El cálculo diferencial

La invención del cálculo diferencial

marca una crisis en la historia de las matemáticas. El progreso de la ciencia se divide entre períodos caracterizados por una lenta acumulación de ideas y períodos en los que, gracias al nuevo material de pensamiento así pacientemente recolectado, algún genio, mediante la invención de un nuevo método o un nuevo punto de vista, transforma repentinamente toda la disciplina hacia un nivel superior. Estos períodos contrastados en el progreso de la historia del pensamiento son comparados por Shelley con la formación de una avalancha.

¡La avalancha despertada por el sol!, cuya masa, Tres veces tamizada por la tormenta, se había acumulado allí Copo tras copo,–-como en las mentes que desafían al cielo Se amontona pensamiento tras pensamiento, hasta que una gran verdad Se desprende, y las naciones resuenan a su alrededor,

La comparación resistirá cierta insistencia. El último estallido de luz solar que despierta la avalancha no es necesariamente incomparable en magnitud con las otras fuerzas de la naturaleza que han presidido su lento

formación. Lo mismo ocurre en la ciencia. El genio que tiene la fortuna de producir la idea final que transforma toda una región del pensamiento, no supera necesariamente a todos sus predecesores que han trabajado en la formación preliminar de las ideas. Al considerar la historia de la ciencia, es a la vez necio e ingrato limitar nuestra admiración, con un asombro boquiabierto, a aquellos hombres que han realizado los avances finales hacia una nueva época.

En el caso particular que tenemos ante nosotros, el

la materia tuvo una larga historia antes de adoptar su forma definitiva a manos de sus dos inventores. Existen algunos vestigios de sus métodos incluso entre los matemáticos griegos y, finalmente, justo antes de la creación real de la materia, Fermat (nacido en 1601,

y fallecido en 1665), un distinguido matemático francés, había perfeccionado tanto las ideas previas que la materia fue prácticamente creada por él. Fermat, asimismo, puede reclamar ser el coinventor de la geometría analítica junto con su contemporáneo y compatriota, Descartes. Fue, de hecho,

Descartes, de quien el mundo de la ciencia recibió las nuevas ideas, pero Fermat ciertamente había llegado a ellas de forma independiente.

No debemos, sin embargo, escatimar nuestra admiración ni por Newton ni por Leibniz. Newton fue matemático y estudioso de la ciencia física, Leibniz fue matemático

y un filósofo, y cada uno de ellos, en su propio campo de pensamiento, fue uno de los mayores genios que el mundo ha conocido. La invención conjunta fue el motivo de una disputa desafortunada y poco honrosa. Newton utilizaba los métodos de las fluxiones, como él llamaba a la materia,

en 1666, y lo empleó en la composición de sus Principia, aunque en la obra impresa se evita cualquier notación algebraica especial. Pero no publicó una exposición directa de su método hasta 1693. Leibniz publicó su primera exposición en 1684. Los amigos de Newton lo acusaron de haberlo obtenido de un manuscrito de Newton que le habían mostrado en privado. Leibniz también acusó a Newton de haberlo plagiado. Hoy en día no hay muchas dudas de que ambos deberían recibir el crédito de ser descubridores independientes. El tema había llegado a una etapa en la que estaba maduro para ser descubierto, y no hay nada sorprendente en el hecho de que dos hombres tan capaces lo hayan hallado de forma independiente.

Estos descubrimientos conjuntos son bastante comunes en la ciencia. Por lo general, los descubrimientos no se realizan antes de que la tendencia del pensamiento previo haya conducido a ellos, y para entonces muchas mentes están en plena persecución de la idea importante. Si nos limitamos simplemente a los descubrimientos en los que los ingleses están

preocupado, la enunciación simultánea de la ley de la selección natural por parte de Darwin y

Wallace, y el descubrimiento simultáneo de

Neptuno por Adams y el astrónomo francés,

Leverrier, vienen de inmediato a la mente.

Las disputas sobre a quién se le debe atribuir el mérito suelen estar influidas por un indigno espíritu de nacionalismo. La reflexión verdaderamente inspiradora que sugiere la historia de las matemáticas es la unidad de pensamiento e interés entre hombres de tantas épocas, tantas naciones y tantas razas. Indios, egipcios, asirios, griegos, árabes, italianos, franceses, alemanes, ingleses y rusos han hecho contribuciones esenciales al progreso de la ciencia. Sin duda, la exaltación celosa de la contribución de una nación en particular no demuestra un espíritu más elevado.

La importancia del cálculo diferencial

surge de la propia naturaleza del tema, que es la consideración sistemática de las tasas de incremento de las funciones. Esta idea se nos presenta de inmediato mediante el estudio de la naturaleza; la velocidad es la tasa de incremento de la distancia recorrida, y la aceleración es la tasa de incremento de la velocidad. Así, la idea fundamental de cambio, que constituye la base de toda nuestra percepción de los fenómenos, sugiere inmediatamente la investigación sobre la tasa de cambio. Los términos familiares de "rápidamente" y "lentamente" adquieren su significado a partir de una tácita

referencia a las tasas de cambio. Por tanto, el cálculo diferencial se ocupa de la clave misma de la posición desde la cual las matemáticas pueden aplicarse con éxito a la explicación del curso de la naturaleza.

Esta idea de la tasa de cambio estaba ciertamente en la mente de Newton, y quedó plasmada en el lenguaje en el que explicó el tema. Cabe dudar, sin embargo, si este punto de vista, derivado de los fenómenos naturales, estuvo alguna vez muy presente en la mente de los matemáticos precedentes que prepararon el terreno para su nacimiento. Ellos estaban preocupados por los problemas más abstractos del trazado de tangentes

a las curvas, de encontrar las longitudes de las curvas y de encontrar las áreas encerradas por curvas. La

los dos últimos problemas, de la rectificación de curvas y la cuadratura de curvas como se les llama, pertenecen al Cálculo Integral, el cual

sin embargo, está relacionado con el mismo tema general que el Cálculo Diferencial.

La introducción de la geometría analítica

hace que los dos puntos de vista se fusionen. Sea (cf. [fig.] 32) $A Q P$ cualquier línea curva y sea $P T$ la tangente en el punto $P$ de la misma. Sean $O X$ y $O Y$ los ejes de coordenadas; y sea $y = f (x)$ la ecuación de la curva, de modo que $O M = x$ y $P M = y$ . Sea ahora $Q$ cualquier punto móvil sobre la curva, con coordenadas $x_{1}$ , $y_{1}$ ; entonces $y_{1} = f (x_{1})$ . Y sea $Q^{'}$ el punto sobre la tangente con la misma abscisa $x_{1}$ ; supongamos que las coordenadas de $Q^{'}$ son $x_{1}$ y $y^{'}$ . Supongamos ahora que $N$ se mueve a lo largo del eje $O X$ de izquierda a derecha con una velocidad uniforme; entonces es fácil ver que la ordenada $y^{'}$ del punto $Q^{'}$ sobre la tangente $T P$ también aumenta uniformemente a medida que $Q^{'}$ se mueve a lo largo de la tangente de manera correspondiente. De hecho, es fácil ver que la razón entre la tasa de aumento de $Q^{'} N$ y la tasa de aumento de $O N$ es la razón de $Q^{'} N$ a $T N$ , la cual es la misma en todos los puntos de la línea recta. Pero la tasa de aumento de $Q N$ , que es la tasa de aumento de $f (x_{1})$ , varía de un punto a otro de la curva siempre que esta no sea recta. A medida que $Q$ pasa por el punto $P$ , la tasa de aumento de $f (x_{1})$ (donde $x_{1}$ coincide con $x$ por el momento)

es igual a la tasa de incremento de $y^{'}$ en la tangente en $P$ . Por lo tanto, si tenemos un método general para determinar la tasa de incremento de una función $f (x)$ de una variable $x$ , podemos determinar la pendiente de la tangente en cualquier punto $(x, y)$ de una curva y, a partir de ahí, podemos trazarla. Así, los problemas de trazar tangentes a una curva y de determinar las tasas de incremento de una función son, en realidad, idénticos.

Se observará que, al igual que en los casos de las secciones cónicas y la trigonometría, el punto de vista más artificial de los dos es aquel en el que surgió la materia. El aspecto verdaderamente fundamental de la ciencia solo cobró importancia relativamente tarde. Es una generalización histórica bien fundada que lo último que se descubre en cualquier ciencia es de qué trata realmente dicha ciencia. Los hombres siguen tanteando durante siglos, guiados meramente por un instinto vago y una curiosidad perpleja, hasta que, al fin, «se desata alguna gran verdad».

Tomemos algunos casos especiales con el fin de familiarizarnos con el tipo de ideas que queremos precisar. Un tren está en movimiento; ¿cómo determinaremos su velocidad en un instante dado, digamos, al mediodía? Podemos tomar un intervalo de cinco minutos que incluya el mediodía y medir qué distancia ha recorrido el tren en ese período. Supongamos que descubrimos que son cinco

millas, podemos concluir entonces que el tren circulaba a una velocidad de $60$ millas por hora. Pero cinco millas es una gran distancia, y no podemos estar seguros de que justo al mediodía el tren se moviera a ese ritmo. Al mediodía podría haber ido a $70$ millas por hora y, después, haber aplicado el freno. Sería más seguro trabajar con un intervalo menor, digamos un minuto, que incluya el mediodía, y medir el espacio recorrido durante ese periodo. Pero para ciertos fines podría requerirse una mayor precisión, y un minuto puede ser demasiado tiempo. En la práctica, la imprecisión necesaria de nuestras mediciones hace inútil tomar un periodo demasiado pequeño para medir. Pero en teoría, cuanto menor sea el periodo, mejor, y nos vemos tentados a decir que para una precisión ideal se requiere un periodo infinitamente pequeño. Los matemáticos de antaño, en particular Leibniz, no solo se sintieron tentados, sino que cedieron a la tentación y lo dijeron. Incluso hoy es una forma de hablar útil, siempre que sepamos cómo interpretarla en el lenguaje del sentido común. Resulta curioso que, en su exposición de los fundamentos del cálculo, Newton, el científico natural, sea mucho más filosófico que Leibniz, el filósofo, y que, por otra parte, Leibniz proporcionara la admirable notación que ha sido tan esencial para el progreso de la materia.

Tomemos ahora otro ejemplo dentro del ámbito de las matemáticas puras. Procedamos a hallar la tasa de incremento de la función $x^{2}$ para cualquier valor $x$ de su argumento. Todavía no hemos definido realmente qué entendemos por tasa de incremento. Intentaremos captar su significado en relación con este caso particular. Cuando $x$ aumenta a $x + h$ , la función $x^{2}$ aumenta a $(x + h)^{2}$ ; de modo que el incremento total ha sido $(x + h)^{2} - x^{2}$ , debido a un incremento $h$ en el argumento. Por tanto, a lo largo del intervalo de $x$ a $(x + h)$ , el incremento promedio de la función por unidad de incremento del argumento es $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ . Pero $(x + h)^{2} = x^{2} + 2 h x + h^{2},$ y por consiguiente $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 h x + h^{2}}{h} = 2 x + h .$ Así, $2 x + h$ es el incremento promedio de la función $x^{2}$ por unidad de incremento en el argumento, siendo el promedio tomado sobre el intervalo de $x$ a $x + h$ . Pero $2 x + h$ depende de $h$ , el tamaño del intervalo. Evidentemente obtendremos lo que queremos, a saber, la tasa de incremento en el valor $x$ del argumento, disminuyendo $h$ cada vez más. Por tanto, en el límite cuando $h$ ha

disminuye indefinidamente, decimos que $2 x$ es la tasa de aumento de $x^{2}$ en el valor $x$ del argumento.

Aquí de nuevo nos vemos aparentemente enfrentados a la idea de cantidades infinitamente pequeñas en el uso de las palabras «en el límite cuando $h$ ha disminuido indefinidamente». Leibniz sostenía que, por misterioso que pueda sonar, existían realmente tales cosas como cantidades infinitamente pequeñas y, por supuesto, números infinitamente pequeños correspondientes a ellas. El lenguaje y las ideas de Newton estaban más en la línea moderna; pero no logró explicar el asunto con la suficiente claridad como para que fuera evidente que hacía algo más que explicar las ideas de Leibniz en un lenguaje bastante indirecto. La verdadera explicación del tema fue dada por primera vez por Weierstrass y la Escuela de matemáticos de Berlín.

hacia mediados del siglo XIX. Pero entre Leibniz y Weierstrass había crecido una copiosa literatura, tanto matemática como filosófica, en torno a estas misteriosas cantidades infinitamente pequeñas que la matemática había descubierto y la filosofía procedido a explicar. Algunos filósofos,

El obispo Berkeley, por ejemplo, negó correctamente la validez de toda la idea, aunque por razones distintas a las indicadas aquí. Pero el hecho curioso seguía siendo que, a pesar de todas las críticas a los fundamentos de la materia, no podía haber duda de que la matemática

el procedimiento era sustancialmente correcto. De hecho, el tema era correcto, aunque las explicaciones fueran erróneas. Es esta posibilidad de estar en lo cierto, aunque sea con explicaciones totalmente equivocadas sobre lo que se está haciendo, lo que hace que la crítica externa —en la medida en que pretende detener la búsqueda de un método— sea tan a menudo singularmente estéril y fútil en el progreso de la ciencia. El instinto de los observadores formados y su sentido de la curiosidad, debido al hecho de que obviamente están llegando a algo, son guías mucho más seguras. De cualquier modo, el efecto general del éxito del Cálculo Diferencial fue generar una gran cantidad de mala filosofía, centrada en torno a la idea de lo infinitamente pequeño. Los vestigios de esta verborrea aún pueden encontrarse en las explicaciones de muchos libros de texto elementales de Cálculo Diferencial. Es una regla segura aplicar que, cuando un autor matemático o filosófico escribe con una profundidad brumosa, está diciendo tonterías.

Newton habría formulado la pregunta

al decir que, cuando $h$ tiende a cero, en el límite $2 x + h$ se convierte en $2 x$ . Nuestra tarea consiste en explicar esta afirmación de tal manera que se demuestre que, en realidad, no supone encubiertamente la existencia de las cantidades infinitamente pequeñas de Leibniz. Al leer el método de exposición newtoniano, resulta tentador buscar la simplicidad mediante

decir que $2 x + h$ es $2 x$ , cuando $h$ es cero. Pero esto no sirve; pues al hacerlo se elimina el intervalo de $x$ a $x + h$ , sobre el cual se calculó el incremento promedio. El problema es cómo mantener un intervalo de longitud $h$ sobre el cual calcular el incremento promedio y, al mismo tiempo, tratar a $h$ como si fuera cero. Newton lo hizo mediante la concepción de un límite, y nosotros ahora

proceda a dar la explicación de Weierstrass sobre su verdadero significado.

En primer lugar, observe que, al analizar $2 x + h$ , hemos considerado a $x$ como un valor fijo y a $h$ como variable. En otras palabras, $x$ ha sido tratada como una variable «constante», o parámetro, tal como se explicó en IX; y, en realidad, hemos considerado $2 x + h$ como una función del argumento $h$ . Por tanto, podemos generalizar la cuestión que nos ocupa y preguntar qué queremos decir al afirmar que la función $f (h)$ tiende al límite $l$ , digamos, a medida que su argumento $h$ tiende al valor cero. Pero, una vez más, veremos que el valor especial cero para el argumento no pertenece a la esencia del tema; y, de nuevo, generalizamos aún más y preguntamos qué queremos decir al afirmar que la función $f (h)$ tiende al límite $l$ a medida que $h$ tiende al valor $a$ .

Ahora bien, según la explicación de Weierstrass, toda la idea de que $h$ tienda al valor $a$ , aunque ofrece una especie de imagen metafórica de lo que pretendemos, en realidad no viene al caso en absoluto. De hecho, es bastante obvio

que, mientras conservemos algo parecido a " $h$ tendiendo a $a$ " como idea fundamental, estamos realmente en las garras de lo infinitamente pequeño; pues implicamos la noción de que $h$ está infinitamente cerca de $a$ . Esto es precisamente de lo que queremos deshacernos.

En consecuencia, volveremos a enunciar una vez más nuestra frase a explicar, y preguntaremos qué queremos decir al afirmar que el límite de la función $f (h)$ en $a$ es $l$ .

El límite de $f (h)$ en $a$ es una propiedad del

entorno de $a$ , donde «entorno» se utiliza en el sentido definido en el XI durante la discusión sobre la continuidad de las funciones. El valor de la función $f (h)$ en $a$ es $f (a)$ ; pero el límite es distinto en concepto del valor, y puede ser diferente a este, y puede existir cuando el valor no ha sido definido. Utilizaremos también el término «estándar de aproximación» en el sentido en que se define en el XI. De hecho, en la definición de «continuidad» dada hacia el final de ese capítulo hemos definido prácticamente un límite. La definición de un límite es:—

Una función $f (x)$ tiene el límite $l$ en un valor $a$ de su argumento $x$ , cuando en el entorno de $a$ sus valores se aproximan a $l$ dentro de cualquier estándar de aproximación.

Compare esta definición con la que ya se ha dado para la continuidad, a saber:–-

Una función $f (x)$ es continua en un valor $a$ de su argumento, cuando en la vecindad de $a$ sus valores se aproximan a su valor en $a$ dentro de cualquier estándar de aproximación.

Resulta evidente de inmediato que una función es continua en $a$ cuando (i) posee un límite en $a$ , y (ii) dicho límite es igual a su valor en $a$ . Por tanto, las ilustraciones de continuidad que se han dado al final del apartado XI. son ilustraciones de la idea de límite; es decir, todas estaban dirigidas a probar que $f (a)$ era el límite de $f (x)$ en $a$ para las funciones consideradas y el valor de $a$ considerado. En realidad, es más instructivo considerar el límite en un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, consideremos la función cuyo gráfico se da en la [fig.] 20 del apartado XI. Esta función $f (x)$ está definida de modo que tiene el valor $1$ para todos los valores del argumento excepto para los enteros $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , etc., y para estos valores enteros tiene el valor $0$ . Ahora pensemos en su límite cuando $x = 3$ . Observamos que en la definición de límite se excluye el valor de la función en $a$ (en este caso, $a = 3$ ). Pero, excluyendo $f (3)$ , los valores de $f (x)$ , cuando $x$ se encuentra dentro de cualquier intervalo que (i) contenga al $3$ sin ser un punto extremo, y (ii) no se extienda hasta el $2$ y el $4$ , son todos iguales a $1$ ; y, por tanto, estos valores se aproximan a $1$ dentro de cualquier estándar de aproximación. De ahí que $1$ sea el límite de $f (x)$ en el

valor $3$ del argumento $x$ , pero por definición $f (3) = 0$ .

Este es un ejemplo de una función que posee tanto un valor como un límite en el valor $3$ del argumento, pero el valor no es igual al límite. Al final de XI. se consideró la función $x^{2}$ en el valor $2$ del argumento. Su valor en $2$ es $2^{2}$ , es decir, $4$ , y se demostró que su límite también es $4$ . Por lo tanto, aquí tenemos una función con un valor y un límite que son iguales.

Finalmente llegamos al caso que es esencialmente importante para nuestros propósitos, a saber, a una función que posee un límite, pero ningún valor definido en un cierto valor de su argumento. No necesitamos ir muy lejos para buscar tal función; $\frac{2 x}{x}$ servirá para nuestro propósito. Ahora bien, en cualquier libro de matemáticas, podríamos encontrar la ecuación $\frac{2 x}{x} = 2$ , escrita sin vacilación ni comentario. Pero hay una dificultad en esto; pues cuando $x$ es cero, $\frac{2 x}{x} = \frac{0}{0}$ ; y $\frac{0}{0}$ no tiene un significado definido. Por lo tanto, el valor de la función $\frac{2 x}{x}$ en $x = 0$ no tiene un definido

significado. Pero para cualquier otro valor de $x$ , el valor de la función $\frac{2 x}{x}$ es $2$ . Por tanto, el límite de $\frac{2 x}{x}$ en $x = 0$ es $2$ , y no tiene valor en $x = 0$ . De forma similar, el límite de $\frac{x^{2}}{x}$ en $x = a$ es $a$ sea cual sea $a$ , de modo que el límite de $\frac{x^{2}}{x}$ en $x = 0$ es $0$ . Pero el valor de $\frac{x^{2}}{x}$ en $x = 0$ toma la forma $\frac{0}{0}$ , la cual no tiene un significado definido. Así, la función $\frac{x^{2}}{x}$ tiene un límite pero no un valor en $0$ .

Volvemos ahora al problema con el que iniciamos esta discusión sobre la naturaleza de un límite. ¿Cómo vamos a definir la tasa de incremento de la función $x^{2}$ en cualquier valor $x$ de su argumento? Nuestra respuesta es que esta tasa de incremento es el límite de la función $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ en el valor cero para su argumento $h$ . (Nótese que $x$ es aquí una "constante"). Veamos cómo funciona esta respuesta

a la luz de nuestra definición de límite. Tenemos $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 h x + h^{2}}{h} = \frac{h (2 x + h)}{h} .$

Ahora, al hallar el límite de $\frac{h (2 x + h)}{h}$ en el valor $0$ del argumento $h$ , el valor (si existe) de la función en $h = 0$ queda excluido. Pero para todos los valores de $h$ , excepto $h = 0$ , podemos dividir por $h$ . Por tanto, el límite de $\frac{h (2 x + h)}{h}$ en $h = 0$ es el mismo que el de $2 x + h$ en $h = 0$ . Ahora bien, cualquier estándar de aproximación $k$ que elijamos tomar, al considerar el intervalo de $- \frac{1}{2} k$ a $+ \frac{1}{2} k$ , vemos que, para los valores de $h$ que caen dentro de él, $2 x + h$ difiere de $2 x$ en menos de $\frac{1}{2} k$ , es decir, en menos de $k$ . Esto es cierto para cualquier estándar $k$ . De ahí que, en la vecindad del valor $0$ para $h$ , $2 x + h$ se aproxime a $2 x$ dentro de todo estándar de aproximación y, por consiguiente, $2 x$ sea el límite de $2 x + h$ en $h = 0$ . Por tanto, según lo dicho anteriormente, $2 x$ es el límite de $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ en el valor $0$ para $h$ . Se sigue, pues, que $2 x$ es lo que hemos llamado la tasa de aumento de $x^{2}$ en el valor $x$ del argumento. Así, este método nos conduce a la misma tasa de aumento

para $x^{2}$ tal como lo hizo la forma leibniziana de hacer que $h$ se vuelva "infinitamente pequeña".

Los términos más abstractos «coeficiente diferencial»,

o "función derivada", son generalmente

utilizado para lo que hasta ahora hemos llamado la «tasa de incremento» de una función. La definición general es la siguiente: el coeficiente diferencial de la función $f (x)$ es el límite, si existe, de la función $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ del argumento $h$ en el valor $0$ de su argumento.

¿Cómo hemos logrado, mediante esta definición y la definición subsidiaria de límite, evitar realmente la noción de "números infinitamente pequeños" que tanto preocupaba a nuestros antepasados matemáticos? Para ellos, la dificultad surgía porque, por un lado, tenían que utilizar un intervalo de $x$ a $x + h$ sobre el cual calcular el incremento promedio y, por otro lado, finalmente querían establecer $h = 0$ . El resultado era que parecían verse abocados a la noción de un intervalo existente de tamaño cero. Ahora bien, ¿cómo evitamos esta dificultad? De esta manera: utilizamos la idea de que, en correspondencia con cualquier estándar de aproximación, se puede encontrar algún intervalo con tales o cuales propiedades. La diferencia es que nosotros tenemos

comprendieron la importancia de la noción de "la variable", y ellos no lo habían hecho. Por lo tanto,

Al final de nuestra exposición de las nociones esenciales del análisis matemático, nos vemos conducidos de nuevo a las ideas con las que en II. comenzamos nuestra investigación: que en matemáticas las ideas fundamentalmente importantes son las de «algunas cosas» y «cualesquiera cosas».