 1 = 0$ , y de representar la ecuación $3 x - 2 = 2 x^{2}$ es $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . La cuestión es que todos los símbolos que representan variables, por ejemplo $x$ e $y$ , y los símbolos

que representan algún número definido distinto de cero, como $1$ o $2$ en los ejemplos anteriores, se escriben en el lado izquierdo, de modo que todo el lado izquierdo se iguala al número cero. Se dice que el primero en hacer esto fue Thomas Harriot, nacido en Oxford

en 1560 y murió en 1621. Pero, ¿cuál es la importancia de este sencillo procedimiento simbólico? Hizo posible el crecimiento del

concepción moderna de la forma algebraica.

Esta es una idea a la que tendremos que recurrir continuamente; no es exagerado decir que ninguna parte de las matemáticas modernas puede entenderse adecuadamente sin recurrir constantemente a ella. La concepción de forma es tan general que resulta difícil caracterizarla en términos abstractos. En esta etapa, será mejor que nos limitemos a considerar ejemplos. Así, las ecuaciones $2 x - 3 = 0$ , $x - 1 = 0$ , $5 x - 6 = 0$ , son todas ecuaciones de la misma forma, a saber, ecuaciones que involucran una incógnita $x$ , la cual no está multiplicada por sí misma, de modo que $x^{2}$ , $x^{3}$ , etc., no aparecen. Por otra parte, $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , $x^{2} - 4 = 0$ , son todas ecuaciones de la misma forma, a saber, ecuaciones que involucran una incógnita $x$ en la que aparece $x \times x$ , es decir, $x^{2}$ . Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cuadráticas. De manera similar, las ecuaciones cúbicas, en las que aparece $x^{3}$ , producen otra forma, y así sucesivamente. Entre las tres ecuaciones cuadráticas dadas anteriormente existe una diferencia menor entre la última ecuación,

$x^{2} - 4 = 0$ , y las dos ecuaciones precedentes, debido al hecho de que $x$ (a diferencia de $x^{2}$ ) no aparece en la última y sí en las otras dos. Esta distinción es muy poco importante en comparación con el gran hecho de que las tres son ecuaciones cuadráticas.

Luego existen las formas de ecuación que establecen correlaciones entre dos variables; por ejemplo, $x + y - 1 = 0$ , $2 x + 3 y - 8 = 0$ , y así sucesivamente. Estos son ejemplos de lo que se denomina la forma lineal de ecuación. La razón de este nombre de «lineal» es que el método gráfico de representación, que se explica al final del apartado II, siempre representa tales ecuaciones mediante una línea recta. Luego existen otras formas para dos variables —por ejemplo, la forma cuadrática, la forma cúbica, y así sucesivamente. Pero el punto en el que insistimos aquí es que este estudio de la forma se ve facilitado, y, de hecho, hecho posible, por el método estándar de escribir ecuaciones con el símbolo $0$ en el lado derecho.

Existe todavía otra función que desempeña el $0$ en relación con el estudio de la forma. Sea cual sea el número $x$ , $0 \times x = 0$ , y $x + 0 = x$ . Mediante estas propiedades, las pequeñas diferencias de forma pueden ser asimiladas. Así, la diferencia mencionada anteriormente entre las ecuaciones cuadráticas $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ y $x^{2} - 4 = 0$ puede ser borrada escribiendo la última

ecuación de la forma $x^{2} + (0 \times x) - 4 = 0$ . Pues, según las leyes expuestas anteriormente, $x^{2} + (0 \times x) - 4 = x^{2} + 0 - 4 = x^{2} - 4$ . Por tanto, la ecuación $x^{2} - 4 = 0$ es simplemente representativa de una clase particular de ecuaciones cuadráticas y pertenece a la misma forma general que $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

Por estas tres razones, el símbolo $0$ , que representa el número cero, es esencial para las matemáticas modernas. Ha hecho posibles tipos de investigación que habrían sido imposibles sin él.

El simbolismo de las matemáticas es, en verdad, el resultado de las ideas generales que dominan la ciencia. Tenemos ahora ante nosotros dos de estas ideas generales: la de la variable y la de la forma algebraica. La unión de estos conceptos ha impuesto a las matemáticas otro tipo de simbolismo, de carácter casi pintoresco, pero no por ello menos eficaz. Hemos visto que una ecuación que involucra dos variables, $x$ e $y$ , representa una correlación particular entre el par de variables. Así, $x + y - 1 = 0$ representa una correlación definida, y $3 x + 2 y - 5 = 0$ representa otra correlación definida entre las variables $x$ e $y$ ; y ambas correlaciones tienen la forma de lo que hemos llamado correlaciones lineales. Pero ahora, ¿cómo podemos representar cualquier correlación lineal entre los números variables $x$ e $y$ ? Aquí queremos simbolizar cualquier correlación lineal; del mismo modo que $x$ simboliza cualquier

número. Esto se hace convirtiendo los números que aparecen en la correlación definida $3 x + 2 y - 5 = 0$ en letras. Obtenemos $a x + b y - c = 0$ . Aquí, $a$ , $b$ y $c$ representan números variables al igual que $x$ e $y$ : pero existe una diferencia en el uso de los dos conjuntos de variables. Estudiamos las propiedades generales de la relación entre $x$ e $y$ mientras $a$ , $b$ y $c$ tienen valores inalterados. No determinamos cuáles son los valores de $a$ , $b$ y $c$ ; pero sean cuales sean, permanecen fijos mientras estudiamos la relación entre las variables $x$ e $y$ para todo el grupo de valores posibles de $x$ e $y$ . Pero cuando hemos obtenido las propiedades de esta correlación, observamos que, debido a que $a$ , $b$ y $c$ no han sido de hecho determinados, hemos probado propiedades que deben pertenecer a cualquier relación de este tipo. Así, al variar ahora $a$ , $b$ y $c$ , llegamos a la idea de que $a x + b y - c = 0$ representa una correlación lineal variable entre $x$ e $y$ . En comparación con $x$ e $y$ , las tres variables $a$ , $b$ y $c$ se denominan constantes. Las variables utilizadas en este

a veces también se denominan parámetros.

Ahora bien, los matemáticos suelen ahorrarse la molestia de explicar cuáles de sus variables deben tratarse como «constantes» y cuáles como variables, consideradas como correlacionadas en sus ecuaciones, utilizando letras del final del alfabeto para las variables «variables», y letras del principio del alfabeto para

las variables «constantes», o parámetros. Ambos sistemas se encuentran de forma natural hacia la mitad del alfabeto. A veces es necesaria una o dos palabras de explicación; pero, de hecho, la costumbre y el sentido común suelen ser suficientes, y resulta sorprendente la poca confusión que causa un procedimiento que parece tan laxo.

El resultado de esta continua eliminación de números definidos mediante capas sucesivas de parámetros es que la cantidad de aritmética realizada por los matemáticos es extremadamente pequeña. A muchos matemáticos les desagrada cualquier cálculo numérico y no son particularmente expertos en él. El territorio de la aritmética termina donde las dos ideas de «variables» y de «forma algebraica» comienzan a ejercer su dominio.