XIII

Trigonometría

La trigonometría no tuvo su origen en

la consideración general de la periodicidad de la naturaleza. A este respecto, su historia es análoga a la de las secciones cónicas, que también tuvieron su origen en ideas muy particulares. De hecho, una comparación de las historias de ambas ciencias arroja algunas analogías y contrastes muy instructivos. La trigonometría, al igual que las secciones cónicas, tuvo su origen entre los griegos. Su inventor fue Hiparco (nacido alrededor del 160 a. C.),

un astrónomo griego, que realizó sus observaciones en Rodas. Sus servicios a la astronomía fueron muy grandes, y dejó su

manos un tema verdaderamente científico con resultados importantes establecidos, y el método correcto de progreso indicado. Quizás la invención de la trigonometría no fue el menor de estos servicios a la ciencia principal de su estudio. El siguiente hombre que extendió la trigonometría fue Ptolomeo, el gran astrónomo alejandrino,

a quienes ya hemos mencionado. Ahora

observen de inmediato el gran contraste entre las secciones cónicas y la trigonometría. El origen de la trigonometría fue práctico; se inventó porque era necesaria para la investigación astronómica. El origen de las secciones cónicas fue puramente teórico. La única razón de su estudio inicial fue el interés abstracto de las ideas involucradas. Es bastante característico que las secciones cónicas se inventaran unos $150$ años antes que la trigonometría, durante el mejor período del pensamiento griego. Pero la importancia de la trigonometría, tanto para la teoría como para la aplicación de las matemáticas, es solo uno de los innumerables ejemplos de las ideas fructíferas que la ciencia general ha obtenido de sus aplicaciones prácticas.

Trataremos de aclarar qué es la trigonometría y por qué debería ser generada por el estudio científico de la astronomía.

En primer lugar: ¿Cuáles son las mediciones que puede realizar un astrónomo? Son mediciones de tiempo y mediciones de ángulos. El astrónomo puede ajustar un telescopio (pues es más fácil hablar del instrumento familiar de los astrónomos modernos) de modo que solo pueda girar sobre un eje fijo orientado de este a oeste; el resultado es que el telescopio solo puede apuntar hacia el sur, con una mayor o menor elevación de dirección, o, si se gira más allá del cenit, apuntar hacia el norte. Este es el instrumento de tránsito, el

gran instrumento para la medición exacta de los momentos en que las estrellas se encuentran justo al sur o justo al norte. Pero, indirectamente, este instrumento mide ángulos. Pues cuando se ha anotado el tiempo transcurrido entre los tránsitos de dos estrellas, mediante la suposición de la rotación uniforme de la Tierra, obtenemos el ángulo que la Tierra ha girado en ese período de tiempo. Por otra parte, mediante otros instrumentos, el ángulo entre dos estrellas puede medirse directamente. Pues si $E$ es el ojo del astrónomo, 22 y $EA$ y $EB$ son las direcciones en las que se observan las estrellas, es fácil idear instrumentos que midan el ángulo $AEB$. Por lo tanto, cuando el astrónomo realiza un estudio de los cielos, está, de hecho, midiendo ángulos para fijar las direcciones relativas de las estrellas y los planetas en cualquier instante. De nuevo, en el problema análogo de

en la topografía, los ángulos son el objeto principal de las mediciones. Las mediciones directas de longitud solo son posibles en raras ocasiones con cierta precisión; ríos, casas, bosques, montañas e irregularidades generales del terreno se interponen en el camino. El levantamiento de todo un país dependerá únicamente de una o dos mediciones directas de longitud, realizadas con la mayor elaboración en lugares seleccionados como la llanura de Salisbury. El trabajo principal de un levantamiento es la medición de ángulos. Por ejemplo, $A$, $B$ y $C$ serán puntos conspicuos en el distrito 23 que se está topografiando, digamos las torres de iglesias. Estos puntos son visibles unos desde otros. Entonces, es un asunto muy sencillo medir en $A$ el ángulo $BAC$, en $B$ el ángulo $ABC$ y en $C$ el ángulo $BCA$. Teóricamente, solo es necesario medir dos de estos ángulos; pues, por una conocida proposición de la geometría, la suma de los tres ángulos de un triángulo equivale a dos

ángulos rectos, de modo que cuando se conocen dos de los ángulos, el tercero puede deducirse. Es mejor, sin embargo, en la práctica, medir los tres, y así cualquier pequeño error de observación puede comprobarse. En el proceso de cartografía, un país se cubre completamente con triángulos de esta manera. Este proceso se llama triangulación, y es el proceso fundamental

en una encuesta.

Ahora, cuando todos los ángulos de un triángulo son

conocida, la forma del triángulo es conocida; es decir, la forma en contraposición al tamaño. Aquí nos topamos con el gran principio de la semejanza geométrica. La idea nos resulta muy familiar en sus aplicaciones prácticas. Todos estamos familiarizados con la idea de un plano dibujado a escala. Así, si la escala de un plano es de una pulgada por yarda, una longitud de tres pulgadas en el plano significa una longitud de tres yardas en el original. Asimismo, las formas representadas en el plano son las formas del original, de modo que un ángulo recto en el original aparece como un ángulo recto en el plano. Del mismo modo, en un mapa, que no es más que el plano de un país, las proporciones de las longitudes en el mapa son las proporciones de las distancias entre los lugares indicados, y las direcciones en el mapa son las direcciones en el país. Por ejemplo, si en el mapa un lugar se encuentra al nor-noroeste del otro, así es en la realidad; es decir, en un mapa los ángulos son los mismos que en la realidad.

La semejanza geométrica puede definirse así: dos figuras son semejantes (i) si a cualquier punto de una figura le corresponde un punto de la otra, de modo que a cada línea le corresponda una línea y a cada ángulo un ángulo, y (ii) si las longitudes de las líneas correspondientes guardan una proporción fija y las magnitudes de los ángulos correspondientes son iguales. La proporción fija de las longitudes de las líneas correspondientes en un mapa (o plano) y en el original se denomina escala del mapa. La escala debe indicarse siempre en el margen de todo mapa y plano. Ya se ha señalado que dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente iguales son semejantes. Por tanto, si los dos triángulos 24 $ABC$ y $DEF$ tienen iguales los ángulos en $A$ y $D$, los de $B$ y $E$, y los de $C$ y $F$, entonces $DE$ es a $AB$ en la misma proporción

como $EF$ es a $BC$, y como $FD$ es a $CA$. Pero no es cierto para otras figuras que la semejanza esté garantizada por la mera igualdad de los ángulos. Tomemos, por ejemplo, los casos familiares de un rectángulo y un cuadrado. Sea $ABCD$ un cuadrado, y $ABEF$ un rectángulo. Entonces todos los ángulos correspondientes son iguales. Pero 25 mientras que el lado $AB$ del cuadrado es igual al lado $AB$ del rectángulo, el lado $BC$ del cuadrado es aproximadamente la mitad del tamaño del lado $BE$ del rectángulo. Por lo tanto, no es cierto que el cuadrado $ABCD$ sea semejante al rectángulo $ABEF$. Esta propiedad peculiar del triángulo, que no comparten otras figuras rectilíneas, lo convierte en la figura fundamental en la teoría de la semejanza. De ahí que en los levantamientos topográficos, la triangulación sea el proceso fundamental; y de ahí surge también la palabra "trigonometría",

derivado de las dos palabras griegas trigonon, un triángulo, y metria, medida. La pregunta fundamental de la que surgió la trigonometría es esta: dadas las magnitudes de los ángulos de un triángulo, ¿qué se puede afirmar respecto a las magnitudes relativas de los lados? Nótese que decimos "magnitudes relativas de los lados", ya que, por la teoría de la semejanza, solo se conocen las proporciones de los lados. Para responder a esta pregunta, se introducen ciertas funciones de las magnitudes de un ángulo, consideradas como el argumento. En su origen, estas funciones se obtenían considerando un triángulo rectángulo, y la magnitud del ángulo se definía mediante la longitud del arco de un círculo. En los libros elementales modernos, la posición fundamental del arco de círculo como definidor de la magnitud del ángulo ha sido relegada a un segundo plano, lo cual no beneficia ni a la teoría ni a la claridad de la explicación. Primero debe observarse que, en relación con la semejanza, el círculo ocupa la misma posición fundamental entre las figuras curvilíneas que el triángulo entre las figuras rectilíneas. Dos círculos cualesquiera son figuras semejantes; solo difieren en escala. Las longitudes de las circunferencias de dos círculos, como $AP{A}^{\prime }$ y $A_1{P}_1{A}_1^{\prime }$ en la [fig.] 26, son proporcionales a las longitudes de sus radios. Además, si los dos círculos tienen el mismo

centro $O$, al igual que los dos círculos en la [fig.] 26, entonces los arcos $AP$ y $A_1{P}_1$ interceptados por los brazos de cualquier ángulo $AOP$, también son proporcionales a sus radios. De ahí que la razón de la longitud del arco $AP$ a la longitud del radio $OP$, es decir, ${\displaystyle \frac{\text{arco }AP}{\text{radio }OP}}$ sea un número completamente independiente de la longitud $OP$, y sea el mismo que la fracción ${\displaystyle \frac{\text{arco }{A}_1{P}_1}{\text{radio }O{P}_1}}$. Esta fracción de "arco dividido por radio" es la forma teórica adecuada de medir la magnitud de

un ángulo; pues no depende de ninguna unidad de longitud arbitraria, ni de ninguna forma arbitraria de dividir un ángulo asumido arbitrariamente, como un ángulo recto. Así, la fracción ${\displaystyle \frac{AP}{OA}}$ representa la magnitud del ángulo $AOP$. Ahora, tracemos $PM$ perpendicularmente a $OA$. Entonces, los matemáticos griegos llamaron a la línea $PM$ el seno del arco $AP$, y a la línea $OM$ el coseno del arco $AP$. Eran plenamente conscientes de que la importancia de las relaciones de estas diversas líneas entre sí dependía de la teoría de la semejanza que acabamos de exponer. Pero no hicieron que sus definiciones expresaran las propiedades que surgen de esta teoría. Además, no tenían en mente las ideas generales modernas respecto a las funciones como correlación de pares de números variables, ni de hecho eran conscientes de ninguna concepción moderna del álgebra y el análisis algebraico. En consecuencia, era natural para ellos pensar simplemente en las relaciones entre ciertas líneas en un diagrama. Para nosotros el caso es diferente: deseamos incorporar nuestras ideas más poderosas.

Por tanto, en las matemáticas modernas, en lugar de considerar el arco $AP$, consideramos la fracción ${\displaystyle \frac{AP}{OP}}$, que es un número igual para todas las longitudes de $OP$; y, en lugar de considerar las líneas $PM$ y $OM$, consideramos

las fracciones ${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ y ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$, que a su vez son números que no dependen de la longitud de $OP$, es decir, que no dependen de la escala de nuestros diagramas. Luego definimos el número ${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ como el seno del número ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$, y el número ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$ como el coseno del número ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$. Estas formas fraccionarias son difíciles de imprimir; así que pongamos $u$ para la fracción ${\displaystyle \frac{AP}{OP}}$, que representa la magnitud del ángulo $AOP$, y pongamos $v$ para la fracción ${\displaystyle \frac{PM}{OM}}$, y $w$ para la fracción ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$. Entonces $u$, $v$, $w$, son números, y, dado que estamos hablando de cualquier ángulo $AOP$, son números variables. Pero existe una correlación entre sus magnitudes, de modo que cuando se da $u$ (es decir, el ángulo $AOP$), las magnitudes de $v$ y $w$ quedan definitivamente determinadas. Por tanto, $v$ y $w$ son funciones del argumento $u$. Hemos llamado a $v$ el seno de $u$, y a $w$ el coseno de $u$. Deseamos adaptar la notación funcional general $y=f(x)$ a estos casos especiales: así que en la matemática moderna

escribimos "$\sin$" en lugar de "$f$" cuando queremos

indicar la función especial de «seno» y «$\cos$» para «$f$» cuando queremos indicar la función especial de «coseno». Así, con los significados anteriores para $u$, $v$, $w$, obtenemos $v=\sin u,\text{y}w=\cos u,$ donde los paréntesis que rodean a la $x$ en $f(x)$ se omiten para las funciones especiales. El significado de estas funciones $\sin$ y $\cos$ como correlación de los pares de números $u$ y $v$, y $u$ y $w$ es que las relaciones funcionales deben hallarse construyendo (cf. [fig.] 26) un ángulo $AOP$, cuya medida «$AP$ dividido por $OP$» sea igual a $u$, y que entonces $v$ es el número dado por «$PM$ dividido por $OP$» y $w$ es el número dado por «$OM$ dividido por $OP$».

Es evidente que, sin algunas definiciones adicionales, tendremos dificultades cuando el número $u$ sea demasiado grande. Pues entonces el arco $AP$ puede ser mayor que un cuarto de la circunferencia del círculo, y el punto $M$ (v. figs. [fig:26]26 y [fig:27]27) puede caer entre $O$ y $A^{\prime }$ y no entre $O$ y $A$. Asimismo, $P$ puede estar por debajo de la línea $AO{A}^{\prime }$ y no por encima de ella como en la [fig.]26. Para superar esta dificultad, recurrimos a las ideas y convenciones de la geometría analítica al formular nuestras definiciones completas del seno y el coseno. Sea un brazo $OA$ del ángulo el eje $OX$, y prolonguemos el eje hacia atrás para obtener su parte negativa $O{X}^{\prime }$. Tracemos el

otro eje $YO{Y}^{\prime }$ perpendicular a él. Sea cualquier punto $P$ a una distancia $r$ de $O$ con coordenadas $x$ e $y$. Estas coordenadas son ambas positivas en el primer «cuadrante» del plano, por ejemplo, las coordenadas $x$ e $y$ de $P$ 27 en la [fig.]27. En los otros cuadrantes, una o ambas coordenadas son negativas, por ejemplo, $x^{\prime }$ e $y$ para $P^{\prime }$, y $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ para $P^{″}$, y $x$ e $y^{\prime }$ para $P^{‴}$ en la [fig.]27, donde $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ son ambos números negativos. El ángulo positivo $POA$ es el arco $AP$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$; el positivo

el ángulo $AO{P}^{\prime }$ es el arco $AB{P}^{\prime }$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{″}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{P}^{″}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{‴}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }{P}^{‴}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x}{r}}$.

Pero incluso ahora no hemos ido lo suficientemente lejos. Pues supongamos que elegimos $u$ como un número mayor que la razón de la circunferencia completa del círculo a su radio. Debido a la semejanza de todos los círculos, esta razón es la misma para todos ellos. En matemáticas se denota siempre con el símbolo $2\pi$, donde $\pi$ es la forma griega de la letra p y su nombre en el alfabeto griego es «pi». Se puede demostrar que $\pi$ es un número inconmensurable y que, por tanto, su valor no puede expresarse mediante ninguna fracción, ni mediante ningún decimal exacto o periódico. Su valor con algunos decimales es $3,14159$; para muchos propósitos, un valor aproximado suficientemente preciso es ${\displaystyle \frac{22}{7}}$. Los matemáticos pueden calcular fácilmente $\pi$ con cualquier grado de precisión requerido, del mismo modo que puede calcularse $\sqrt{2}$. Su valor ha sido calculado realmente hasta $707$ lugares de

decimales. Tal elaboración del cálculo es meramente una curiosidad, y carece de interés práctico o teórico. La determinación precisa de $\pi$ es una de las dos partes del famoso problema de la cuadratura del círculo.

La otra parte del problema consiste en describir, mediante los métodos teóricos de la geometría pura, una línea recta de longitud igual a la de la circunferencia. Hoy se sabe que ambas partes del problema son imposibles; y el problema insoluble ha perdido ya todo interés práctico o teórico especial, al haber quedado absorbido por ideas más amplias.

Tras esta digresión sobre el valor de $\pi$, volvemos ahora a la cuestión de la definición general de la magnitud de un ángulo, de modo que podamos obtener un ángulo correspondiente a cualquier valor $u$. Supongamos que un punto móvil, $Q$, parte de $A$ sobre $OX$ (cf. [fig.] 27) y gira en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj, en la figura considerada) alrededor de la circunferencia del círculo cualquier número de veces, deteniéndose finalmente en cualquier punto, por ejemplo, en $P$ o $P^{\prime }$ o $P^{″}$ o $P^{‴}$. Entonces, la longitud total del camino circular curvilíneo recorrido, dividida por el radio del círculo, $r$, es la definición generalizada de un ángulo positivo de cualquier tamaño. Sean $x$, $y$ las coordenadas del punto en el que se detiene el punto $Q$, es decir, en una de las cuatro posiciones alternativas mencionadas en la [fig.] 27; $x$ e $y$ (tal como se utilizan aquí) serán $x$ e $y$, o $x^{\prime }$ e $y$, o $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$, o $x$ e $y^{\prime }$.

Entonces, el signo de este ángulo generalizado es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$. Con estas definiciones, las relaciones funcionales $v=\sin u$ y $w=\cos u$ quedan finalmente definidas para todos los valores reales positivos de $u$. Para los valores negativos de $u$, simplemente tomamos la rotación de $Q$ en la dirección opuesta (en el sentido de las agujas del reloj); pero no vale la pena que nos extendamos más en este punto, ahora que el método general de procedimiento ha sido explicado.

Estas funciones de seno y coseno, tal como se han definido, nos permiten abordar los problemas relativos al triángulo del que surgió la trigonometría. Pero ahora estamos en condiciones de relacionar la trigonometría con la idea más amplia de periodicidad, cuya importancia

se explicó en el último capítulo. Es fácil ver que las funciones $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas de $u$. Pues consideremos la posición, $P$ (en la [fig.] 27), de un punto móvil, $Q$, que ha partido de $A$ y ha girado alrededor del círculo. Esta posición, $P$, marca los ángulos ${\displaystyle \frac{\text{arco }AP}{r}}$, y $2\pi +{\displaystyle \frac{\text{arco }AP}{r}}$, y $4\pi +{\displaystyle \frac{\text{arco }AP}{r}}$, y $6\pi +{\displaystyle \frac{\text{arco }AP}{r}}$, y así sucesivamente de forma indefinida. Ahora bien, todos estos ángulos tienen el mismo seno y coseno, a saber, ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y ${\displaystyle \frac{x}{r}}$. De ahí que sea fácil ver que,

si se elige que $u$ tenga cualquier valor, los argumentos $u$ y $2\pi +u$, y $4\pi +u$, y $6\pi +u$, y $8\pi +u$ y así sucesivamente de forma indefinida, tienen todos los mismos valores para los senos y cosenos correspondientes. En otras palabras, {4} \sin u &= \sin(2\pi + u) &&= \sin(4\pi + u) &&= \sin(6\pi + u) &&= \text{etc.}; \ \cos u &= \cos(2\pi + u) &&= \cos(4\pi + u) &&= \cos(6\pi + u) &&= \text{etc.}

Este hecho se expresa diciendo que $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas con un periodo igual a $2\pi$.

La gráfica de la función $y=\sin x$ (nótese que ahora abandonamos $v$ y $u$ por las más familiares $y$ y $x$) se muestra en la [fig.]28. Tomamos sobre el eje de las $x$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $\pi$, y sobre el eje de las $y$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $1$. Los valores numéricos del seno y el coseno nunca pueden exceder la unidad. Se observará la recurrencia de la figura después de períodos de $2\pi$. Esta gráfica representa el estilo más simple de función periódica, a partir del cual se construyen todas las demás. El coseno no aporta nada fundamentalmente diferente al seno. Pues es fácil demostrar que $\cos x=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$; por lo tanto, se puede ver que la gráfica de $\cos x$ es simplemente la [fig.]28 modificada por

trazar el eje $OY$ a través del punto en $OX$ marcado ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, en lugar de dibujarlo en su posición real en la figura.

Es fácil construir una función «seno» en 28 cuyo periodo tenga cualquier valor asignado $a$. Pues solo tenemos que escribir $y=\sin \frac{2\pi x}{a},$ y entonces $\sin \frac{2\pi (x+a)}{a}$

= \sin \left(\frac{2\pi x}{a} + 2\pi\right) = \sin \frac{2\pi x}{a}.$ Por lo tanto, el periodo de esta nueva función es ahora $a$. Demos ahora una definición general de lo que

nos referimos a una función periódica. La función $f(x)$ es periódica, con periodo $a$, si (i) para cualquier valor de $x$ tenemos $f(x)=f(x+a)$, y (ii) no existe ningún número $b$ menor que $a$ tal que para cualquier valor de $x$, $f(x)=f(x+b)$.

La segunda cláusula se incluye en la definición porque cuando tenemos $\sin {\displaystyle \frac{2\pi x}{a}}$, no solo es periódica en el periodo $a$, sino también en los periodos $2a$ y $3a$, y así sucesivamente; esto surge dado que $\sin \frac{2\pi (x+3a)}{a}=\sin (\frac{2\pi x}{a}+6\pi )=\sin \frac{2\pi x}{a}.$ Por tanto, es el periodo más pequeño el que queremos obtener y llamar el periodo de la función. La mayor parte de la teoría abstracta de las funciones periódicas y la totalidad de las aplicaciones de la teoría a la ciencia física están dominadas por un importante teorema llamado teorema de Fourier; a saber, que si $f(x)$ es una

función periódica con periodo $a$ y si $f(x)$ también satisface ciertas condiciones, que en la práctica siempre se presuponen en las funciones sugeridas por los fenómenos naturales, entonces $f(x)$ puede escribirse como la suma de un conjunto de términos de la forma191

$$\begin{gathered} c_0+c_1\sin (\frac{2\pi x}{a}+e_1)+c_2\sin (\frac{4\pi x}{a}+e_2) \\ +c_3\sin (\frac{6\pi x}{a}+e_3)+\text{etc.} \end{gathered}$$

En esta fórmula, $c_0$, $c_1$, $c_2$, $c_3$, etc., y también $e_1$, $e_2$, $e_3$, etc., son constantes elegidas para adaptarse a la función en particular. De nuevo debemos preguntarnos: ¿Cuántos términos hay que elegir? Y aquí surge una nueva dificultad: pues podemos demostrar que, aunque en algunos casos particulares un número definido sea suficiente, en general todo lo que podemos hacer es aproximarnos tanto como queramos al valor de la función tomando cada vez más términos. Este proceso de aproximación gradual nos lleva a considerar la teoría de las series infinitas, una parte esencial de la teoría matemática que estudiaremos en el próximo capítulo.

El método anterior de expresar una periódica

la función como suma de senos se denomina «análisis armónico» de la función. Por ejemplo, en cualquier punto de la costa marina, las mareas suben y bajan periódicamente. Así, en un punto cercano al estrecho de Dover, habrá dos mareas diarias debido a la rotación de la Tierra. La subida y bajada diaria de las mareas se complica por el hecho de que existen dos ondas de marea: una que sube por el canal de la Mancha y otra que ha rodeado el norte de Escocia y ha descendido después hacia el sur por el mar del Norte. Por otra parte, algunas mareas altas son más altas que otras: esto se debe a que el Sol también tiene una influencia generadora de mareas, al igual que la Luna. De este modo, se introducen periodos mensuales y de otro tipo.

Prescindimos de la influencia excepcional de los vientos, que no puede preverse. El problema general del análisis armónico de las mareas consiste en hallar conjuntos de términos como los de la expresión de la [página] 191 anterior, de tal modo que cada conjunto proporcione con una precisión aproximada la contribución de las influencias generadoras de mareas de un «periodo» a la altura de la marea en cualquier instante. El argumento $x$ será, por tanto, el tiempo contado a partir de cualquier inicio conveniente.

De nuevo, el movimiento de vibración de una cuerda de violín se somete a un análisis armónico similar, y lo mismo ocurre con las vibraciones del éter y del aire, que corresponden respectivamente a las ondas de luz y a las ondas de sonido. Nos encontramos aquí ante uno de los procesos fundamentales de la física matemática; a saber, nada menos que su método general para tratar el gran hecho natural de la Periodicidad.