Periodicidad en la naturaleza
Toda la vida de la Naturaleza está dominada por
la existencia de eventos periódicos, es decir, por la existencia de eventos sucesivos tan análogos entre sí que, sin forzar el lenguaje, pueden denominarse recurrencias del mismo evento. La rotación de la tierra produce los días sucesivos. Es cierto que cada día es diferente de los días precedentes, por muy abstractamente que definamos el significado de un día, de modo que se excluyan los fenómenos casuales. Pero con una definición de día suficientemente abstracta, la distinción de propiedades entre dos días se vuelve tenue y alejada del interés práctico; y cada día puede entonces concebirse como una recurrencia del fenómeno de una rotación de la tierra. A su vez, la trayectoria de la tierra alrededor del sol conduce a la recurrencia anual de las estaciones e impone otra periodicidad a todas las operaciones de la naturaleza. Otra periodicidad menos fundamental la proporcionan las fases de la luna. En la vida civilizada moderna, con su luz artificial, estas fases son de escasa importancia, pero en
En la antigüedad, en climas donde los días son abrasadores y los cielos despejados, la vida humana estuvo al parecer muy influida por la existencia de la luz de la luna. En consecuencia, nuestras divisiones en semanas y meses, con sus asociaciones religiosas, se han extendido por las razas europeas desde Siria y Mesopotamia, aunque en la mayoría de las naciones se encuentran observancias independientes que siguen las fases lunares. Sin embargo, es a través de las mareas, y no de sus fases de luz y oscuridad, como la periodicidad de la luna ha influido principalmente en la historia de la Tierra.
Nuestra vida corporal es esencialmente periódica. Está dominada por los latidos del corazón y la recurrencia de la respiración. La presuposición de periodicidad es, en efecto, fundamental para nuestra propia concepción de la vida. No podemos imaginar un curso de la naturaleza en el que, a medida que los acontecimientos progresaran, fuéramos incapaces de decir: «Esto ya ha ocurrido antes». Toda la concepción de la experiencia como guía de conducta estaría ausente. Los hombres siempre se encontrarían en situaciones nuevas que no poseerían ningún sustrato de identidad con nada de la historia pasada. Los medios mismos para medir el tiempo como cantidad estarían ausentes. Los acontecimientos podrían seguir reconociéndose como ocurridos en una serie, de modo que algunos fueran anteriores y otros posteriores. Pero ahora vamos más allá de este mero reconocimiento. No solo podemos decir que
Tres eventos, , y , ocurrieron en este orden, de modo que precedió a , y a ; pero también podemos decir que la duración del tiempo entre las ocurrencias de y fue el doble de larga que la que hubo entre y . Ahora bien, la cantidad de tiempo depende esencialmente de la observación del número de recurrencias naturales que han intervenido. Podemos decir que la duración del tiempo entre y fue de tantos días, o tantos meses, o tantos años, según el tipo de recurrencia al que deseemos apelar. De hecho, al comienzo de la civilización, estos tres modos de medir el tiempo eran realmente distintos. Ha sido una de las primeras tareas de la ciencia entre las naciones civilizadas o semicivilizadas fusionarlos en una medida coherente. Debe comprenderse el alcance total de esta tarea. Es necesario determinar, no solo cuántos días (por ejemplo, ) componen un año, sino también determinar previamente que el mismo número de días compone los años sucesivos. Podemos imaginar un mundo en el que existen periodicidades, pero de tal manera que no hay dos que sean coherentes. En algunos años podría haber días y en otros . La determinación de la amplia consistencia general de las periodicidades más importantes fue el primer paso en la ciencia natural. Esta consistencia no surge de ninguna ley de pensamiento intuitiva y abstracta; es simplemente un hecho observado de la naturaleza.
garantizado por la experiencia. De hecho, está tan lejos de ser una ley necesaria que ni siquiera es exactamente cierto. Existen divergencias en todos los casos. En algunas instancias, estas divergencias son fáciles de observar y, por tanto, resultan inmediatamente aparentes. En otros casos, se requieren las observaciones más refinadas y una precisión astronómica para hacerlas evidentes. En términos generales, todas las recurrencias que dependen de los seres vivos, como los latidos del corazón, están sujetas a variaciones rápidas en comparación con otras recurrencias. Las grandes recurrencias estables y evidentes —estables en el sentido de que coinciden mutuamente con gran precisión— son aquellas que dependen del movimiento de la Tierra en su conjunto y de movimientos similares de los cuerpos celestes.
Por lo tanto, asumimos que estos astronómicos
Las recurrencias marcan intervalos de tiempo iguales. Pero ¿cómo hemos de lidiar con sus discrepancias, que las refinadas observaciones de la astronomía detectan? Aparentemente, nos vemos reducidos a la suposición arbitraria de que uno u otro de estos conjuntos de fenómenos marca tiempos iguales; por ejemplo, que todos los días tienen la misma duración o que todos los años tienen la misma duración. Esto no es así: deben hacerse algunas suposiciones, pero la suposición que subyace a todo el procedimiento de los astrónomos al determinar la medida del tiempo es que las leyes del movimiento se verifican exactamente.
Antes de explicar cómo se hace esto, es interesante observar que esta relegación de la determinación de la medida del tiempo a los astrónomos surge (como se ha dicho) de la estable consistencia de las recurrencias con las que tratan. Si se hubiera observado una consistencia superior semejante entre las recurrencias características del cuerpo humano, naturalmente habríamos recurrido a los doctores en medicina para la regulación de nuestros relojes.
Al considerar cómo las leyes del movimiento intervienen en la cuestión, nótese que dos modos inconsistentes de medir el tiempo producirán variaciones de velocidad diferentes para un mismo cuerpo. Por ejemplo, supongamos que definimos una hora como la veinticuatroava parte de un día, y tomemos el caso de un tren que circula uniformemente durante dos horas a una velocidad de veinte millas por hora. Ahora, tomemos una medida del tiempo manifiestamente inconsistente y supongamos que hace que la primera hora sea el doble de larga que la segunda. Entonces, de acuerdo con esta otra medida de duración, el tiempo del recorrido del tren se divide en dos partes, durante cada una de las cuales ha recorrido la misma distancia, a saber, veinte millas; pero la duración de la primera parte es el doble de larga que la de la segunda. Por lo tanto, la velocidad del tren no ha sido uniforme y, en promedio, la velocidad durante el segundo periodo es el doble que durante el primero. Así, la cuestión sobre
Si el tren ha estado circulando de manera uniforme o no, depende enteramente del estándar de tiempo que adoptemos.
Ahora bien, para todos los propósitos ordinarios de la vida en la Tierra, las diversas recurrencias astronómicas pueden considerarse absolutamente constantes; y, además, al asumir su constancia, y por tanto asumir las velocidades y los cambios de velocidad que poseen los cuerpos, encontramos que las leyes del movimiento, que se han considerado anteriormente, se verifican casi exactamente. Pero solo casi exactamente cuando llegamos a algunos de los fenómenos astronómicos. Sin embargo, encontramos que, al asumir velocidades ligeramente diferentes para las rotaciones y movimientos de los planetas y las estrellas, las leyes se verificarían exactamente. Se hace entonces esta suposición; y, de hecho, hemos adoptado así una medida del tiempo que, si bien se define con referencia a los fenómenos astronómicos, no lo hace de manera que sea consistente con la uniformidad de ninguno de ellos. Pero el hecho general permanece: el flujo uniforme del tiempo, sobre el cual se basa tanto, depende en sí mismo de la observación de eventos periódicos.
Incluso los fenómenos que, en apariencia, parecen casuales y excepcionales o que, por otra parte, se mantienen con una persistencia uniforme, pueden deberse a la influencia remota de la periodicidad. Tomemos por ejemplo el
principio de resonancia. La resonancia surge
cuando dos conjuntos de circunstancias conectadas tienen las mismas periodicidades. Es una ley dinámica que las pequeñas vibraciones de todos los cuerpos, cuando se dejan a sí mismos, ocurren en tiempos definidos característicos del cuerpo. Así, un péndulo con una oscilación pequeña siempre vibra en un tiempo definido, característico de su forma y de la distribución de su peso y longitud. Un cuerpo más complicado puede tener muchas formas de vibrar; pero cada uno de sus modos de vibración tendrá su propio "periodo" peculiar. Esos
los periodos de vibración de un cuerpo se denominan sus periodos «libres». Así, un péndulo tiene un solo periodo de vibración, mientras que un puente colgante tendrá muchos. Obtenemos un instrumento musical, como la cuerda de un violín, cuando los periodos de vibración son todos submúltiplos simples del más largo; es decir, si segundos es el periodo más largo, los otros son , , y así sucesivamente, donde cualquiera de estos periodos más pequeños puede estar ausente. Ahora bien, supongamos que excitamos las vibraciones de un cuerpo mediante una causa que es, a su vez, periódica; entonces, si el periodo de la causa es muy cercano al de uno de los periodos del cuerpo, ese modo de vibración del cuerpo se excita con mucha violencia, incluso aunque la magnitud de la causa excitadora sea pequeña. Este fenómeno se denomina «resonancia». La razón general es fácil de entender. Cualquiera que quiera volcar una piedra oscilante empujará «al compás»
con las oscilaciones de la piedra, de modo que siempre se asegure un momento favorable para un empujón. Si los empujones están fuera de tono, algunos aumentan las oscilaciones, pero otros las frenan. Sin embargo, cuando están en tono, al cabo de un tiempo todos los empujones son favorables. La palabra «resonancia»
proviene de consideraciones sobre el sonido: pero el fenómeno se extiende mucho más allá de la región del sonido. Las leyes de absorción y emisión de la luz dependen de ello, la «sintonización» de los receptores para la telegrafía sin hilos, la importancia comparativa de las influencias de los planetas en el movimiento de los otros, el peligro para un puente colgante cuando las tropas marchan sobre él al paso, y la vibración excesiva de algunos barcos bajo el golpe rítmico de su maquinaria a ciertas velocidades. Esta coincidencia de periodicidades puede producir fenómenos constantes cuando existe una asociación permanente de los dos eventos periódicos, o puede producir estallidos violentos y repentinos cuando la asociación es fortuita y temporal.
De nuevo, los períodos de vibración característicos y constantes mencionados anteriormente son las causas subyacentes de lo que se nos presenta como excitaciones estables de nuestros sentidos. Trabajamos durante horas bajo una luz constante, o escuchamos un sonido uniforme e invariable. Pero, si la ciencia moderna está en lo cierto, esta estabilidad no tiene equivalente en la naturaleza. La luz constante se debe al impacto sobre el ojo de un incontable
número de ondas periódicas en un éter vibrante, y el sonido constante a ondas similares en un aire vibrante. No es nuestro propósito aquí explicar la teoría de la luz o la teoría del sonido. Hemos dicho lo suficiente para hacer evidente que uno de los primeros pasos necesarios para hacer de las matemáticas un instrumento adecuado para la investigación de la Naturaleza es que sea capaz de expresar la periodicidad esencial de las cosas. Si hemos comprendido esto, podemos entender la importancia de las concepciones matemáticas que debemos considerar a continuación, a saber, las funciones periódicas.