Secciones cónicas

Cuando los geómetras griegos hubieron agotado,

a medida que reflexionaban, las propiedades más evidentes e interesantes de las figuras compuestas por líneas rectas y círculos, se volcaron al estudio de otras curvas; y, con su instinto casi infalible para dar con temas dignos de reflexión, se dedicaron principalmente a las secciones cónicas, es decir, a las curvas en las que los planos cortarían las superficies de los conos circulares. El hombre a quien debe atribuirse el mérito de haber inventado este estudio es Menecmo (nacido en 375 y

fallecido en 325 a. C.); fue discípulo de Platón y uno de los tutores de Alejandro Magno. Alejandro, dicho sea de paso, es una figura destacada

ejemplo de las ventajas de una buena enseñanza, pues otro de sus tutores fue el filósofo Aristóteles. Podemos sospechar que

Alejandro encontró a Menecmo un maestro bastante aburrido, pues se cuenta que le pidió el

pruebas para que sean más breves. Fue a esta petición a la que Menecmo respondió: «En el

país hay caminos privados e incluso reales, pero en la geometría solo hay un camino para todos". Esta respuesta, sin duda, era lo suficientemente cierta en el sentido en que Alejandro la habría entendido de inmediato. Pero si Menecmo pensaba que sus demostraciones no podían abreviarse, estaba gravemente equivocado; y la mayoría de los matemáticos modernos se aburrirían horriblemente si se vieran obligados a estudiar las demostraciones griegas de las propiedades de las secciones cónicas. Nada ilustra mejor la ganancia en potencia que se obtiene mediante la introducción de ideas relevantes en una ciencia que observar el progresivo acortamiento de las demostraciones que acompaña al crecimiento de la riqueza en ideas. Existe un cierto tipo de matemático que siempre se muestra bastante impaciente por detenerse en las ideas de una materia: está ansioso por pasar de inmediato a las demostraciones de problemas "importantes". La historia de la ciencia está totalmente en su contra. Existen caminos reales en la ciencia; pero quienes los recorren por primera vez son hombres de genio y

no reyes.

La forma en que las secciones cónicas se presentaron por primera vez a los matemáticos fue la siguiente: piénsese en un cono (v. [fig.] 15), cuyo vértice (o punto) es $V$ , apoyado sobre una base circular $S T U$ . Por ejemplo, una pantalla cónica para

una luz eléctrica es a menudo un ejemplo de tal superficie. Ahora, prolonguemos hacia atrás todas las líneas «generatrices» que pasan por $V$ y yacen sobre la superficie; el resultado es un cono doble, y $P Q R$ es otra sección transversal circular en el lado opuesto de $V$ respecto a la sección transversal $S T U$ . El eje del cono $C V C^{'}$ pasa por todos los centros de estos círculos y es perpendicular a sus planos, los cuales son paralelos entre sí. En el diagrama, las partes de las curvas que se supone que yacen detrás del plano del papel son líneas punteadas, y las partes sobre el plano o delante de él son líneas continuas. Supongamos ahora que este cono doble es cortado por un plano no perpendicular al eje $C V C^{'}$ , o al menos no necesariamente perpendicular a él. Entonces pueden darse tres casos:–-

(1) El plano puede cortar el cono en una cerrada

curva ovalada, como $A B A^{'} B^{'}$ , que se encuentra enteramente en uno de los dos semi-conos. En este caso, el plano no cortará en absoluto al otro semi-cono. Tal curva se denomina elipse; es una curva ovalada. Un caso particular de dicha sección del cono es cuando el plano es perpendicular al eje $C V C^{'}$ , entonces la sección, como $S T U$ o $P Q R$ , es un círculo. De ahí que una

El círculo es un caso particular de la elipse.

(2) El plano puede compararse con un plano tangente que toca al cono a lo largo de una de sus líneas «generatrices», como por ejemplo el plano de la

la curva $D_{1} A_{1} D_{1}^{'}$ en el diagrama es paralela al plano tangente que toca al cono a lo largo de la generatriz $V S$ ; la curva sigue confinada a uno de los semiconos, pero ahora no es una curva ovalada cerrada, sino que se extiende indefinidamente a medida que las generatrices del semicono se prolongan alejándose del vértice. Tal sección cónica se denomina parábola.

(3) El plano puede cortar ambos semiconos,

de modo que la curva completa consta de dos porciones separadas, o «ramas» como se les llama; este caso se ilustra mediante las dos ramas $G_{2} A_{2} G_{2}^{'}$ y $L_{2} A_{2}^{'} L_{2}^{'}$ que juntas conforman la curva. Ninguna de las ramas es cerrada, cada una de ellas se extiende infinitamente a medida que los dos semi-conos se prolongan alejándose del vértice. Tal sección cónica se denomina hipérbola.

Existen, por consiguiente, tres tipos de secciones cónicas, a saber: elipses, parábolas e hipérbolas. Es fácil ver que, en cierto sentido, las parábolas son casos límite que se sitúan entre las elipses y las hipérbolas. Forman una clase más especial y han de satisfacer una condición más particular. Estos tres nombres se deben, al parecer, a Apolonio de Perge (nacido

alrededor del 260, y murió alrededor del 200), quien escribió un tratado sistemático sobre las secciones cónicas que siguió siendo la obra de referencia hasta el siglo XVI.

Debe resultar evidente de inmediato lo incómodo

y difícil debió de ser la investigación de las propiedades de estas curvas para los geómetras griegos. Las curvas son curvas planas y, sin embargo, su investigación implica el dibujo en perspectiva de una figura sólida. Así, en el diagrama presentado arriba, prácticamente no hemos trazado líneas auxiliares y, no obstante, la figura es suficientemente complicada. La

las curvas son curvas planas, y parece obvio que deberíamos ser capaces de definirlas sin 16 ir más allá del plano hacia una figura sólida. Al mismo tiempo, al igual que en la definición "sólida" 17 existe un método uniforme de definición, a saber, la sección de un cono por

un plano–lo que da lugar a tres casos, por lo que en cualquier definición de «plano» también debería haber un método de procedimiento uniforme que se divida en tres casos. Sus formas, al ser dibujadas en sus planos, son las de las líneas curvas en las tres figuras [fig:16]16, [fig:17]17 y [fig:18]18. Los puntos $A$ y $A^{'}$ en las figuras se denominan

18 los vértices y la línea $A A^{'}$ el eje mayor. Se observará que una parábola (v. [fig.]17)

tiene un solo vértice. Apolonio demostróCf. Ball, loc. cit., para este relato sobre Apolonio y Pappus. que la razón de $P M^{2}$ a $A M \cdot M A^{'}$ $(i.e. \frac{P M^{2}}{A M \cdot M A^{'}})$ permanece constante tanto para la elipse como para la hipérbola (figs. [fig:16]16 y [fig:18]18), y que la razón

de $P M^{2}$ a $A M$ es constante para la parábola de la [fig.]17; y basa la mayor parte de su trabajo en este hecho. Evidentemente, avanzamos hacia la deseada definición uniforme que no sale del plano; pero aún no hemos alcanzado del todo la uniformidad.

En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán marcados dos puntos, $S$ y $S^{'}$ , y en el [diagrama]17 un punto, $S$ . Estos son los focos de las curvas y son puntos de la mayor importancia. Apolonio sabía que, para una elipse, la suma de $S P$ y $S^{'} P$ (es decir, $S P + S^{'} P$ ) es constante a medida que $P$ se mueve sobre la curva, y es igual a $A A^{'}$ . De manera similar, para una hipérbola, la diferencia $S^{'} P - S P$ es constante e igual a $A A^{'}$ cuando $P$ está en una rama, y la diferencia $S P^{'} - S^{'} P^{'}$ es constante e igual a $A A^{'}$ cuando $P^{'}$ está en la otra rama. Pero no parecía existir ningún punto correspondiente para la parábola.

Finalmente, $500$ años después, el último gran geómetra griego, Pappus de Alejandría, descubrió

el secreto final que completaba esta línea de pensamiento. En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán dos líneas, $X N$ y $X^{'} N^{'}$ , y en el [diagrama]17 la línea única, $X N$ . Estas son las directrices de las curvas, dos para cada una en el caso de la elipse y la hipérbola, y una para la parábola. Cada directriz corresponde a su foco más cercano.

La propiedad característica de un foco, $S$ , y su directriz correspondiente, $X N$ , para cualquiera de los tres tipos de curva, es que la razón

$S P$ a $P N$ $(es decir \frac{S P}{P N})$ es constante, donde $P N$ es la perpendicular a la directriz desde $P$ , y $P$ es cualquier punto de la curva. Aquí hemos encontrado finalmente la propiedad deseada de las curvas que no requiere que abandonemos el plano, y se enuncia de manera uniforme para las tres curvas. Para las elipses, la razónCf. Nota B, notaB.136 es menor que $1$ , para las parábolas es igual a $1$ , y para las hipérbolas es mayor que $1$ .

Cuando Pappus hubo terminado sus investigaciones,

debió de sentir que, salvo por extensiones menores, el tema estaba prácticamente agotado; y si hubiera podido prever la historia de la ciencia durante más de mil años, esto habría confirmado su creencia. Sin embargo, en verdad, las ideas realmente fructíferas en relación con esta rama de las matemáticas ni siquiera habían sido abordadas, y nadie había adivinado sus aplicaciones sumamente importantes en la naturaleza. No puede darse advertencia más impresionante a aquellos que quisieran limitar el conocimiento y la investigación a lo aparentemente útil, que la reflexión de que las secciones cónicas fueron estudiadas durante mil ochocientos años meramente como una ciencia abstracta, sin pensar en ninguna utilidad más que la de satisfacer el ansia de conocimiento por parte de los matemáticos, y que entonces, al final de este largo período de estudio abstracto, ellas

se descubrió que eran la clave necesaria con la que alcanzar el conocimiento de una de las leyes más importantes de la naturaleza.

Mientras tanto, el estudio completamente distinto de la astronomía había seguido avanzando. El

gran astrónomo griego Ptolomeo (fallecido en 168)

publicó su tratado estándar sobre el tema en la Universidad de Alejandría, explicando los movimientos aparentes entre las estrellas fijas del sol y los planetas mediante la concepción de la tierra en reposo y el sol y los planetas girando alrededor de ella. Durante los siguientes mil trescientos años, el número y la precisión de las observaciones astronómicas aumentaron, con el resultado de que la descripción de los movimientos de los planetas según la hipótesis de Ptolomeo tuvo que hacerse cada vez más complicada. Copérnico (nacido

1473 y fallecido en 1543) señaló que los movimientos de estos cuerpos celestes podrían explicarse de una manera más sencilla si se supusiera que el sol permanecía en reposo, y que la tierra y los planetas se concebían girando a su alrededor. Sin embargo, él seguía pensando en estos movimientos como esencialmente circulares, aunque modificados por un conjunto de pequeñas correcciones superpuestas arbitrariamente a los movimientos circulares primarios. Así estaba la cuestión cuando Kepler nació en Stuttgart

en Alemania en 1571. Existían dos ciencias, la de la geometría de las secciones cónicas y la de la astronomía, ambas las cuales

habían sido estudiadas desde una remota antigüedad sin sospecha alguna de conexión entre ambas. Kepler era astrónomo,

pero también era un geómetra capaz y, en lo referente a las secciones cónicas, había llegado a ideas adelantadas a su tiempo. Él es solo uno de los muchos ejemplos de la falsedad de la idea de que el éxito en la investigación científica exige una absorción exclusiva en una única y estrecha línea de estudio. Las ideas novedosas son más propensas a surgir de una combinación inusual de conocimientos; no necesariamente de un vasto conocimiento, sino de una concepción profunda de los métodos e ideas de distintas líneas de pensamiento. Se recordará que Charles Darwin fue ayudado

llegar a su concepción de la ley de la evolución mediante la lectura del famoso Ensayo de Malthus

sobre la Población, una obra que trata un tema diferente; o, al menos, eso se pensaba entonces.

Kepler enunció tres leyes del movimiento planetario

motion, los dos primeros en 1609, y el tercero diez años más tarde. Son los siguientes:

(1) Las órbitas de los planetas son elipses, estando el sol en el foco.

(2) A medida que un planeta se mueve en su órbita, el radio vector desde el Sol hasta el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

(3) Los cuadrados de los tiempos periódicos de los diversos planetas son proporcionales a los cubos de sus ejes mayores.

Estas leyes demostraron ser solo una etapa hacia un desarrollo más fundamental de las ideas. Newton (nacido en 1642 y fallecido

1727) concibió la idea de la gravitación universal, a saber, que cualesquiera dos piezas de

la materia se atraen entre sí con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta ley general de gran alcance, junto con las tres leyes del movimiento a las que dio su forma general definitiva, resultó adecuada para explicar todos los fenómenos astronómicos, incluidas las leyes de Kepler, y ha constituido la base de la física moderna. Entre otras cosas, demostró que los cometas podían moverse en elipses muy alargadas, o en parábolas, o en hipérbolas, que son casi parábolas. Los cometas que regresan —como el cometa Halley— deben, por supuesto, moverse en

elipses. Pero el paso esencial en la demostración de la ley de la gravitación, e incluso en la sugerencia de su concepción inicial, fue la verificación de las leyes de Kepler que relacionan los movimientos de los planetas con la teoría de las secciones cónicas.

Desde el siglo XVII en adelante, la teoría abstracta de las curvas ha participado en el doble renacimiento de la geometría debido a la introducción de la geometría de coordenadas y de la geometría proyectiva. En la geometría proyectiva

las ideas fundamentales se agrupan en torno a

la consideración de conjuntos (o haces, como los

se denominan) de rectas que pasan por un punto común (el vértice del "haz"). Ahora (véase la [fig.] 19), si $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son cuatro puntos fijos cualesquiera en una sección cónica y $P$ es un punto variable en la curva, el haz de rectas $P A$ , $P B$ , $P C$ y $P D$ tiene una propiedad especial, conocida como la constancia de su razón doble. Esta

Bastará decir aquí que la razón doble es una idea fundamental en la geometría proyectiva. Para la geometría proyectiva, esta es realmente la definición de las curvas, o alguna propiedad análoga que sea en realidad equivalente a ella.

se verá hasta qué punto, en el transcurso de siglos de estudio, nos hemos alejado de la vieja idea original de las secciones de un cono circular. Sabemos ahora que los griegos se habían aferrado a una propiedad menor de importancia comparativamente escasa; aunque, por alguna divina buena fortuna, las curvas en sí mismas merecían toda la atención que se les prestó. Esta falta de importancia de la idea de «sección» queda ahora marcada en la fraseología matemática ordinaria al omitir la palabra de sus nombres. Con frecuencia, ahora se les llama simplemente «cónicas» en lugar de «secciones cónicas».

Finalmente, volvemos al punto en

en el que dejamos la geometría analítica en el último capítulo. Nos habíamos preguntado cuál era el tipo de lugares geométricos correspondientes a la forma algebraica general $a x + b y = c$ , y habíamos descubierto que se trataba de la clase de las líneas rectas en el plano. Habíamos visto que toda línea recta posee una ecuación de esta forma, y que toda ecuación de esta forma corresponde a una línea recta. Ahora deseamos pasar al siguiente tipo general de formas algebraicas. Esto se obtiene evidentemente introduciendo términos que involucran $x^{2}$ , $x y$ y $y^{2}$ . Por tanto, la nueva forma general debe escribirse:–- $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0 .$ ¿Qué representa esto? La respuesta es

que (cuando representa cualquier lugar geométrico) siempre representa una sección cónica y, además, que la ecuación de toda sección cónica siempre puede adoptar esta forma. La discriminación de los tipos particulares de cónicas según esta forma de ecuación es muy sencilla. Depende enteramente de la consideración de $a b - h^{2}$ , donde $a$ , $b$ y $h$ son las «constantes» escritas anteriormente. Si $a b - h^{2}$ es un número positivo, la curva es una elipse; si $a b - h^{2} = 0$ , la curva es una parábola; y si $a b - h^{2}$ es un número negativo, la curva es una hipérbola.

Por ejemplo, pongamos $a = b = 1$ , $h = g = f = 0$ , $c = - 4$ . Obtenemos entonces la ecuación $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ . Es fácil demostrar que esta es la ecuación de una circunferencia, cuyo centro está en el origen y cuyo radio es de $2$ unidades de longitud. Ahora bien, $a b - h^{2}$ se convierte en $1 \times 1 - 0^{2}$ , es decir, $1$ , y por tanto es positivo. De ahí que la circunferencia sea un caso particular de elipse, como debe ser. Generalizando, la ecuación de cualquier circunferencia puede expresarse en la forma $a (x^{2} + y^{2}) + 2 g x + 2 f y + c = 0$ . Por tanto, $a b - h^{2}$ se convierte en $a^{2} - 0$ , es decir, $a^{2}$ , que es necesariamente positivo. En consecuencia, todas las circunferencias satisfacen la condición de las elipses. La forma general de la ecuación de una parábola es $(d x + e y)^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0,$ de modo que los términos de segundo grado, como

se les llama, pueden escribirse como un cuadrado perfecto. Al desarrollar el cuadrado, obtenemos $d^{2} x^{2} + 2 d e x y + e^{2} y^{2} + 2 g x + 2 f y + c;$ de modo que, por comparación, $a = d^{2}$ , $h = d e$ , $b = e^{2}$ , y por tanto $a b - h^{2} = d^{2} e^{2} - (d e)^{2} = 0$ . De aquí que la condición necesaria se satisfaga automáticamente. La ecuación $2 x y - 4 = 0$ , donde $a = b = g = f = 0$ , $h = 1$ , $c = - 4$ , representa una hipérbola. Pues la condición $a b - h^{2}$ se convierte en $0 - 1^{2}$ , es decir, $- 1$ , que es negativa.

plus 0.75em minus 0.25em La limitación, introducida al decir que,

cuando la ecuación general representa cualquier lugar geométrico, representa una sección cónica, es necesario, debido a que algunos casos particulares de la ecuación general no representan ningún lugar geométrico real. Por ejemplo, $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ no puede ser satisfecha por ningún valor real de $x$ e $y$ . Es habitual decir que el lugar geométrico es ahora uno compuesto por puntos imaginarios. Pero esta idea de puntos imaginarios en geometría es en realidad de una gran complejidad, en la cual no entraremos ahora.

Algunos casos excepcionales se incluyen en la forma general de la ecuación que podrían no reconocerse de inmediato como secciones cónicas. Eligiendo adecuadamente las constantes, la ecuación puede hacer que represente dos líneas rectas. Ahora bien, se puede decir con justicia que dos líneas rectas que se cortan entran dentro de la idea griega de sección cónica. Pues, al remitirse a

en la imagen del cono doble anterior, se verá que algunos planos que pasan por el vértice, $V$ , cortarán el cono en un par de líneas rectas que se intersecan en $V$ . El caso de dos líneas rectas paralelas puede incluirse considerando un cilindro circular como un caso particular de un cono. Entonces, un plano que lo corte y sea paralelo a su eje, lo cortará en dos líneas rectas paralelas. De cualquier modo, independientemente de si el

El griego antiguo habría permitido que estos casos especiales fueran llamados secciones cónicas; ciertamente están incluidos entre las curvas representadas por la forma algebraica general de segundo grado. Este hecho es digno de mención, pues es característico de las matemáticas modernas incluir entre las formas generales todo tipo de casos particulares que anteriormente habrían recibido un tratamiento especial. Esto se debe a su búsqueda de la generalidad.