Métodos de aplicación
La forma en que la idea de variables que satisfacen una relación aparece en las aplicaciones de las matemáticas merece ser pensada, y al dedicarle algo de tiempo aclararemos nuestras ideas sobre todo el tema.
Comencemos con el más sencillo de los ejemplos:–-Supongamos que la construcción cuesta s. por pie cúbico y que s. hacen £. Entonces, en todas las complejas circunstancias que acompañan a la construcción de una casa nueva, en medio de todas las diversas sensaciones y emociones del propietario, el arquitecto, el constructor, los obreros y los espectadores a medida que la casa ha ido creciendo hasta su finalización, se asume por ley que esta correlación fija se mantiene entre el contenido cúbico y el coste para el propietario, a saber, que si es el número de pies cúbicos, y £ el coste, entonces . Se asume que esta correlación de e es cierta para la construcción de cualquier casa por parte de cualquier propietario. Además, no se supone que el volumen de la casa y el coste hayan sido percibidos o comprendidos por ninguna sensación o facultad en particular, o por ninguna
hombre en particular. Se enuncian de una manera general y abstracta, con total indiferencia hacia el estado de ánimo del propietario cuando tiene que pagar la factura.
Ahora piense un poco más en lo que todo esto significa. La construcción de una casa es un conjunto complicado de circunstancias. Es imposible empezar a aplicar la ley, o ponerla a prueba, a menos que, en medio del curso general de los acontecimientos, sea posible reconocer un conjunto definido de sucesos como un caso particular de la construcción de una casa. En resumen, debemos saber reconocer una casa cuando la vemos, y debemos identificar los eventos que pertenecen a su construcción. Entonces, en medio de estos eventos, aislados así en la idea del resto de la naturaleza, los dos elementos del coste y el contenido cúbico deben ser determinables; y cuando ambos están determinados, si la ley es cierta, satisfacen la fórmula general ¿Pero es cierta la ley? Cualquiera que haya tenido mucho que ver con la construcción sabrá que aquí hemos fijado el coste bastante alto. Solo para un tipo de casa costosa resultará en este precio. Esto pone de relieve otro punto que debe quedar claro. Mientras hacemos cálculos matemáticos relacionados con la fórmula , nos es indiferente si la ley es cierta o
falso. De hecho, los significados mismos asignados a e , como cantidad de pies cúbicos y cantidad de libras esterlinas, son indiferentes. Durante la investigación matemática, en realidad, solo estamos considerando las propiedades de esta correlación entre un par de números variables e . Nuestros resultados se aplicarán igual de bien si interpretamos que significa un número de pescadores y el número de peces capturados, de modo que la ley supuesta es que, en promedio, cada pescador captura veinte peces. La certeza matemática de la investigación solo se vincula a los resultados considerados como propiedades de la correlación entre el par variable de números e . No existe certeza matemática alguna sobre el costo de la construcción real de ninguna casa. La ley no es del todo cierta y el resultado que arroja no será del todo preciso. De hecho, bien podría estar irremediablemente equivocada.
Sin duda, todo esto parece muy obvio. Pero, en realidad, en casos más complicados no hay error más común que asumir que, debido a que se han realizado cálculos matemáticos prolongados y precisos, la aplicación del resultado a algún hecho de la naturaleza es absolutamente cierta. La conclusión de ningún argumento puede ser más cierta que las premisas de las que parte. Todos los cálculos matemáticos sobre el curso de
la naturaleza debe partir de alguna ley natural supuesta, como, por ejemplo, la supuesta ley del coste de construcción mencionada anteriormente. En consecuencia, por muy precisamente que hayamos calculado que debe ocurrir algún suceso, siempre persiste la duda: ¿es verdadera la ley? Si la ley establece un resultado preciso, casi con toda seguridad no es precisamente exacta; y, por tanto, incluso en el mejor de los casos, es poco probable que el resultado ocurra tal y como se ha calculado. Pero, dado que no poseemos ninguna facultad capaz de observar con precisión ideal, al fin y al cabo, nuestras leyes inexactas pueden ser lo suficientemente buenas.
Pasaremos ahora a un caso real, el de Newton y la ley de la gravedad. Esta ley establece que dos cuerpos cualesquiera se atraen mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Por tanto, si y son las masas de los dos cuerpos, calculadas en libras, por ejemplo, y millas es la distancia entre ellos, la fuerza sobre cualquiera de los cuerpos, debida a la atracción del otro y dirigida hacia él, es proporcional a ; así pues, esta fuerza puede escribirse como igual a , donde es un número definido que depende de la magnitud absoluta de esta atracción y también de la escala que elijamos para medir las fuerzas. Es fácil ver que, si
si se desea calcular en términos de fuerzas tales como el peso de una masa de lb., el número que representa debe ser extremadamente pequeño; pues cuando , y se igualan cada uno a , se convierte en la atracción gravitatoria de dos masas iguales de lb. a la distancia de una milla, y esto es totalmente inapreciable.
Sin embargo, ahora tenemos nuestra fórmula para la fuerza de atracción. Si llamamos a esta fuerza , es , lo que da la correlación entre las variables , , y . Todos conocemos la historia de cómo se descubrió. Newton, se dice, estaba sentado en un huerto y observó la caída de una manzana, y entonces la ley de la gravitación universal irrumpió en
su mente. Puede que la formulación final de la ley se le ocurriera en un huerto, así como en cualquier otro lugar —y en algún lugar tuvo que haber estado—. Pero, para nuestros propósitos, resulta más instructivo detenerse en la enorme cantidad de pensamiento preparatorio, producto de muchas mentes y muchos siglos, que fue necesaria antes de que esta ley exacta pudiera ser formulada. En primer lugar, hubo que generar el hábito mental matemático y el procedimiento matemático explicados en los dos capítulos anteriores; de lo contrario, Newton nunca habría podido pensar en una fórmula que representara la fuerza entre dos masas cualesquiera.
a cualquier distancia. De nuevo, ¿cuáles son los significados
de los términos empleados, ¿Fuerza, Masa, Distancia?
Tomemos el más sencillo de estos términos, Distancia. Nos parece muy obvio concebir todas las cosas materiales como si formaran un todo geométrico definido, de tal modo que las distancias de las diversas partes sean medibles en términos de alguna unidad de longitud, como una milla o una yarda. Este es casi el primer aspecto de una estructura material que se nos ocurre. Es el resultado gradual del estudio de la geometría y de la teoría de la medición. Incluso ahora, en ciertos casos, otros modos de pensamiento resultan convenientes. En un país montañoso, las distancias a menudo se calculan en horas. Pero dejando la distancia, los otros términos, Fuerza y Masa, son mucho más oscuros. La comprensión exacta de las ideas que Newton
lo que pretendía transmitir con estas palabras fue de lento desarrollo y, de hecho, el propio Newton fue el primer hombre que había dominado por completo los verdaderos principios generales de la Dinámica.
A lo largo de la Edad Media, bajo la influencia de Aristóteles, la ciencia fue completamente
mal concebida. Newton tuvo la ventaja de aparecer después de una serie de grandes hombres, notablemente Galileo, en Italia, quien en los dos anteriores
siglos habían reconstruido la ciencia y habían inventado la forma correcta de pensar sobre ella. Él completó su trabajo. Entonces, finalmente, al tener las ideas de fuerza, masa y distancia,
claras y distintas en su mente, y al darse cuenta de su importancia y su relevancia para la caída de una manzana y los movimientos de los planetas, dio con la ley de la gravitación y demostró que era la fórmula que siempre se cumplía en estos diversos movimientos.
El punto vital en la aplicación de fórmulas matemáticas es tener ideas claras y una estimación correcta de su relevancia para los fenómenos bajo observación. No menos que nosotros, nuestros ancestros remotos estaban impresionados por la importancia de los fenómenos naturales y por la conveniencia de tomar medidas enérgicas para regular la secuencia de los acontecimientos. Bajo la influencia de ideas irrelevantes, ejecutaban elaboradas ceremonias religiosas para ayudar al nacimiento de la luna nueva y realizaban sacrificios para salvar al sol durante la crisis de un eclipse. No hay razón para creer que fueran más estúpidos que nosotros. Pero en aquella época no había habido oportunidad para la lenta acumulación de ideas claras y relevantes.
La manera en que las ciencias físicas
desarrollarse hasta alcanzar una forma susceptible de ser tratada mediante métodos matemáticos queda ilustrado por la historia del crecimiento gradual de la ciencia del electromagnetismo. Las tormentas eléctricas son fenómenos a gran escala que despiertan terror en los hombres e incluso en los animales. Desde los tiempos más remotos, deben haber sido objeto de un salvaje
y fantásticas hipótesis, aunque cabe dudar si nuestros modernos descubrimientos científicos en relación con la electricidad no son más asombrosos que cualquiera de las explicaciones mágicas de los salvajes. Los griegos sabían que el ámbar (en griego, elektron) al ser frotado atraía cuerpos ligeros y secos. En 1600, el Dr. Gilbert, de Colchester, publicó
la primera obra sobre el tema en la que se sigue algún método científico. Elaboró una lista de sustancias que poseían propiedades similares a las del ámbar; también se le debe reconocer el mérito de haber relacionado, aunque vagamente, los fenómenos eléctricos y magnéticos. A finales del siglo XVII y a lo largo del XVIII, el conocimiento avanzó. Se construyeron máquinas eléctricas, se obtuvieron chispas de ellas y se inventó la botella de Leyden, mediante la cual estos efectos podían intensificarse. Se estaba obteniendo cierto conocimiento organizado; pero aún no se habían descubierto ideas matemáticas relevantes. Franklin,
en el año 1752, envió una cometa a las nubes y demostró que las tormentas eléctricas eran de naturaleza eléctrica.
Mientras tanto, desde la época más remota (2634 a. C.), los chinos habían utilizado la propiedad característica de la aguja de la brújula, pero no parecen haberla relacionado con ninguna idea teórica. Los cambios realmente profundos en la vida humana tienen todos su origen último en el conocimiento.
perseguida por sí misma. El uso de la brújula no se introdujo en Europa hasta finales del siglo XII, más de años después de su primer uso en China. La importancia que la ciencia del electromagnetismo ha asumido desde entonces en todos los ámbitos de la vida humana no se debe a una superior inclinación práctica de los europeos, sino al hecho de que, en Occidente, los fenómenos eléctricos y magnéticos fueron estudiados por hombres dominados por intereses teóricos abstractos.
El descubrimiento de la corriente eléctrica se debe
a dos italianos, Galvani en 1780, y Volta
en 1792. Este gran invento abrió una nueva serie de fenómenos para la investigación. El mundo científico tenía ahora a mano tres grupos de sucesos distintos, aunque relacionados: los efectos de la electricidad "estática" provenientes de las máquinas eléctricas de fricción, los fenómenos magnéticos y los efectos debidos a las corrientes eléctricas. Desde finales del siglo XVIII en adelante, estas tres líneas de investigación se interconectaron rápidamente y se construyó la ciencia moderna del electromagnetismo, que ahora amenaza con transformar la vida humana.
Surgen ahora las ideas matemáticas. Durante la década de 1780 a 1789, Coulomb, un francés,
demostró que los polos magnéticos se atraen o se repelen entre sí, en proporción a la inversa del cuadrado de sus distancias, y también que la
la misma ley se aplica a las cargas eléctricas; leyes curiosamente análogas a la de la gravitación. En 1820, Öersted, un danés, descubrió que
las corrientes eléctricas ejercen una fuerza sobre los imanes, y casi inmediatamente después la ley matemática de dicha fuerza fue formulada correctamente por Ampère, un francés, quien
también demostró que dos corrientes eléctricas ejercían fuerzas la una sobre la otra. "La investigación experimental mediante la cual Ampère estableció la ley de la acción mecánica entre corrientes eléctricas es uno de los logros más brillantes de la ciencia. El conjunto, teoría y experimento, parece como si hubiera surgido, plenamente desarrollado y armado, del cerebro del 'Newton de la Electricidad'. Es perfecto
en su forma, e inexpugnable en su exactitud, y se resume en una fórmula de la cual pueden deducirse todos los fenómenos, y que debe permanecer siempre como la fórmula cardinal de la electrodinámica."Electricity and Magnetism, Clerk Maxwell, Vol. II.,
cap. iii.
Las trascendentales leyes de inducción entre corrientes y entre corrientes e imanes fueron descubiertas por Michael Faraday en 1831-32.
A Faraday le preguntaron: «¿Para qué sirve este descubrimiento?». Él respondió: «¿Para qué sirve un niño? Crece hasta convertirse en hombre». El niño de Faraday ha crecido hasta convertirse en hombre y es ahora la base de todas las aplicaciones modernas.
de la electricidad. Faraday también reorganizó toda la concepción teórica de la ciencia. Sus ideas, que no habían sido comprendidas del todo por el mundo científico, fueron ampliadas y expresadas en una forma directamente matemática por Clerk Maxwell en 1873. Como resultado de su
investigaciones matemáticas, Maxwell reconoció que, bajo ciertas condiciones, las vibraciones eléctricas deberían propagarse. Sugirió de inmediato que las vibraciones que forman la luz son eléctricas. Esta sugerencia ha
desde entonces ha sido verificada, de modo que ahora toda la teoría de la luz no es más que una rama de la
gran ciencia de la electricidad. También Herz, un
Hertz, en 1888, siguiendo las ideas de Maxwell, logró producir vibraciones eléctricas mediante métodos eléctricos directos. Sus experimentos son la base de nuestra telegrafía sin hilos.
En años más recientes se han realizado descubrimientos aún más fundamentales, y la ciencia sigue creciendo en importancia teórica y en interés práctico. Este rápido esbozo de su progreso ilustra cómo, mediante la introducción gradual de las ideas teóricas pertinentes, sugeridas por la experimentación y que a su vez sugieren nuevos experimentos, toda una masa de fenómenos aislados e incluso triviales se fusionan en una ciencia coherente, en la que los resultados de deducciones matemáticas abstractas, partiendo de unos pocos supuestos simples
leyes, suministran la explicación al complejo enredo del curso de los acontecimientos.
Finalmente, yendo más allá de las ciencias particulares del electromagnetismo y la luz, podemos generalizar nuestro punto de vista aún más y dirigir nuestra atención al crecimiento de la física matemática considerada como un gran capítulo del pensamiento científico. En primer lugar, ¿cuál es, en sus rasgos más generales, la historia de su crecimiento?
No comenzó como una sola ciencia, ni como el producto de un solo grupo de hombres. Los pastores caldeos observaban los cielos, los agentes del gobierno en Mesopotamia y Egipto medían la tierra, sacerdotes y filósofos reflexionaban sobre la naturaleza general de todas las cosas. La vasta masa de las operaciones de la naturaleza parecía deberse a fuerzas misteriosas e inescrutables. «El viento sopla donde quiere» expresa con exactitud la absoluta ignorancia que entonces existía sobre cualquier regla estable seguida en detalle por la sucesión de los fenómenos. En sus rasgos generales, entonces como ahora, la regularidad de los acontecimientos era patente. Pero no era posible un rastreo minucioso de su interconexión, y no se tenía conocimiento alguno de cómo empezar a construir tal ciencia.
Especulaciones distantes, unos cuantos intentos afortunados o desafortunados sobre la naturaleza de las cosas, constituían lo máximo que se podía producir.
Mientras tanto, los estudios topográficos habían dado lugar a la geometría,
y las observaciones de los cielos revelaron la exacta regularidad del sistema solar. Algunos de los griegos posteriores, como Arquímedes, tenían nociones acertadas sobre los elementos
fenómenos de la hidrostática y la óptica. De hecho, Arquímedes, quien combinó un genio para las matemáticas con una intuición física, debe situarse al nivel de Newton, quien vivió casi dos
mil años después, como uno de los fundadores de la física matemática. Vivió en Siracusa, la gran ciudad griega de Sicilia. Cuando los romanos sitiaron la ciudad (entre el 212 y el 210 a. C.), se dice que quemó sus barcos concentrando en ellos, mediante espejos, los rayos del sol. La historia es altamente improbable, pero es una buena prueba de la reputación que se había ganado entre sus contemporáneos por su conocimiento de la óptica. Al final de este asedio fue asesinado. Según un relato ofrecido por Plutarco, en su vida de
Marcelo, fue encontrado por un soldado romano
absorto en el estudio de un diagrama geométrico que había trazado en el suelo arenoso de su habitación. No obedeció de inmediato las órdenes de su captor y, por ello, fue asesinado. En honor a los generales romanos, debe decirse que los soldados tenían órdenes de perdonarle la vida. La evidencia interna de la otra historia famosa sobre él es muy sólida; pues el descubrimiento que se le atribuye es uno eminentemente digno de su genio para la investigación matemática y física.
Afortunadamente, es lo suficientemente sencillo como para explicarlo aquí en detalle. Es uno de los mejores ejemplos fáciles del método de aplicación de las ideas matemáticas a la física.
Hierón, rey de Siracusa, había enviado una cantidad
de oro a cierto orfebre para que diera forma al material de una corona. Sospechaba que el artesano había sustraído parte del oro y lo había reemplazado aleando el resto con algún metal más vil. Hierón envió la corona a Arquímedes y le pidió que la examinara. En nuestros días, habría un número indefinido de pruebas químicas disponibles. Pero entonces, Arquímedes tuvo que pensar en el asunto desde cero. La solución le sobrevino como un relámpago mientras estaba en su baño. Saltó y corrió por las calles hacia el palacio, gritando ¡Eureka! ¡Eureka! (lo he encontrado, lo he encontrado). Este día, si supiéramos cuál fue, debería celebrarse como el nacimiento de la física matemática; la ciencia alcanzó su mayoría de edad cuando Newton se sentó en su
huerto. Arquímedes había hecho en verdad un gran descubrimiento. Observó que un cuerpo, al ser sumergido en agua, es empujado hacia arriba por el agua circundante con una fuerza resultante igual al peso del agua que desplaza. Esta ley puede probarse teóricamente a partir de los principios matemáticos de la hidrostática y también puede verificarse experimentalmente. Por tanto, si lb. es el peso de la corona, tal como se pesó
en el aire, y sea lb. el peso del agua que desplaza al estar completamente sumergida, sería la fuerza ascendente adicional necesaria para sostener la corona mientras cuelga en el agua.
Ahora bien, esta fuerza ascendente puede determinarse fácilmente pesando el cuerpo mientras cuelga en el agua, como se muestra en la figura adjunta. Si 3 los pesos en la balanza de la derecha suman lb., entonces el peso aparente de la corona en el agua es lb.; y así tenemos y por tanto y donde y se determinan mediante la operación sencilla, y bastante precisa, de pesar.
Por lo tanto, mediante la ecuación (A), es conocido. Pero es la razón entre el peso de la corona y el peso de un volumen igual de agua. Esta razón es la misma para cualquier trozo de metal del mismo material: hoy en día se denomina peso específico del material y depende únicamente de la naturaleza intrínseca de la sustancia, no de su forma o cantidad. Así, para comprobar si la corona era de oro, a Arquímedes solo le bastaba tomar un trozo de oro indiscutiblemente puro y hallar su peso específico mediante el mismo proceso. Si ambos pesos específicos coincidían, la corona era pura; si no coincidían, estaba adulterada.
Este argumento se ha expuesto extensamente, no solo porque es el primer ejemplo preciso de la aplicación de ideas matemáticas a la física, sino también porque es un ejemplo perfecto y sencillo de lo que debe ser el método y el espíritu de la ciencia para siempre.
La muerte de Arquímedes a manos de un soldado romano es simbólica de un cambio mundial de primera magnitud: los griegos teóricos, con su amor por la ciencia abstracta, fueron sustituidos en el liderazgo del mundo europeo por los romanos prácticos. Lord Beaconsfield,
en una de sus novelas, ha definido a un hombre práctico como un hombre que practica los errores de sus antepasados. Los romanos fueron una gran raza, pero estaban malditos con la esterilidad
que supeditaba todo a la utilidad práctica. No mejoraron los conocimientos de sus antepasados, y todos sus avances se limitaron a los detalles técnicos menores de la ingeniería. No fueron lo suficientemente soñadores como para alcanzar nuevos puntos de vista que pudieran proporcionar un control más fundamental sobre las fuerzas de la naturaleza. Ningún romano perdió la vida por estar absorto en la contemplación de un diagrama matemático.