Dinámicas

El mundo tuvo que esperar mil ochocientos años hasta que los físicos matemáticos griegos encontraran sucesores. En los siglos XVI y XVII de nuestra era, grandes italianos, en particular Leonardo da Vinci, el artista

(nacido en 1452, fallecido en 1519) y Galileo (nacido en 1564, fallecido en 1642), redescubrieron el secreto, conocido por Arquímedes, de relacionar ideas matemáticas abstractas con la investigación experimental de los fenómenos naturales. Mientras tanto, el lento avance de las matemáticas y la acumulación de conocimientos astronómicos precisos habían colocado a los filósofos naturales en una posición mucho más ventajosa para la investigación. Además, la propia autoafirmación egoísta de aquella época, su avidez por la experiencia personal, llevó a sus pensadores a querer ver por sí mismos lo que sucedía; y el secreto de la relación entre la teoría matemática y el experimento en el razonamiento inductivo fue prácticamente descubierto. Fue un acto eminentemente característico de la época que Galileo, un filósofo, hubiera

dejó caer los pesos desde la torre inclinada de Pisa. Siempre hay hombres de pensamiento y hombres de acción; la física matemática es el producto de una época que combinó en los mismos hombres impulsos de pensamiento con impulsos de acción.

Este asunto de dejar caer pesos desde

La torre marca pintorescamente un paso esencial en el conocimiento, un paso no menos importante que el primer logro de ideas correctas sobre la ciencia de la dinámica, la ciencia basal de todo el tema. El punto particular en disputa era si cuerpos de diferentes pesos caerían desde la misma altura en el mismo tiempo. Según un dictamen de Aristóteles, seguido universalmente hasta esa época, el peso más pesado caería más rápido. Galileo afirmó que caerían en el mismo tiempo y demostró su punto dejando caer pesos desde la cima de la torre inclinada. Las aparentes excepciones a la regla surgen todas cuando, por alguna razón, como una ligereza extrema o una gran velocidad, la resistencia del aire es importante. Pero, despreciando el aire, la ley es exacta.

El experimento exitoso de Galileo no fue el

resultado de una mera suposición afortunada. Surgió de sus ideas correctas en relación con la inercia y la masa. La primera ley del movimiento, tal como la enunciamos ahora siguiendo a Newton, es: Todo

el cuerpo continúa en su estado de reposo o de uniforme

movimiento en línea recta, excepto en la medida en que se vea obligado a cambiar dicho estado por una fuerza impresa. Esta ley es más que una fórmula árida: es también un peán de triunfo sobre los herejes derrotados. El punto en cuestión puede entenderse eliminando de la ley la frase «o de movimiento uniforme en línea recta». Obtenemos así lo que podría tomarse como la fórmula de oposición aristotélica: «Todo cuerpo continúa en su estado de reposo excepto en la medida en que se vea obligado a cambiar dicho estado por una fuerza impresa».

En esta última fórmula falsa se afirma que, aparte de la fuerza, un cuerpo continúa en estado de reposo; y, por consiguiente, que si un cuerpo se está moviendo, se requiere una fuerza para mantener el movimiento; de modo que cuando la fuerza cesa, el movimiento cesa. La verdadera ley newtoniana adopta un punto de vista diametralmente opuesto. El estado de un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza es el de movimiento uniforme en línea recta, y no debe buscarse ninguna fuerza o influencia externa como causa, o, si se prefiere expresarlo así, como el acompañamiento invariable de este movimiento rectilíneo uniforme. El reposo es simplemente un caso particular de dicho movimiento, simplemente cuando la velocidad es y permanece en cero. Por tanto, cuando un cuerpo se está moviendo, no buscamos ninguna influencia externa salvo para explicar los cambios en la tasa de velocidad o los cambios en su dirección. Mientras el cuerpo se esté moviendo a la

misma velocidad y en la misma dirección no hay necesidad de invocar la ayuda de fuerza alguna.

La diferencia entre los dos puntos de vista se observa claramente al hacer referencia a la teoría del movimiento de los planetas. Copérnico, un

Polaco, nacido en Thorn en Prusia Occidental (nacido en 1473, fallecido en 1543), mostró cuán más sencillo era concebir que los planetas, incluida la 4 tierra, giraban alrededor del sol en órbitas casi circulares; y más tarde, Kepler,

un matemático alemán, en el año 1609, demostró que, de hecho, las órbitas son prácticamente elipses, es decir, un tipo especial de curvas ovaladas

que consideraremos más adelante con mayor detalle. Inmediatamente surgió la pregunta de cuáles son las fuerzas que mantienen a los planetas en este movimiento. Según la antigua visión falsa,

sostenida por Kepler, la velocidad real misma requerida

preservación por la fuerza. Por tanto, buscó fuerzas tangenciales como en la figura adjunta ([fig:4]4). Pero según la ley newtoniana, aparte de alguna fuerza, el planeta se movería para siempre con su velocidad existente en línea recta y, por lo tanto, se alejaría por completo del sol. Newton, por consiguiente, tuvo que buscar

para una fuerza que curvaría el movimiento 5 alrededor de su órbita elíptica. Esto demostró que debía ser una fuerza dirigida hacia el sol, como en la siguiente figura ([fig:5]5). De hecho, la fuerza es la atracción gravitatoria del sol que actúa según la ley de la inversa del cuadrado de la distancia, la cual ha sido expuesta anteriormente.

La ciencia de la mecánica surgió entre los

Griegos a partir de una consideración de la teoría de la ventaja mecánica obtenida mediante el uso

de una palanca, y también a partir de la consideración de diversos problemas relacionados con el peso de los cuerpos. Finalmente, se asentó sobre su verdadera base a finales del siglo XVI y durante el siglo XVII, como muestra el relato precedente, en parte con el fin de explicar la teoría de la caída de los cuerpos, pero principalmente para ofrecer una teoría científica de los movimientos planetarios. Sin embargo, desde aquellos días, la dinámica ha asumido una tarea más ambiciosa y ahora pretende ser la ciencia fundamental de la cual las demás no son sino ramas. La pretensión equivale a esto: a saber, que las diversas cualidades de las cosas perceptibles por los sentidos son simplemente nuestro modo peculiar de apreciar los cambios de posición de las cosas que existen en el espacio. Por ejemplo, supongamos que observamos la Abadía de Westminster. Ha permanecido allí, gris e inamovible, durante siglos. Pero, según la teoría científica moderna, esa grisura, que tanto realza nuestra sensación de inmovilidad del edificio, no es en sí misma más que nuestra forma de apreciar los rápidos movimientos de las moléculas fundamentales que forman la superficie exterior del edificio y comunican vibraciones a una sustancia llamada éter. De nuevo, ponemos nuestras manos sobre sus piedras y notamos su temperatura fresca y uniforme, tan simbólica del tranquilo reposo del edificio. Pero esta sensación de temperatura simplemente marca nuestra percepción de la transferencia de calor desde el

mano a la piedra, o de la piedra a la mano; y, según la ciencia moderna, el calor no es más que la agitación de las moléculas de un cuerpo. Finalmente, el órgano comienza a sonar, y de nuevo el sonido no es más que el resultado de los movimientos del aire golpeando el tímpano del oído.

Así, el esfuerzo por dar una explicación dinámica de los fenómenos es el intento de explicarlos mediante enunciados de la forma general de que tal o cual sustancia o cuerpo estaba en este lugar y ahora está en aquel otro. Llegamos así a la gran idea fundamental de la ciencia moderna: que todas nuestras sensaciones son el resultado de comparaciones de las configuraciones cambiantes de las cosas en el espacio en diversos momentos. Se deduce, por tanto, que las leyes del movimiento, es decir, las leyes de los cambios de configuración de las cosas, son las leyes últimas de la ciencia física.

En la aplicación de las matemáticas a la investigación de la filosofía natural, la ciencia hace de manera sistemática lo que el pensamiento ordinario hace de forma casual. Cuando hablamos de una silla, solemos referirnos a algo que hemos estado viendo o sintiendo de alguna manera; aunque la mayor parte de nuestro lenguaje presupondrá que hay algo que existe independientemente de nuestra visión o sensación. Ahora bien, en la física matemática se sigue el camino opuesto. La silla se concibe sin referencia alguna a

nadie en particular, ni a ningún modo especial de percepción. El resultado es que la silla se convierte en el pensamiento en un conjunto de moléculas en el espacio, o en un grupo de electrones, una porción de éter en movimiento, o como sea que las ideas científicas actuales lo describan. Pero la cuestión es que la ciencia reduce la silla a cosas que se mueven en el espacio e influyen en los movimientos de las demás. Entonces, los diversos elementos o factores que intervienen en un conjunto de circunstancias, concebidos de este modo, son meramente las cosas, como longitudes de líneas, tamaños de ángulos, áreas y volúmenes, mediante las cuales se pueden determinar las posiciones de los cuerpos en el espacio. Por supuesto, además de estos elementos geométricos, el hecho del movimiento y el cambio hace necesaria la introducción de las tasas de cambio de tales elementos, es decir, velocidades, velocidades angulares, aceleraciones y cosas por el estilo. En consecuencia, la física matemática trata con correlaciones entre números variables que se supone representan las correlaciones que existen en la naturaleza entre las medidas de estos elementos geométricos y sus tasas de cambio. Pero las leyes matemáticas siempre tratan con variables, y solo en la comprobación ocasional de las leyes mediante referencia a experimentos, o en el uso de las leyes para predicciones especiales, se sustituyen números definidos.

El punto interesante sobre el mundo como

así concebido de esta manera abstracta a lo largo del estudio de la física matemática, donde solo se consideran las posiciones y formas de las cosas junto con sus cambios, es que los eventos de tal mundo abstracto son suficientes para "explicar" nuestras sensaciones. Cuando oímos un sonido, las moléculas del aire han sido agitadas de cierta manera: dada la agitación, o las ondas sonoras como se les llama, todas las personas normales oyen el sonido; y si no hay ondas sonoras, no hay sonido. Y, de manera similar, una causa u origen físico, o evento paralelo (según como a diferentes personas les guste expresarlo) subyace a nuestras otras sensaciones. Nuestros propios pensamientos parecen corresponder a conformaciones y movimientos del cerebro; daña el cerebro y dañarás los pensamientos. Mientras tanto, los eventos de este universo físico se suceden unos a otros de acuerdo con las leyes matemáticas que ignoran todas las sensaciones, pensamientos y emociones especiales.

Ahora, indudablemente, este es el aspecto general de la relación del mundo de la física matemática con nuestras emociones, sensaciones y pensamientos; y una gran controversia ha sido ocasionada por ello y mucha tinta se ha derramado. Solo necesitamos hacer una observación. Toda la situación ha surgido, como hemos visto, del esfuerzo por describir un mundo externo «explicativo» de nuestras diversas sensaciones y emociones individuales, pero un mundo

además, no depende esencialmente de sensaciones particulares ni de ningún individuo en particular. ¿Es tal mundo meramente un gran cuento de hadas? Pero los cuentos de hadas son fantásticos y arbitrarios: si en verdad existe tal mundo, debería someterse a una descripción exacta, que determine con precisión sus diversas partes y sus relaciones mutuas. Ahora bien, en gran medida, este mundo científico sí se somete a esta prueba y permite que sus eventos sean explorados y predichos mediante el aparato de las ideas matemáticas abstractas. Ciertamente parece que aquí tenemos una verificación inductiva de nuestra suposición inicial. Debe admitirse que ninguna prueba inductiva es concluyente; pero si toda la idea de un mundo que tiene existencia independientemente de nuestras percepciones particulares de él fuera errónea, requeriría una explicación cuidadosa el porqué el intento de caracterizarlo, en términos de ese remanente matemático de nuestras ideas que se le aplicaría, debería resultar en un éxito tan notable.

Nos llevaría demasiado lejos entrar en

una explicación detallada de las otras leyes del movimiento. El resto de este capítulo debe dedicarse a la explicación de ideas notables que son fundamentales, tanto para la física matemática como para la matemática pura: estas son las ideas de las cantidades vectoriales y la ley del paralelogramo para la suma de vectores. Nosotros

hemos visto que la esencia del movimiento es que un cuerpo estaba en $A$ y ahora está en $C$ . Esta transferencia de $A$ a $C$ requiere que se establezcan dos elementos distintos antes de quedar completamente determinada, a saber, su magnitud (es decir, la longitud $A C$ ) y su dirección. Ahora bien, cualquier cosa, como esta transferencia, que viene dada completamente por la determinación de una magnitud y una dirección, se denomina vector. Por ejemplo, una velocidad requiere para su definición la asignación de una magnitud y de una dirección. Debe ser de tantos kilómetros por hora en tal o cual dirección. La existencia y la independencia de estos dos elementos en la determinación de una velocidad quedan bien ilustradas por la acción del capitán de un barco, quien se comunica con diferentes subordinados al respecto: le indica al jefe de máquinas el número de nudos a los que debe navegar, y al timonel el rumbo

orientación del rumbo que debe seguir. A su vez, la tasa de cambio de la velocidad, es decir, la velocidad añadida por unidad de tiempo, es también una cantidad vectorial: se denomina aceleración. Del mismo modo, una fuerza en el sentido dinámico es otra cantidad vectorial. De hecho, la naturaleza vectorial de las fuerzas se deduce inmediatamente, según los principios dinámicos, de la de las velocidades y aceleraciones; pero este es un punto en el que no necesitamos profundizar. Basta con decir aquí que una fuerza actúa sobre un cuerpo con una determinada magnitud en una dirección determinada.

Ahora todos los vectores pueden representarse gráficamente mediante líneas rectas. Todo lo que hay que hacer es establecer: (i) una escala según la cual las unidades de longitud correspondan a las unidades de magnitud del vector —por ejemplo, una pulgada a una velocidad de $10$ millas por hora en el caso de las velocidades, y una pulgada a una fuerza de $10$ toneladas de peso en el caso de las fuerzas— y (ii) una dirección de la línea en el diagrama que corresponda a la dirección del vector. Entonces, una línea trazada con el número adecuado de pulgadas de longitud en la dirección correcta representa el vector requerido en la escala de magnitud asignada arbitrariamente. Esta representación diagramática de los vectores es de suma importancia. Con su ayuda podemos enunciar la famosa "ley del paralelogramo" para la suma de vectores del mismo tipo pero en diferentes direcciones.

Considere el vector $A C$ en la [figura]6 como representativo

de la posición cambiada de un cuerpo de $A$ a $C$ : a esto lo llamaremos el vector de transporte. Se observará que, si la reducción de los fenómenos físicos a meros cambios de posición, tal como se explicó anteriormente, es correcta, todos los demás tipos de vectores físicos son realmente reducibles de una forma u otra a este único tipo. Ahora bien, el transporte final de $A$ a $C$ se efectúa igualmente bien mediante un transporte de $A$ a $B$ y un transporte de $B$ a $C$ , o, completando el paralelogramo $A B C D$ , mediante un transporte de $A$ a $D$ y un transporte de $D$ a $C$ . Se dice que estos transportes, aplicados así sucesivamente, se suman entre sí. Esto es simplemente una definición de lo que entendemos por la suma de transportes. Nótese además que, considerando las líneas paralelas como líneas trazadas en la misma dirección, los transportes de $B$ a $C$ y de $A$ a $D$ pueden concebirse como el mismo transporte aplicado a cuerpos en las dos posiciones iniciales $B$ y $A$ . Con esta concepción podemos hablar del transporte de $A$ a $D$ como aplicado a un cuerpo en cualquier posición, por ejemplo en $B$ . Así podemos decir que el transporte de $A$ a $C$ puede concebirse como la suma de los dos transportes de $A$ a $B$ y de $A$ a $D$ aplicados en cualquier orden. Aquí tenemos la ley del paralelogramo para la suma de transportes: a saber, si los transportes son de $A$ a $B$ y de $A$ a $D$ ,

complete el paralelogramo $A B C D$ , y entonces la suma de los dos es la diagonal $A C$ .

Todo esto, a primera vista, puede parecer muy artificial. Pero debe observarse que la naturaleza misma nos presenta la idea. Por ejemplo, un barco de vapor se mueve en la dirección $A D$ (véase la [fig.] 6) y un hombre camina a través de su cubierta. Si el barco estuviera quieto, en un minuto llegaría a $B$ ; pero durante ese minuto su punto de partida $A$ en la cubierta se ha movido a $D$ , y su trayectoria en la cubierta se ha desplazado de $A B$ a $D C$ . De modo que, de hecho, su transporte ha sido de $A$ a $C$ sobre la superficie del mar. Sin embargo, se nos presenta analizado como la suma de dos transportes, a saber, uno de $A$ a $B$ en relación con el barco, y otro de $A$ a $D$ , que es el transporte del barco.

Al tomar en cuenta el elemento del tiempo, a saber, un minuto, este diagrama del transporte del hombre $A C$ representa su velocidad. Pues si $A C$ representaba tantos pies de transporte, ahora representa un transporte de tantos pies por minuto, es decir, representa la velocidad del hombre. Entonces $A B$ y $A D$ representan dos velocidades, a saber, su velocidad en relación con el vapor y la velocidad del vapor, cuya «suma» constituye su velocidad completa. Es evidente que los diagramas y las definiciones referentes a los transportes

se convierten en diagramas y definiciones referentes a velocidades al concebir los diagramas como representaciones de transportes por unidad de tiempo. A su vez, los diagramas y definiciones referentes a velocidades se convierten en diagramas y definiciones referentes a aceleraciones 7 al concebir los diagramas como representaciones de velocidades añadidas por unidad de tiempo.

Por tanto, mediante la suma de velocidades vectoriales y de aceleraciones vectoriales, nos referimos a la suma según la ley del paralelogramo.

Asimismo, de acuerdo con las leyes del movimiento, una fuerza queda plenamente representada por la aceleración vectorial que produce en un cuerpo de masa determinada. En consecuencia, se dirá que las fuerzas se suman cuando su efecto conjunto deba calcularse según la ley del paralelogramo.

Por tanto, para los vectores fundamentales de

ciencia, a saber, transportes, velocidades y fuerzas, la suma de dos cualesquiera de la misma clase es la producción de un vector «resultante» según la regla de la ley del paralelogramo.

Con mucho, el tipo más sencillo de paralelogramo es el rectángulo, y en matemáticas puras es

la relación del vector único $A C$ con los dos vectores componentes, $A B$ y $A D$ , en ángulo recto (cf. [fig.] 7), que se repite continuamente. Sean $x$ , $y$ y $r$ unidades las que representan las longitudes de $A B$ , $A D$ y $A C$ , y sean $m$ unidades de ángulo las que representan la magnitud del ángulo $B A C$ . Entonces, las relaciones entre $x$ , $y$ , $r$ y $m$ , en todos sus múltiples aspectos, son el tema que se repite continuamente en la matemática pura; y los resultados son del tipo requerido para su aplicación a los vectores fundamentales de la física matemática. Este diagrama es el puente principal por el cual los resultados de la matemática pura pasan para obtener aplicación a los hechos de la naturaleza.