Generalizaciones del número

Una gran peculiaridad de las matemáticas es la

conjunto de ideas afines que han sido inventadas en relación con los números enteros a partir de los cuales comenzamos. Estas ideas pueden llamarse extensiones o generalizaciones del número. En primer lugar, está la idea de las fracciones. El tratado de aritmética más antiguo que poseemos fue escrito por un sacerdote egipcio, llamado Ahmes, entre 1700 y 1100,

y probablemente sea una copia de una obra mucho más antigua. Trata en gran medida sobre las propiedades de las fracciones. Parece, por tanto, que este concepto se desarrolló muy pronto en la historia de las matemáticas. De hecho, el tema es muy evidente. Dividir un campo en tres partes iguales y tomar dos de esas partes debe ser un tipo de operación que se presentó a menudo. En consecuencia, no debe sorprendernos que los hombres de civilizaciones remotas estuvieran familiarizados con la idea de dos tercios, y

con nociones afines. Así, como primera generalización del número, situamos el concepto de fracciones. Los griegos pensaban en este tema más bien bajo la forma de razón, de modo que un griego diría naturalmente que una línea de dos pies de longitud guarda con una línea de tres pies de longitud la razón de $2$ a $3$ . Bajo la influencia de nuestra notación algebraica, diríamos más a menudo que una línea es dos tercios de la longitud de la otra, y pensaríamos en dos tercios como un multiplicador numérico.

En relación con la teoría de la razón, o

fracciones, los griegos hicieron un gran descubrimiento, que ha sido motivo de una gran cantidad de pensamiento tanto filosófico como matemático. Descubrieron la existencia de razones «inconmensurables». Demostraron, de hecho, en el curso de sus investigaciones geométricas que, partiendo de una línea de cualquier longitud, deben existir otras líneas cuyas longitudes no guardan con la longitud original la razón de ningún par de números enteros; o, en otras palabras, que existen longitudes que no son ninguna fracción exacta de la longitud original.

Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado no puede expresarse como ninguna fracción del lado del mismo cuadrado; en nuestra notación moderna, la longitud de la diagonal es $\sqrt{2}$ veces la longitud del lado. Pero no existe ninguna fracción que represente exactamente $\sqrt{2}$ . Podemos aproximar

a $\sqrt{2}$ tanto como queramos, pero nunca alcanzamos exactamente su valor. Por ejemplo, $\frac{49}{25}$ es apenas menor que $2$ , y $\frac{9}{4}$ es mayor que $2$ , de modo que $\sqrt{2}$ se encuentra entre $\frac{7}{5}$ y $\frac{3}{2}$ . Pero la mejor forma sistemática de aproximarse a $\sqrt{2}$ obteniendo una serie de fracciones decimales, cada una mayor que la anterior, es mediante el método ordinario de extracción de la raíz cuadrada; así, la serie es $1$ , $\frac{14}{10}$ , $\frac{141}{100}$ , $\frac{1414}{1000}$ , y así sucesivamente.

Las razones de este tipo son llamadas por los griegos inconmensurables. Han suscitado desde la época de los griegos en adelante una gran cantidad de discusión filosófica, y las dificultades relacionadas con ellas solo han sido aclaradas recientemente.

Pondremos las razones inconmensurables

con las fracciones, y consideremos el conjunto completo de números enteros, números fraccionarios y números inconmensurables como formando una clase de números a la que llamaremos "números reales". Siempre pensamos en los números reales como dispuestos en orden de magnitud, comenzando desde cero y ascendiendo, y volviéndose indefinidamente más y más grandes a medida que avanzamos. Los números reales son convenientemente

representados por puntos en una línea. Sea $O X$ cualquier línea limitada en $O$ y que se extiende indefinidamente en la dirección $O X$ . Tómese cualquier punto conveniente, $A$ , en ella, de modo que $O A$ represente la unidad de longitud; y divídanse longitudes $A B$ , $B C$ , $C D$ , y así sucesivamente, cada una igual a $O A$ . Entonces el punto $O$ representa el número $0$ , $A$ el número $1$ , $B$ el número $2$ , y así sucesivamente. De hecho, el número representado por cualquier punto es la medida de su distancia desde $O$ , en términos de la unidad de longitud $O A$ . Los puntos entre $O$ y $A$ representan las fracciones propias y los números inconmensurables menores que $1$ ; el punto medio de $O A$ representa $\frac{1}{2}$ , el de $A B$ representa $\frac{3}{2}$ , el de $B C$ representa $\frac{5}{2}$ , y así sucesivamente. De esta manera, cada punto en $O X$ representa algún número real, y cada número real está representado por algún punto en $O X$ .

La serie (o fila) de puntos a lo largo de $O X$ ,

partiendo de $O$ y moviéndose regularmente en la dirección de $O$ a $X$ , representa los números reales dispuestos en orden ascendente

de tamaño, comenzando desde cero y aumentando continuamente a medida que avanzamos.

Todo esto parece bastante sencillo, pero incluso a

en esta etapa hay algunas ideas interesantes que se pueden obtener al reflexionar sobre estos hechos evidentes. Consideremos la serie de puntos que representan únicamente los números enteros, a saber, los puntos $O$ , $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , etc. Aquí hay un primer punto $O$ , un punto siguiente definido $A$ , y cada punto, como $A$ o $B$ , tiene un predecesor inmediato definido y un sucesor inmediato definido, con la excepción de $O$ , que no tiene predecesor; además, la serie continúa indefinidamente sin fin. A este tipo de orden se le llama tipo de orden de los números enteros; su esencia es la posesión de vecinos inmediatos a ambos lados, con la excepción del n.º 1 en la fila. Consideremos ahora los números enteros y las fracciones juntos, omitiendo los puntos que corresponden a las razones inconmensurables. El tipo de orden serial que obtenemos ahora es bastante diferente. Hay un primer término $O$ ; pero ningún término tiene un predecesor inmediato ni un sucesor inmediato. Es fácil ver que este es el caso, pues entre dos fracciones cualesquiera siempre podemos encontrar otra fracción de valor intermedio. Una forma muy sencilla de hacer esto es sumar las fracciones y dividir el resultado por dos. Por ejemplo,

entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{4}$ , se encuentra la fracción $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \frac{3}{4})$ , es decir $\frac{17}{24}$ ; y entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{17}{24}$ la

la fracción $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \frac{17}{24})$ , es decir $\frac{33}{48}$ , se encuentra; y así sucesivamente de forma indefinida. Debido a esta propiedad, se dice que la serie es «compacta». No hay un punto final para la serie, la cual aumenta indefinidamente sin límite a medida que avanzamos a lo largo de la recta $O X$ . A primera vista, parecería que el tipo de serie obtenida de este modo a partir de las fracciones, incluyendo siempre los números enteros, sería el mismo que el obtenido a partir de todos los números reales, enteros, fracciones e inconmensurables tomados en conjunto, es decir, a partir de todos los puntos de la recta $O X$ . Todo lo que hemos dicho hasta ahora sobre la serie de las fracciones se aplica igualmente bien a la serie de todos los números reales. Pero existen diferencias importantes que procederemos a desarrollar ahora. La ausencia de los inconmensurables en la serie de las fracciones deja una ausencia de puntos finales para ciertas clases. Así, consideremos el inconmensurable $\sqrt{2}$ . En la serie de los números reales, este se sitúa entre todos los números cuyos cuadrados son menores que $2$ y todos los números cuyos cuadrados son mayores que $2$ . Pero si nos limitamos a la serie de las fracciones y no pensamos en los inconmensurables, de modo que no podamos incluir $\sqrt{2}$ , no existe ninguna fracción que tenga la propiedad de dividir la serie en dos partes de esta manera, es decir, de modo que todos los miembros de un lado tengan sus cuadrados menores que $2$ y los del otro lado mayores que $2$ . Por lo tanto, en la serie de las fracciones

existe una cuasi-brecha donde debería estar $\sqrt{2}$ . Esta presencia de cuasi-brechas en la serie de fracciones puede parecer un asunto menor; pero cualquier matemático, que por casualidad lea esto, sabe que la posible ausencia de límites

o máximos a una clase de números, que sin embargo no se extiende a toda la serie de números, no es un mal menor. Es para evitar esta dificultad que se recurre a los inconmensurables, a fin de obtener una serie completa sin lagunas.

Existe otra diferencia aún más fundamental entre las dos series. Podemos reorganizar las fracciones en una serie como la de los números enteros, es decir, con un primer término, y de tal manera que cada término tenga un sucesor inmediato y (excepto el primer término) un predecesor inmediato. Podemos mostrar cómo se puede hacer esto. Escribamos cada término de la serie de fracciones y números enteros en forma fraccionaria escribiendo $\frac{1}{1}$ para $1$ , $\frac{2}{1}$ para $2$ , y así sucesivamente para todos los números enteros, excluyendo el $0$ . Además, por el momento, consideraremos como distintas aquellas fracciones que tengan el mismo valor pero que no estén reducidas a sus términos mínimos; de modo que, por ejemplo, hasta nuevo aviso, $\frac{2}{3}$ , $\frac{4}{6}$ , $\frac{6}{9}$ , $\frac{8}{12}$ , etc., se considerarán todas como distintas. Ahora, agrupemos las fracciones en clases sumando el numerador y el denominador de cada término. Por brevedad, llamemos a esta suma del numerador y el denominador de una fracción su índice. Así, $7$ es

el índice de $\frac{4}{3}$ , y también el de $\frac{3}{4}$ , y el de $\frac{2}{5}$ . Sean las fracciones de cada clase todas aquellas que tienen un índice especificado, el cual, por lo tanto, también puede llamarse índice de clase. Ahora, ordenemos estas clases según la magnitud de sus índices. La primera clase tiene el índice $2$ , y su único miembro es $\frac{1}{1}$ ; la segunda clase tiene el índice $3$ , y sus miembros son $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{1}$ ; la tercera clase tiene el índice $4$ , y sus miembros son $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{3}{1}$ ; la cuarta clase tiene el índice $5$ , y sus miembros son $\frac{1}{4}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{1}$ ; y así sucesivamente. Es fácil ver que el número de miembros (incluyendo aún las fracciones que no están en sus términos más simples) que pertenecen a cualquier clase es uno menos que su índice. Además, los miembros de cualquier clase pueden ordenarse tomando como primer miembro la fracción con numerador $1$ , el segundo miembro con numerador $2$ , y así sucesivamente, hasta $(n - 1)$ , donde $n$ es el índice. Por tanto, para la clase de índice $n$ , los miembros aparecen en el orden

$\frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n - 3}, \dots, \frac{n - 1}{1} .$ Los miembros de las cuatro primeras clases han sido, de hecho, mencionados en este orden. Así, el conjunto completo de fracciones ha sido ahora dispuesto en un orden similar al de los números enteros. Es el siguiente

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, [\frac{2}{2}], \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \dots,$

$\frac{n - 1}{1}, \frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n - 3}, \dots, \frac{n - 1}{1}, \frac{1}{n},$

y así sucesivamente.

Ahora podemos deshacernos de todas las repeticiones de fracciones del mismo valor simplemente tachándolas cada vez que aparezcan después de su primera ocurrencia. En los pocos términos iniciales escritos arriba, $\frac{2}{2}$ , que aparece encerrado arriba entre corchetes, es la única fracción que no está en su forma más simple. Ya ha aparecido antes como $\frac{1}{1}$ . Por lo tanto, debe ser tachada. Pero la serie aún conserva las mismas propiedades, a saber: (a) hay un primer término, (b) cada término tiene vecinos inmediatos, (c) la serie continúa sin fin.

Se puede demostrar que no es posible

ordene toda la serie de números reales de esta manera. Este curioso hecho fue descubierto por Georg Cantor, un matemático alemán aún vivo; es de la mayor importancia en la filosofía de las ideas matemáticas. De hecho, estamos tocando aquí el límite de los grandes problemas del significado de la continuidad y del infinito.

Otra extensión de los números proviene de

la introducción de la idea de lo que ha sido denominado de diversas maneras como una operación o un paso, nombres que son respectivamente apropiados desde puntos de vista ligeramente diferentes. Comenzaremos con un caso particular. Consideremos

la afirmación $2 + 3 = 5$ . Sumamos $3$ a $2$ y obtenemos $5$ . Pensemos en la operación de sumar $3$ : denotémosla como $+ 3$ . De igual modo, $4 - 3 = 1$ . Pensemos en la operación de restar $3$ : denotémosla como $- 3$ . Así, en lugar de considerar los números reales en sí mismos, consideramos las operaciones de sumarlos o restarlos: en vez de $\sqrt{2}$ , consideramos $+ \sqrt{2}$ y $- \sqrt{2}$ , es decir, las operaciones de sumar $\sqrt{2}$ y de restar $\sqrt{2}$ . Entonces podemos sumar estas operaciones, por supuesto en un sentido de suma diferente a aquel en el que sumamos números. La suma de dos operaciones es la operación única que tiene el mismo efecto que las dos operaciones aplicadas sucesivamente. ¿En qué orden deben aplicarse las dos operaciones? La respuesta es que es indiferente, ya que, por ejemplo, $2 + 3 + 1 = 2 + 1 + 3$ ; de modo que la suma de los pasos $+ 3$ y $+ 1$ es conmutativa.

Los matemáticos tienen la costumbre, desconcertante para quienes se dedican a rastrear significados, pero muy conveniente en la práctica, de utilizar el mismo símbolo en sentidos diferentes aunque afines. El único requisito esencial para un símbolo, a sus ojos, es que, cualesquiera que sean sus posibles variedades de significado, las leyes formales para su uso sean siempre las mismas. En

De acuerdo con este hábito, la suma de operaciones se denota mediante $+$ al igual que la suma de números. Por consiguiente, podemos escribir $(+ 3) + (+ 1) = + 4;$ donde el $+$ central en el lado izquierdo denota la suma de las operaciones $+ 3$ y $+ 1$ . Pero, además, no necesitamos ser tan pedantes en nuestro simbolismo, salvo en los raros casos en los que estamos rastreando significados directamente; así pues, siempre omitimos el primer $+$ de una línea y los paréntesis, y nunca escribimos dos signos $+$ seguidos. De modo que la ecuación anterior se convierte en $3 + 1 = 4,$ que interpretamos como una simple suma numérica, o como la suma más elaborada de operaciones que se expresa plenamente en la forma anterior de escribir la ecuación, o, por último, como la expresión del resultado de aplicar la operación $+ 1$ al número $3$ y obtener el número $4$ . Cualquier interpretación que sea posible es siempre correcta. Pero la única interpretación que es siempre posible, bajo ciertas condiciones, es la de las operaciones. Las otras interpretaciones a menudo dan resultados sin sentido.

Esto nos lleva de inmediato a una pregunta, que debe haber estado surgiendo insistentemente en la

mente del lector: ¿De qué sirve toda esta elaboración? En este punto nuestro amigo, el hombre práctico, intervendrá seguramente e insistirá en barrer todas estas tontas telarañas del cerebro. La respuesta es que lo que el matemático busca es Generalidad. Esto es una

idea digna de ser colocada junto a las nociones de Variable y de Forma en lo que concierne a

su importancia en el gobierno del procedimiento matemático. Cualquier limitación, sea cual fuere, sobre la generalidad de los teoremas, de las demostraciones o de la interpretación es aborrecible para el instinto matemático. Estas tres nociones, la de variable, la de forma y la de generalidad, componen una suerte de trinidad matemática que preside toda la disciplina. Todas ellas brotan en realidad de la misma raíz, a saber, de la naturaleza abstracta de la ciencia.

Veamos cómo se gana en generalidad mediante la introducción de esta idea de operaciones. Tomemos la ecuación $x + 1 = 3$ ; la solución es $x = 2$ . Aquí podemos interpretar nuestros símbolos como meros números, y el recurso a las «operaciones» es totalmente innecesario. Pero, si $x$ es un mero número, la ecuación $x + 3 = 1$ es un sinsentido. Pues $x$ debería ser el número de cosas que quedan cuando se han quitado $3$ cosas de $1$ cosa; y tal procedimiento no es posible. En este punto interviene nuestra idea de forma algebraica, que en sí misma no es más que una generalización bajo otro aspecto. Consideramos, por tanto, la

ecuación general de la misma forma que $x + 1 = 3$ . Esta ecuación es $x + a = b$ , y su solución es $x = b - a$ . Aquí nuestras dificultades se vuelven agudas; pues esta forma solo puede utilizarse para la interpretación numérica mientras $b$ sea mayor que $a$ , y no podemos afirmar sin reservas que $a$ y $b$ puedan ser cualesquiera constantes. En otras palabras, hemos introducido una limitación en la variabilidad de las «constantes» $a$ y $b$ , que debemos arrastrar como una cadena a través de todo nuestro razonamiento. Las investigaciones matemáticas realmente prolongadas serían imposibles bajo tales condiciones. Cada ecuación terminaría sepultada bajo un montón de limitaciones. Pero si ahora interpretamos nuestros símbolos como «operaciones», toda limitación se desvanece como por arte de magia. La ecuación $x + 1 = 3$ da $x = + 2$ , la ecuación $x + 3 = 1$ da $x = - 2$ , la ecuación $x + a = b$ da $x = b - a$ , que es una operación de suma o resta según sea el caso. Nunca necesitamos decidir si $b - a$ representa la operación de suma o de resta, pues las reglas de procedimiento con los símbolos son las mismas en ambos casos.

No entra en el plan de esta obra escribir un capítulo detallado de álgebra elemental. Nuestro objetivo es simplemente aclarar las ideas fundamentales que guían la formación de esta ciencia. En consecuencia, no explicamos más a fondo las reglas detalladas mediante las cuales los "números positivos y negativos" son

multiplicados y combinados de otras formas. Hemos explicado anteriormente que los números positivos y negativos son operaciones. También se les ha llamado "pasos". Así, $+ 3$ es el paso mediante el cual vamos de $2$ a $5$ , y $- 3$ es el paso hacia atrás mediante el cual vamos de $5$ a $2$ . Consideremos la recta $O X$ dividida de la manera explicada en la parte anterior del capítulo, de modo que sus puntos representen números. Entonces $+ 2$

pg86 es el paso de $O$ a $B$ , o de $A$ a $C$ , o (si las divisiones se toman en sentido inverso a lo largo de $O X^{'}$ ) de $C^{'}$ a $A^{'}$ , o de $D^{'}$ a $B^{'}$ , y así sucesivamente. De manera similar, $- 2$ es el paso de $O$ a $B^{'}$ , o de $B^{'}$ a $D^{'}$ , o de $B$ a $O$ , o de $C$ a $A$ .

Podemos considerar el punto al que se llega mediante un paso desde $O$ como representativo de ese paso. Así, $A$ representa $+ 1$ , $B$ representa $+ 2$ , $A^{'}$ representa $- 1$ , $B^{'}$ representa $- 2$ , y así sucesivamente. Se observará que, mientras que anteriormente, con los meros números reales «sin signo», solo los puntos situados a un lado de $O$ , concretamente a lo largo de $O X$ , eran representativos de números, ahora, con los pasos, cada punto de toda la línea que se extiende a ambos lados de $O$ es representativo de un paso. Esta es una representación pictórica de la superior generalidad introducida por los números positivos y negativos, a saber, la

operaciones o pasos. Estos números «con signo» son también casos particulares de lo que se ha denominado vectores (del latín veho, yo

dibujar o transportar). Pues podemos pensar en una partícula como transportada desde $O$ hasta $A$ , o desde $A$ hasta $B$ .

Al sugerir hace unas páginas que el hombre práctico objetaría la sutileza que conlleva la introducción de los números positivos y negativos, estábamos calumniando a ese excelente individuo. Pues, en verdad, nos encontramos ante uno de sus mayores triunfos. Si hay que confesar la verdad, fue el propio hombre práctico quien empleó por primera vez los símbolos reales $+$ y $-$ . Su origen no es muy seguro, pero parece lo más probable que surgieran de las marcas hechas con tiza en los cofres de mercancías en los almacenes alemanes, para denotar el exceso o el defecto respecto a algún peso estándar. La mención más antigua de ellos aparece en un libro publicado en Leipzig, en 1489. Parece que fueron empleados por primera vez en matemáticas por un matemático alemán, Stifel, en un libro

publicado en Núremberg en 1544. Pero, después de todo, solo hace poco que se ha empezado a considerar a los alemanes como una nación enfáticamente práctica. Existe un viejo epigrama que asigna el imperio del mar a los ingleses, el de la tierra a los franceses y el de las nubes a los alemanes. Sin duda fue de las nubes de donde los alemanes extrajeron el $+$ y el $-$ ;

Las ideas que estos símbolos han generado son demasiado importantes para el bienestar de la humanidad como para haber provenido del mar o de la tierra.

Las posibilidades de aplicación de los números positivos y negativos son muy evidentes. Si las longitudes en una dirección se representan mediante números positivos, las de la dirección opuesta se representan mediante números negativos. Si una velocidad en una dirección es positiva, la de la dirección opuesta es negativa. Si una rotación alrededor de una esfera en sentido contrario al de las agujas del reloj (antihorario) es positiva, la que sigue el sentido de las agujas del reloj es negativa. Si un saldo en el banco es positivo, un descubierto es negativo. Si la electrificación vítrea es positiva, la electrificación resinosa es negativa. De hecho, en este último caso, los términos electrificación positiva y electrificación negativa, considerados como meros nombres, han desplazado prácticamente a los otros términos. Se podría dar una serie interminable de ejemplos. La idea de los números positivos y negativos ha sido, en la práctica, la más exitosa de las sutilezas matemáticas.