Geometría analítica

Los métodos y las ideas de la geometría analítica

ya han sido empleados en los capítulos anteriores. Ha llegado el momento de que los consideremos más detenidamente por sí mismos; y al hacerlo, reforzaremos nuestra comprensión de otras ideas que hemos alcanzado. En el presente capítulo y en los sucesivos, volveremos a la idea de los números reales positivos y negativos e ignoraremos los imaginarios que fueron introducidos en los dos últimos capítulos.

Hemos utilizado perpetuamente la idea de que, al tomar dos ejes, $X O X^{'}$ e $Y O Y^{'}$ , en un plano, cualquier punto $P$ en dicho plano puede quedar determinado en su posición por un par de números positivos o negativos $x$ e $y$ , donde (cf. [fig.]13) $x$ es la longitud $O M$ e $y$ es la longitud $P M$ . Esta concepción, por simple que parezca, es la idea principal de la gran disciplina de la geometría analítica. Su descubrimiento marca una época trascendental en la historia del pensamiento matemático. Se debe (como ha sido

ya dicho) al filósofo Descartes,

y se le ocurrió como un importante método matemático una mañana mientras yacía en la cama. Los filósofos, cuando han poseído un conocimiento profundo de las matemáticas, han estado entre aquellos que han enriquecido a la 13 ciencia con algunas de sus mejores ideas. Por otra parte, debe decirse que, sin apenas excepción, todas las observaciones sobre matemáticas hechas por aquellos filósofos que han poseído solo un conocimiento ligero o apresurado y adquirido tardíamente son completamente inútiles, siendo triviales o erróneas. El hecho es curioso; dado que las ideas fundamentales de las matemáticas

parecen, después de todo, ser muy simples, casi infantilmente simples, y estar bien dentro de los límites del pensamiento filosófico. Probablemente su misma simplicidad sea la causa del error; no estamos acostumbrados a pensar sobre cosas abstractas tan simples, y se requiere un largo entrenamiento para asegurar incluso una inmunidad parcial al error tan pronto como nos desviamos del camino trillado del pensamiento.

El descubrimiento de la geometría analítica, y también el de la geometría proyectiva por la misma época, ilustran otro hecho que se verifica continuamente en la historia del conocimiento: que algunos de los mayores descubrimientos se encuentran entre los temas más conocidos. Para cuando llegó el siglo XVII, la geometría ya había sido estudiada durante más de dos mil años, incluso si fechamos su surgimiento con los griegos. Euclides, que enseñó en la Universidad de Alejandría,

habiendo nacido alrededor del 330; y él solo sistematizó y amplió el trabajo de una larga serie de predecesores, algunos de ellos hombres de genio. Tras él, generación tras generación de matemáticos trabajaron en el perfeccionamiento de la materia. Tampoco sufrió la disciplina ese obstáculo fatal para el progreso, a saber, que su estudio se limitara a un grupo reducido de hombres de origen y perspectiva similares; todo lo contrario fue el caso; para el siglo XVII había pasado

a través de las mentes de egipcios y griegos, de árabes y de alemanes. Y, sin embargo, tras todo este esfuerzo dedicado a ello a lo largo de tantas épocas por mentes tan diversas, sus secretos más importantes aún estaban por descubrir.

Nadie puede haber estudiado siquiera los elementos de la geometría elemental sin sentir la falta de algún método orientador. Cada proposición debe ser demostrada mediante un nuevo despliegue de ingenio; y una ciencia para la cual esto es cierto carece del gran requisito del pensamiento científico: el método. Ahora bien, el punto especial de la geometría analítica es que, por primera vez, introdujo el método. Las deducciones remotas de una ciencia matemática no son de importancia teórica primordial. La ciencia no se ha perfeccionado hasta que consiste, en esencia, en la exhibición de grandes métodos afines mediante los cuales se puede obtener fácilmente información sobre cualquier tema deseado que caiga dentro de su alcance. El crecimiento de una ciencia no es principalmente en volumen, sino en ideas; y cuanto más crecen las ideas, menos son las deducciones que vale la pena escribir. Desafortunadamente, las matemáticas siempre están lastradas por la repetición en los libros de texto de innumerables proposiciones subsidiarias, cuya importancia se ha perdido al ser absorbidas como casos particulares de verdades más generales; y, como ya hemos insistido, la generalidad es el alma de las matemáticas.

De nuevo, la geometría analítica ilustra otra característica de las matemáticas que ya ha sido señalada, a saber, que las ciencias matemáticas, a medida que se desarrollan, encajan entre sí y comparten las mismas ideas. No es exagerado decir que las diversas ramas de las matemáticas experimentan un proceso perpetuo de generalización y que, al generalizarse, se fusionan. Aquí, de nuevo, la razón surge de la propia naturaleza de la ciencia, de su generalidad; es decir, del hecho de que la ciencia trata sobre las verdades generales que se aplican a todas las cosas en virtud de su propia existencia como tales. En este sentido, el interés de la geometría analítica reside en el hecho de que relaciona la geometría, que comenzó como la ciencia del espacio, con el álgebra, que tiene su origen en la ciencia de los números.

Recordemos ahora las ideas principales de las dos ciencias y veamos después cómo se relacionan mediante el método de coordenadas de Descartes. Tomemos

álgebra en primer lugar. No nos preocuparemos por los imaginarios y pensaremos simplemente en los números reales con signos positivos o negativos. La idea fundamental es la de cualquier número, el número variable, que se denota mediante una letra y no por un numeral definido. Procedemos entonces a la consideración de las correlaciones entre variables. Por ejemplo, si $x$ e $y$ son dos variables,

podemos concebirlas como correlacionadas por las ecuaciones $x + y = 1$ , o por $x - y = 1$ , o de cualquier otra forma entre un número indefinido de ellas. Esto conduce de inmediato a la aplicación del

idea de forma algebraica. Pensamos, de hecho, en cualquier correlación de algún tipo interesante, elevándonos así desde la concepción inicial de números variables a la concepción secundaria de correlaciones variables de números. Así generalizamos la correlación $x + y = 1$ , en la correlación $a x + b y = c$ . Aquí $a$ , $b$ y $c$ , al ser letras, representan cualesquiera números y son, de hecho, variables en sí mismas. Pero son las variables que determinan la correlación variable; y la correlación, una vez determinada, correlaciona los números variables $x$ e $y$ . Las variables, como $a$ , $b$ y $c$ anteriores, que se utilizan para determinar la correlación se denominan «constantes» o parámetros. El uso

del término «constante» en este contexto para lo que en realidad es una variable puede parecer a primera vista extraño; pero es en realidad muy natural. Pues la investigación matemática se ocupa de la relación entre las variables $x$ e $y$ , una vez que se supone que $a$ , $b$ y $c$ han sido determinadas. Así, en cierto sentido, en relación con $x$ e $y$ , las «constantes» $a$ , $b$ y $c$ son constantes. Por tanto, $a x + b y = c$ representa el ejemplo general de una determinada forma algebraica, es decir, una correlación variable perteneciente a una clase determinada.

De nuevo generalizamos $x^{2} + y^{2} = 1$ a $a x^{2} + b y^{2} = c$ , o aún más a $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} = c$ , o, todavía más, a $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y = c$ .

Aquí de nuevo nos vemos conducidos a correlaciones variables que se indican mediante sus diversas formas algebraicas.

Pasemos ahora a la geometría. El nombre de la ciencia nos trae de inmediato a la mente la idea de figuras y diagramas que muestran triángulos, rectángulos, cuadrados y círculos, todos ellos en relaciones especiales entre sí. El estudio de las propiedades simples de estas figuras es el objeto de la geometría elemental, tal como se presenta correctamente al principiante. Sin embargo, un momento de reflexión bastará para demostrar que esta no es la verdadera concepción de la materia. Puede que sea correcto que un niño comience su razonamiento geométrico con formas, como triángulos y cuadrados, que ha recortado con tijeras. ¿Qué es, sin embargo, un triángulo? Es una figura delimitada y marcada por tres fragmentos de tres líneas rectas.

Ahora bien, la delimitación de espacios mediante fragmentos de líneas es una idea muy complicada, y en absoluto una que ofrezca esperanza alguna de exhibir las concepciones generales simples que deberían constituir la estructura básica de la materia. Queremos algo más simple y más general. Es esta obsesión con las ideas iniciales equivocadas —ideas muy naturales y buenas para la creación

de los primeros pensamientos sobre el tema, lo cual fue la causa de la esterilidad comparativa del estudio de la ciencia durante tantos siglos. La geometría analítica, y Descartes, su inventor, deben recibir el crédito de revelar los verdaderos objetos simples para el pensamiento geométrico.

En lugar de un fragmento de línea recta, pensemos en la totalidad de una línea recta a lo largo de su infinita extensión en ambas direcciones. Este es el tipo de idea general a partir de la cual comenzar nuestras investigaciones geométricas. Los griegos nunca parecieron encontrar utilidad a esta concepción, que hoy es fundamental en todo el pensamiento geométrico moderno. Euclides siempre contempla una línea recta como trazada entre dos puntos definidos, y es muy cuidadoso al mencionar cuándo debe prolongarse más allá de este segmento. Nunca piensa en la línea como una entidad dada de una vez por todas como un todo. Esta cuidadosa definición y limitación, para excluir un infinito que no fuera inmediatamente evidente a los sentidos, fue muy característica de los griegos en todas sus múltiples actividades. Está consagrada en la diferencia entre la arquitectura griega y la arquitectura gótica, y entre la religión griega y la religión moderna. La aguja de una catedral gótica y la importancia de la línea recta ilimitada en la geometría moderna son ambas emblemáticas de la transformación del mundo moderno.

La línea recta, considerada en su conjunto, es por consiguiente la idea fundamental de la que parte la geometría moderna. Pero entonces se nos ocurren otros tipos de líneas, y llegamos a la concepción de la curva completa que en cada uno de sus puntos exhibe alguna característica uniforme, tal como la línea recta exhibe en todos sus puntos la característica de la rectitud. Por ejemplo, existe el círculo que

en todos sus puntos exhibe la característica de estar a una distancia dada de su centro, y por otra parte está la elipse, que es un óvalo

curva, tal que la suma de las dos distancias de cualquier punto de ella a dos puntos fijos, llamados

sus focos, es constante para todos los puntos de la curva. Es evidente que un círculo es meramente un caso particular de una elipse cuando los dos focos se superponen en el mismo punto; pues entonces la suma de las dos distancias es simplemente el doble del radio del círculo. Los antiguos conocían las propiedades de la elipse y del círculo y, por supuesto, los consideraban como un todo. Por ejemplo, Euclides nunca comienza con meros segmentos (es decir, trozos) de círculos, que luego son prolongados. Él siempre considera el círculo completo tal como es descrito. Es lamentable que el círculo no sea la verdadera línea fundamental en geometría, de modo que su consideración defectuosa de la línea recta podría haber tenido menos consecuencias.

Esta idea general de una curva que en cualquier

punto de que exhibe alguna propiedad uniforme se expresa en geometría mediante el término «lugar geométrico». Un lugar geométrico es la curva (o superficie, si no nos limitamos a un plano) formada por puntos, todos los cuales poseen alguna propiedad dada. A toda propiedad en relación mutua que los puntos puedan tener, le corresponde algún lugar geométrico, que consiste en todos los puntos que poseen dicha propiedad. Al investigar las propiedades de un lugar geométrico considerado como un todo, consideramos cualquier punto o puntos del mismo. Así, en geometría nos encontramos de nuevo con la idea fundamental de la variable. Además, al clasificar los lugares geométricos bajo encabezados tales como líneas rectas, círculos, elipses, etc., encontramos de nuevo la idea de forma.

De la misma manera que en el álgebra nos ocupamos de números variables, de correlaciones entre números variables y de la clasificación de dichas correlaciones en tipos según la idea de forma algebraica; así en la geometría nos ocupamos de puntos variables, de puntos variables que satisfacen alguna condición de modo que forman un lugar geométrico, y de la clasificación de los lugares geométricos en tipos según la idea de condiciones de la misma forma.

Ahora bien, la esencia de la geometría analítica es la identificación de la correlación algebraica con el lugar geométrico. El punto en un plano está representado en álgebra por sus dos coordenadas, $x$ e $y$ , y la condición que satisface cualquier punto en el lugar geométrico está representada

por la correlación correspondiente entre $x$ e $y$ . Finalmente, a las correlaciones expresables en alguna forma algebraica general, tal como $a x + b y = c$ , les corresponden lugares geométricos de algún tipo general, cuyas condiciones geométricas son todas de la misma forma. Hemos llegado así a una posición en la que podemos efectuar un intercambio completo de ideas y resultados entre ambas ciencias. Cada ciencia arroja luz sobre la otra, y gana ella misma inconmensurablemente en potencia. Es imposible no sentirse conmovido ante el pensamiento de las emociones de los hombres en ciertos momentos históricos de aventura y descubrimiento–-Colón

cuando vio por primera vez la costa occidental, Pizarro cuando contempló el Pacífico

Océano, Franklin cuando llegó la chispa eléctrica

del hilo de su cometa, Galileo cuando él

dirigió por primera vez su telescopio hacia los cielos. Tales momentos también les son concedidos a los estudiantes en las regiones abstractas del pensamiento, y en un lugar destacado entre ellos debe situarse aquella mañana en que Descartes yacía en la cama e inventó el método

de geometría analítica.

Una vez que se ha comprendido la idea de la geometría analítica, la pregunta inmediata que surge en la mente es: ¿qué tipo de lugares geométricos corresponden a las formas algebraicas bien conocidas? Por ejemplo, la más simple entre los tipos generales de formas algebraicas es $a x + b y = c$ . El tipo de lugar geométrico que corresponde

a esta es una línea recta y, a la inversa, a toda línea recta le corresponde una ecuación de esta forma. Es afortunado que el más simple de los lugares geométricos deba corresponder a la más simple de las formas algebraicas. De hecho, es esta correspondencia general de simplicidad geométrica y algebraica la que le otorga a todo el tema su poder. Surge del hecho de que la conexión entre la geometría y el álgebra no es casual ni artificial, sino profunda y esencial. La ecuación que corresponde a un lugar geométrico se llama la ecuación «del» (o «para el») lugar geométrico. Algunos ejemplos de ecuaciones de líneas rectas ilustrarán el tema. 14

Consideremos $y - x = 0$ ; aquí la $a$ , la $b$ y la $c$ de la forma general han sido sustituidas por $- 1$ , $1$ y $0$ respectivamente. Esta recta pasa por el «origen», $O$ , en el diagrama y biseca el ángulo $X O Y$ . Es la recta $L^{'} O L$ del diagrama. El hecho de que pase por el origen, $O$ , se observa fácilmente al notar que la ecuación se satisface al poner $x = 0$ y $y = 0$ simultáneamente, pero $0$ y $0$ son las coordenadas de $O$ . De hecho, es fácil generalizar y ver por el mismo método que la ecuación de cualquier recta que pase por el origen es de la forma $a x + b y = 0$ . El lugar geométrico de la ecuación $y + x = 0$ también pasa por el origen y biseca el ángulo $X^{'} O Y$ : es la recta $L_{1} O L_{1}^{'}$ del diagrama.

Consideremos $y - x = 1$ : el lugar geométrico correspondiente no pasa por el origen. Por tanto, buscamos dónde corta los ejes. Debe cortar el eje de las $x$ en algún punto de coordenadas $x$ e $0$ . Pero al poner $y = 0$ en la ecuación, obtenemos $x = - 1$ ; así que las coordenadas de este punto $(A)$ son $- 1$ y $0$ . De manera similar, el punto $(B)$ donde la recta corta el eje $O Y$ son $0$ y $1$ . El lugar geométrico es la recta $A B$ en la figura y es paralela a $L O L^{'}$ . De forma análoga, $y + x = 1$ es la ecuación de la recta $A_{1} B$ de la figura; y el lugar geométrico es paralelo a $L_{1} O L_{1}^{'}$ . Es fácil demostrar el teorema general de que dos rectas representadas por ecuaciones de las formas $a x + b y = 0$ y $a x + b y = c$ son paralelas.

El grupo de lugares que encontramos a continuación es lo suficientemente importante como para merecer un capítulo por sí mismo. Pero antes de pasar a ellos, nos detendremos un poco más en las ideas principales del tema.

La posición de cualquier punto $P$ se determina eligiendo arbitrariamente un origen, $O$ , dos ejes,

$O X$ y $O Y$ , en ángulo recto, y luego observando sus coordenadas $x$ e $y$ , es decir, $O M$ y $P M$ (v. [fig.] 13). Además, como hemos visto en el último capítulo, $P$ puede determinarse mediante el "vector" $O P$ , donde la idea de vector incluye una dirección determinada así como una longitud determinada. Desde un punto de vista matemático abstracto, la idea de un origen arbitrario puede parecer artificial y torpe, y lo mismo ocurre con los ejes trazados arbitrariamente, $O X$ y $O Y$ . Pero en relación con la aplicación de las matemáticas al acontecimiento del Universo, estamos simbolizando aquí con directa simplicidad el hecho más fundamental respecto a la perspectiva del mundo que nos proporcionan nuestros sentidos. Cada uno de nosotros refiere sus percepciones sensibles de las cosas a un origen que llamamos "aquí": nuestra ubicación en una parte particular del espacio en torno a la cual agrupamos el Universo entero es el hecho esencial de nuestra existencia corporal. Podemos imaginar seres que observan todos los fenómenos en todo el espacio con igual ojo, sin prejuicios a favor de ninguna parte. Con nosotros es de otro modo, un gato a nuestro

pies reclama más atención que un terremoto en el Cabo de Hornos, o que la destrucción de un mundo en la Vía Láctea. Es cierto que, al poner en común nuestro conocimiento con nuestros semejantes, tenemos que renunciar a algo del estricto egoísmo de nuestro propio «aquí» individual. Sustituimos el «aquí» por un «casi aquí»; así, medimos las millas desde el ayuntamiento de la ciudad más cercana, o desde la capital del país. Al medir la Tierra, los hombres de ciencia sitúan el origen en el centro de la Tierra; los astrónomos

incluso llegar al altruismo extremo de situar su origen dentro del Sol. Pero, por muy lejano que sea este último origen, e incluso si vamos más allá hasta algún punto conveniente en medio de las estrellas fijas más cercanas, aun así, comparado con las inconmensurables infinitudes del espacio, sigue siendo cierto que nuestro primer procedimiento al explorar el Universo es fijar un origen «casi aquí».

De nuevo, la relación de las coordenadas $O M$ y $M P$ (es decir, $x$ e $y$ ) con el vector $O P$ es un caso de la famosa ley del paralelogramo, ya que

puede verse fácilmente (cf. [fig.] 8) completando el paralelogramo $O M P N$ . La idea del «vector» $O P$ , es decir, de una magnitud dirigida, es la idea fundamental de la ciencia física. Cualquier cuerpo en movimiento tiene una cierta magnitud de velocidad en una dirección determinada, es decir, su velocidad es una magnitud dirigida, un vector. Asimismo, una fuerza tiene una cierta magnitud

y tiene una dirección definida. Por tanto, cuando en la geometría analítica se introducen las ideas de «origen», de «coordenadas» y de «vectores», estamos estudiando las concepciones abstractas que corresponden a los hechos fundamentales del mundo físico.