Serie

Ninguna parte de las Matemáticas sufre más de

la trivialidad de su presentación inicial a los principiantes que el gran tema de las series. Se consideran dos ejemplos menores de series, a saber, las series aritméticas y geométricas; estos ejemplos son importantes porque son los casos más sencillos de una teoría general importante. Pero las ideas generales nunca se revelan; y así los ejemplos, que no ejemplifican nada, se reducen a tonterías triviales.

La idea matemática general de una serie es la de un conjunto de cosas dispuestas en orden, es decir, en secuencia; este significado está representado con precisión en el uso común del término. Considérese, por ejemplo, la serie de primeros ministros británicos durante el siglo XIX, dispuestos en el orden de su primer mandato en dicho cargo dentro del siglo. La serie comienza con William Pitt y termina con

Lord Rosebery, quien, como es apropiado, es el biógrafo del primer miembro. Nosotros

podría haber considerado otros órdenes seriales para la disposición de estos hombres; por ejemplo, según su altura o su peso. Estos otros órdenes sugeridos nos parecen triviales en relación con los Primeros Ministros, y no se nos ocurrirían de forma natural; pero, abstractamente, son órdenes tan buenos como cualquier otro. Cuando un orden entre términos es mucho más importante o más obvio que otros órdenes, a menudo se habla de él como el orden de dichos términos. Así, el orden de los números enteros siempre se entendería como su orden dispuestos según su magnitud. Pero, por supuesto, existe un número indefinido de otras formas de ordenarlos. Cuando el número de cosas consideradas es finito, el número de formas de ordenarlas se denomina número de sus permutaciones. El número de permutaciones de un conjunto de $n$ cosas, donde $n$ es algún número entero finito, es $n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times \dots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1,$ es decir, es el producto de los primeros $n$ números enteros; este producto es tan importante en matemáticas que se utiliza un simbolismo especial para él, y siempre se escribe ` $n!$ .' Así, $2! = 2 \times 1 = 2$ , y $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ , y $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ , y $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . A medida que $n$ aumenta, el valor de $n!$ crece muy rápidamente; por tanto, $100!$ es cien veces mayor que $99!$ .

Es fácil verificar en el caso de valores pequeños de $n$ que $n!$ es el número de formas de ordenar $n$ objetos. Así, consideremos dos objetos $a$ y $b$ ; estos son capaces de las dos ordenaciones $a b$ y $b a$ , y $2! = 2$ .

De nuevo, tomemos tres cosas $a$ , $b$ y $c$ ; estas son capaces de seis órdenes: $a b c$ , $a c b$ , $b a c$ , $b c a$ , $c a b$ , $c b a$ , y $3! = 6$ . De manera similar para los veinticuatro órdenes en los que cuatro cosas $a$ , $b$ , $c$ y $d$ pueden ser dispuestas.

Cuando llegamos a los conjuntos infinitos de cosas, como

los conjuntos de todos los números enteros, o de todas las fracciones, o de todos los números reales, por ejemplo—nos encontramos de inmediato con las complicaciones de la teoría de los tipos de orden. Este tema fue tratado en VI al considerar los posibles órdenes de los números enteros, de las fracciones y de los números reales. Toda la cuestión de los tipos de orden constituye una rama de las matemáticas comparativamente nueva y de gran importancia. No la consideraremos más. Todas las series infinitas que consideramos ahora son del mismo tipo de orden que los números enteros dispuestos en orden ascendente de magnitud, es decir, con un primer término, y tales que cada término tiene un par de vecinos inmediatos, uno a cada lado, con la excepción del primer término que tiene, por supuesto, solo un vecino inmediato. Así, si $m$ es cualquier número entero (distinto de cero), siempre habrá un término $m$ -ésimo. Una serie con un finito

número de términos (digamos $n$ términos) tiene las mismas características en lo que respecta a los vecinos inmediatos que una serie infinita; solo se diferencia de las series infinitas en que tiene un último término, a saber, el $n$ -ésimo.

Lo importante que hay que hacer con una serie de números —usando en adelante «serie» en el sentido restringido que se acaba de mencionar— es sumar sus términos sucesivos.

Así, si $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , , $u_{n}$ , son respectivamente el 1.º, 2.º, 3.º, 4.º, , n-ésimo términos de una serie de números, formamos sucesivamente la serie $u_{1}$ , $u_{1} + u_{2}$ , $u_{1} + u_{2} + u_{3}$ , $u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}$ , y así sucesivamente; por lo tanto, la suma de los $n$ primeros términos puede escribirse $u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} .$

Si la serie tiene solo un número finito de

términos, llegamos finalmente de esta manera a la suma de toda la serie de términos. Pero, si la serie tiene un número infinito de términos, este proceso de formar sucesivamente las sumas de los términos nunca termina; y en este sentido no existe tal cosa como la suma de una serie infinita.

¿Pero por qué es importante sumar sucesivamente los términos de una serie de este modo? La respuesta es que aquí estamos simbolizando el proceso mental fundamental de la aproximación. Este es un proceso que tiene una importancia mucho más

más allá de las regiones de las matemáticas. Nuestros intelectos limitados no pueden lidiar con material complicado todo a la vez, y nuestro método de ordenación es el de la aproximación. El estadista, al elaborar su discurso, coloca primero las cuestiones dominantes y deja que los detalles caigan naturalmente en sus lugares subordinados. Existe, por supuesto, el método artístico inverso de preparar la imaginación mediante la presentación de detalles subordinados o especiales, para luego ascender gradualmente a una crisis. De cualquier manera, el proceso es uno de suma gradual de efectos; y esto es exactamente lo que se hace mediante la suma sucesiva de los términos de una serie. Nuestro método ordinario de expresar números es tal proceso de suma gradual, al menos en el caso de números grandes. Así, $568, 213$ se presenta a la mente como:–- $500, 000 + 60, 000 + 8, 000 + 200 + 10 + 3 .$

En el caso de las fracciones decimales, esto es aún más evidente. Así, $3.14159$ es:–- $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{5}{10000} + \frac{9}{100000} .$ Asimismo, $3$ y $3 + \frac{1}{10}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{5}{10000}$ son aproximaciones sucesivas al resultado completo $3.14159$ . Si leemos $568, 213$ al revés, de derecha a izquierda, empezando por las $3$ unidades,

lo leemos de manera artística, preparando gradualmente la mente para la crisis de $500.000$ .

El proceso ordinario de la multiplicación numérica se lleva a cabo mediante la suma de una serie. Considérese el cálculo $* 6 @ c @ & & & 3 & 4 & 2 & & & 6 & 5 & 8 \cline 4 - 6 \Strut & & 2 & 7 & 3 & 6 & 1 & 7 & 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 2 & & \cline 1 - 6 \Strut 2 & 2 & 5 & 0 & 3 & 6$

De ahí que las tres líneas que deben añadirse formen una serie cuyo primer término es la línea superior. Esta serie sigue el método artístico de presentar el término más importante al final, no por ningún sentido del arte, sino por la conveniencia que se obtiene al mantener un control firme sobre el lugar de las unidades, permitiéndonos así omitir algunos $0$ , formalmente necesarios.

Pero cuando aproximamos gradualmente

al sumar los términos sucesivos de una serie infinita, ¿a qué nos estamos aproximando? La dificultad reside en que la serie no tiene una «suma» en el sentido estricto de la palabra, porque la operación de sumar sus términos nunca puede completarse. La respuesta es que nos estamos aproximando al límite de la suma de la serie, y ahora debemos

A continuación, explicaré qué es el «límite» de una serie.

La suma de una serie se aproxima a un límite cuando la suma de cualquier número de sus términos, siempre que dicho número sea lo suficientemente grande, es tan cercana al límite como uno desee aproximarse. Pero esta descripción del significado de aproximarse a un límite, evidentemente, no resistiría el riguroso examen de las matemáticas modernas. ¿Qué se entiende por suficientemente grande, por casi igual y por desear aproximarse? Todas estas frases vagas deben explicarse en términos de las ideas abstractas simples que son las únicas admitidas en la matemática pura.

Sean los términos sucesivos de la serie $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ , , $u_{n}$ , etc., de modo que $u_{n}$ sea el término $n$ -ésimo de la serie. Sea también $s_{n}$ la suma de los $n$ primeros términos, sea cual sea $n$ . De modo que:–-

$s_{1} = u_{1}, s_{2} = u_{1} + u_{2}, s_{3} = u_{1} + u_{2} + u_{3}, y s_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} .$

Entonces los términos $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , , $s_{n}$ , forman una nueva serie, y la formación de esta serie es el proceso de suma de la serie original. Entonces la "aproximación" de la suma de la serie original a un "límite" significa la "aproximación de los términos de esta nueva serie a un límite". Y tenemos

ahora, explicar qué queremos decir con la aproximación a un límite de los términos de una serie.

Ahora, recordando la definición (dada en el [capítulo] XII) de un estándar de aproximación,

La idea de un límite significa lo siguiente: $l$ es el límite de los términos de la serie $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , , $s_{n}$ , , si, para cada número real $k$ , tomado como estándar de aproximación, se puede encontrar un término $s_{n}$ de la serie de modo que todos los términos siguientes (es decir, $s_{n + 1}$ , $s_{n + 2}$ , etc.) se aproximen a $l$ dentro de ese estándar de aproximación. Si se elige otro estándar más pequeño $k^{1}$ , el término $s_{n}$ puede ser demasiado temprano en la serie, y entonces se encontrará un término posterior $s_{m}$ con la propiedad anterior.

Si esta propiedad se cumple, es evidente que a medida que se avanza en la serie $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , ..., $s_{n}$ , de izquierda a derecha, llega un momento en que se obtienen términos que están más cerca de $l$ que cualquier número que se desee asignar. En otras palabras, se aproxima a $l$ tanto como se quiera. La estrecha relación de esta definición del límite de una serie con la definición de función continua dada en el [capítulo] XI será percibida de inmediato.

Luego, volviendo a la serie original $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , , $u_{n}$ , , el límite de los términos de la serie $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , , $s_{n}$ , , se denomina «suma al infinito» de la serie original. Pero es evidente que este uso de la palabra

«suma» es muy artificial, y no debemos asumir propiedades análogas a las de la suma ordinaria de un número finito de términos sin una investigación especial.

Examinemos un ejemplo de una «suma al infinito». Consideremos el decimal periódico $.1111 \dots$ . Este decimal no es más que una forma de simbolizar la «suma al infinito» de la serie $.1$ , $.01$ , $.001$ , $.0001$ , etc. La serie correspondiente hallada mediante la suma es $s_{1} = .1$ , $s_{2} = .11$ , $s_{3} = .111$ , $s_{4} = .1111$ , etc. El límite de los términos de esta serie es $\frac{1}{9}$ ; esto es fácil de ver mediante una simple división, pues $\frac{1}{9} = .1 + \frac{1}{90} = .11 + \frac{1}{900} = .111 + \frac{1}{9000} = etc.$ Por tanto, si se da $\frac{3}{17}$ (el $k$ de la definición), $.1$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{3}{17}$ ; si se da $\frac{1}{1000}$ (otra elección para el $k$ de la definición), $.111$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{1}{1000}$ ; y así sucesivamente, sea cual sea la elección que se haga para $k$ .

Es evidente que nada de lo que se ha dicho da la más mínima idea de cómo debe hallarse la «suma al infinito» de una serie. Nos hemos limitado a enunciar las condiciones que tal número debe satisfacer. En efecto, un método general para hallar en todos los casos la suma al infinito de una serie es intrínsecamente imposible, por la sencilla razón de que tal «suma», tal como aquí se define, no siempre existe. Las series que poseen una suma al

infinito se denominan convergentes, y aquellas que no poseen una suma hasta el infinito se denominan divergentes.

Un ejemplo evidente de serie divergente es $1$ , $2$ , $3$ , , $n$ , es decir, la serie de los números enteros en su orden de magnitud. Sea cual sea el número $l$ que se intente tomar como su suma al infinito, y sea cual sea el estándar de aproximación $k$ que se elija, tomando suficientes términos de la serie siempre se puede hacer que su suma difiera de $l$ en más de $k$ . Otro ejemplo de serie divergente es $1$ , $1$ , $1$ , etc., es decir, la serie en la que cada término es igual a $1$ . Entonces, la suma de $n$ términos es $n$ , y esta suma crece sin límite a medida que $n$ aumenta. Otro ejemplo más de serie divergente es $1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , etc., es decir, la serie en la que los términos son alternativamente $1$ y $- 1$ . La suma de un número impar de términos es $1$ , y la de un número par de términos es $0$ . Por tanto, los términos de la serie $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , , $s_{n}$ , no se aproximan a un límite, aunque no aumentan sin límite.

Resulta tentador suponer que la condición para que $u_{1}$ , $u_{2}$ , ..., $u_{n}$ tengan una suma hasta el infinito es que $u_{n}$ debería decrecer indefinidamente a medida que $n$ aumenta. Las matemáticas serían una ciencia mucho más sencilla de lo que son si este fuera el caso. Por desgracia, tal suposición no es cierta.

Por ejemplo, la serie $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$ es divergente. Es fácil ver que este es el caso; pues consideremos la suma de $n$ términos

comenzando en el término $(n + 1)$ -ésimo. Estos $n$ términos son $\frac{1}{n + 1}$ , $\frac{1}{n + 2}$ , $\frac{1}{n + 3}$ , , $\frac{1}{2 n}$ : hay $n$ de ellos y $\frac{1}{2 n}$ es el menor entre ellos. Por tanto, su suma es mayor que $n$ veces $\frac{1}{2 n}$ , es decir, es mayor que $\frac{1}{2}$ . Ahora, sin alterar la suma al infinito, si existe, podemos sumar términos vecinos y obtener la serie $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} + \frac{1}{4}, \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}, etc.,$ es decir, por lo que se ha dicho anteriormente, una serie cuyos términos después del $2$ º son mayores que los de la serie, $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, etc.,$ donde todos los términos después del primero son iguales. Pero esta serie es divergente. Por tanto, la serie original es divergente. Cf. Nota C, notaC.204

Esta cuestión de la divergencia muestra cuán cuidadosos debemos ser al argumentar a partir de las propiedades

de la suma de un número finito de términos a la de la suma de una serie infinita. Pues la propiedad más elemental de un número finito de términos es que, por supuesto, poseen una suma: pero incluso esta propiedad fundamental no la posee necesariamente una serie infinita. Esta advertencia simplemente señala que no debemos dejarnos engañar por la sugerencia del término técnico "suma de una serie infinita". Es habitual indicar la suma de la serie infinita $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, u_{n}, \dots$ mediante $u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} + \dots .$

Pasamos ahora a una generalización de la idea de serie, la cual las matemáticas, fieles a su método, realizan mediante el uso de la variable. Hasta ahora, solo hemos contemplado series en las que cada término definido era un número definido. Pero podemos generalizar igualmente y hacer que cada término sea alguna expresión matemática que contenga una variable $x$ . Así, podemos considerar la serie $1$ , $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ , $\dots$ , $x^{n}$ , $\dots$ , y la serie $x, \frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{3}}{3}, \dots, \frac{x^{n}}{n}, \dots .$

Con el fin de simbolizar la idea general de cualquier función de este tipo, concíbase una función de $x$ , digamos $f_{n} (x)$ , que involucre en su formación un número entero variable $n$ ; entonces, al darle a $n$ el

valores $1$ , $2$ , $3$ , etc., sucesivamente, obtenemos la serie $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x), \dots, f_{n} (x), \dots .$ Tal serie puede ser convergente para algunos valores de $x$ y divergente para otros. De hecho, es bastante raro encontrar una serie que involucre una variable $x$ que sea convergente para todos los valores de $x$ ; al menos en cualquier caso particular, es muy arriesgado asumir que este sea el caso. Por ejemplo, examinemos el más simple de todos los casos, a saber, la «geométrica»

serie $1, x, x^{2}, x^{3}, \dots, x^{n}, \dots .$ La suma de $n$ términos viene dada por $s_{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} .$

Ahora multipliquemos ambos lados por $x$ y obtenemos $x s_{n} = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots + x^{n} + x^{n + 1} .$ Ahora restemos la última línea de la línea superior y obtenemos $s_{n} (1 - x) = s_{n} - x s_{n} = 1 - x^{n + 1},$ y por lo tanto (si $x$ no es igual a $1$ ) $s_{n} = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x} - \frac{x^{n + 1}}{1 - x} .$ Ahora, si $x$ es numéricamente menor que $1$ , para valores suficientemente grandes de $n$ , $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ es siempre numéricamente

menor que $k$ , sea cual sea la elección de $k$ . Por tanto, si $x$ es numéricamente menor que $1$ , la serie $1$ , $x$ , $x^{2}$ , , $x^{n}$ , es convergente, y $\frac{1}{1 - x}$ es su límite. Esta afirmación se simboliza mediante $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots, (- 1 < x < 1) .$ Pero si $x$ es numéricamente mayor que $1$ , o numéricamente igual a $1$ , la serie es divergente. En otras palabras, si $x$ se encuentra entre $- 1$ y $+ 1$ , la serie es convergente; pero si $x$ es igual a $- 1$ o $+ 1$ , o si $x$ se encuentra fuera del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , entonces la serie es divergente. Así, la serie es convergente en todos los «puntos» dentro del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , excluyendo los puntos extremos.

En esta etapa de nuestra investigación surge otra pregunta. Supongamos que la serie $f_{1} (x) + f_{2} (x) + f_{3} (x) + \dots + f_{n} (x) + \dots$ es convergente para todos los valores de $x$ comprendidos en el intervalo de $a$ a $b$ , es decir, la serie es convergente para cualquier valor de $x$ que sea mayor que $a$ y menor que $b$ . Supongamos también que queremos asegurarnos de que, al aproximarnos al límite, sumamos suficientes términos para situarnos dentro de un cierto estándar de aproximación $k$ . ¿Podemos siempre establecer un número de términos, digamos $n$ , tal que, si tomamos $n$ o más términos para formar la suma, entonces, sea cual sea el valor que tenga $x$

¿dentro del intervalo hemos satisfecho el estándar de aproximación deseado?

A veces podemos y a veces no podemos

haga esto para cada valor de $k$ . Cuando podemos hacerlo, la serie se denomina uniformemente convergente en todo el intervalo, y cuando no podemos, la serie se denomina no uniformemente convergente en todo el intervalo. Representa una gran diferencia para las propiedades de una serie si es o no uniformemente convergente en un intervalo. Ilustremos el asunto con el ejemplo más sencillo y los números más simples.

Considere la serie geométrica $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots .$

Es convergente en todo el intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , excluyendo los valores extremos $x = \pm 1$ .

Pero no es uniformemente convergente en todo este intervalo. Pues si $s_{n} (x)$ es la suma de $n$ términos, hemos demostrado que la diferencia entre $s_{n} (x)$ y el límite $\frac{1}{1 - x}$ es $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ . Supongamos ahora que $n$ es cualquier número dado de términos, digamos $20$ , y sea $k$ cualquier estándar de aproximación asignado, digamos $.001$ . Entonces, tomando $x$ lo suficientemente cerca de $+ 1$ o lo suficientemente cerca de $- 1$ , podemos hacer que el valor numérico de $\frac{x^{21}}{1 - x}$ sea mayor que $.001$ . Por tanto, $20$ términos serán

no hacerlo en todo el intervalo, aunque es más que suficiente en algunas partes del mismo.

El mismo razonamiento puede aplicarse sea cual sea el número que tomemos en lugar de $20$ , y sea cual sea el estándar de aproximación en lugar de $.001$ . Por tanto, la serie geométrica $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots$ es no uniformemente convergente en todo su intervalo de convergencia de $- 1$ a $+ 1$ . Pero si tomamos cualquier intervalo más pequeño que se encuentre en ambos extremos dentro del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , la serie geométrica es uniformemente convergente dentro de él. Por ejemplo, tomemos el intervalo de $0$ a $+ \frac{1}{10}$ . Entonces, cualquier valor para $n$ que haga que $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ sea numéricamente menor que $k$ en estos límites para $x$ también sirve para todos los valores de $x$ entre estos límites, ya que da la casualidad de que $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ disminuye en valor numérico a medida que $x$ disminuye en valor numérico. Por ejemplo, tomemos $k = .001$ ; entonces, al poner $x = \frac{1}{10}$ , encontramos:–- {3} &\text{para $n = 1$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{2}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{90} = .0111\dots, \

&\text{para $n = 2$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{3}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{900} = .00111\dots, \

&\text{para $n = 3$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{4}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{9000} = .000111\dots.

Así, tres términos bastarán para todo el intervalo,

aunque, por supuesto, para algunas partes del intervalo es más de lo necesario. Nótese que, debido a que $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots$ es convergente (aunque no uniformemente) en todo el intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , para cada valor de $x$ en el intervalo se puede encontrar un número de términos $n$ que satisfaga un estándar de aproximación deseado; pero, a medida que tomamos $x$ más y más cerca de cualquiera de los valores extremos $+ 1$ o $- 1$ , deben emplearse valores de $n$ cada vez mayores.

Resulta curioso que esta importante distinción entre convergencia uniforme y no uniforme no se publicara hasta 1847 por Stokes—posteriormente,

Sir George Stokes—y más tarde, de forma independiente en 1850 por Seidel, un alemán

matemático.

Los puntos críticos, donde entra en juego la convergencia no uniforme, no se encuentran necesariamente en los límites del intervalo a lo largo del cual se mantiene la convergencia. Esta es una particularidad propia de la serie geométrica.

En el caso de la serie geométrica $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots$ , se puede proporcionar una expresión algebraica sencilla $\frac{1}{1 - x}$ para su límite en su intervalo de convergencia. Pero este no es siempre el caso. A menudo podemos demostrar que una serie es convergente dentro de un intervalo determinado, aunque no sepamos nada más sobre su límite excepto que es el límite de la serie.

Pero esta es una forma muy buena de definir una función; a saber, como el límite de una serie infinita convergente, y es, de hecho, la forma en que la mayoría de las funciones son, o deberían ser, definidas.

Por lo tanto, la serie más importante en la elemental

análisis es $1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots,$ donde $n!$ tiene el significado definido anteriormente en este capítulo. Se puede demostrar que esta serie es absolutamente convergente para todos los valores de $x$ y que es uniformemente convergente dentro de cualquier intervalo que queramos tomar. Por lo tanto, posee todas las propiedades matemáticas cómodas que debería tener una serie. Se le llama serie exponencial. Denotemos su suma al infinito como $\exp x$ . Así, por definición, $\exp x = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots .$ $\exp x$ se denomina función exponencial.

Es bastante fácil demostrar, con un poco de conocimiento de matemáticas elementales, que $(\exp x) \times (\exp y) = \exp (x + y) . \quad\ensuremath{(A)}$ En otras palabras, que

$(\exp x) \times (\exp y) = 1 + (x + y) + \frac{(x + y)^{2}}{2!} + \frac{(x + y)^{3}}{3!} + \dots + \frac{(x + y)^{n}}{n!} + \dots .$

Esta propiedad (A) es un ejemplo de lo que se denomina teorema de adición. Cuando cualquier

cuando se define una función [digamos $f (x)$ ], lo primero que hacemos es tratar de expresar $f (x + y)$ en términos de funciones conocidas solo de $x$ y funciones conocidas solo de $y$ . Si podemos hacerlo, el resultado se denomina teorema de adición. Los teoremas de adición desempeñan un papel importante en el análisis matemático. Así, el teorema de adición para el seno viene dado por $\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y,$ y para el coseno por $\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y .$

De hecho, las mejores formas de definir $\sin x$ y $\cos x$ no son mediante los elaborados métodos geométricos del capítulo anterior, sino como los límites, respectivamente, de las series $x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + etc. \dots,$ y $1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + etc. \dots,$ de modo que establecemos

$\sin x & = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + etc. \dots, \cos x & = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + etc. \dots .$

Estas definiciones son equivalentes a las definiciones geométricas, y puede demostrarse que ambas series son convergentes para todos los valores de $x$ , y uniformemente convergentes en cualquier intervalo. Estas series para el seno y el coseno tienen un parecido general con la serie exponencial dada anteriormente. Están, de hecho, íntimamente relacionadas con ella mediante la teoría de los números imaginarios explicada en los capítulos [chapter:VII]VII. y [chapter:VIII]VIII. 29

La gráfica de la función exponencial se muestra en la [fig.]29. Corta el eje $O Y$ en el punto $y = 1$ , como evidentemente debe hacerlo, ya que cuando $x = 0$ todos los términos de la serie, excepto el primero, son cero. La importancia de la función exponencial radica en que representa cualquier cantidad física cambiante cuya tasa de aumento en cualquier instante es un porcentaje uniforme de su valor en ese instante. Para

por ejemplo, el gráfico anterior representa el tamaño en cualquier momento de una población con una tasa de natalidad uniforme, una tasa de mortalidad uniforme y sin emigración, donde la $x$ corresponde al tiempo contado a partir de cualquier día conveniente, y la $y$ representa la población a la escala adecuada. La escala debe ser tal que $O A$ represente la población en la fecha que se toma como origen. Pero aquí nos hemos topado con la idea de "tasas de incremento", que es el tema del próximo capítulo.

Una función importante estrechamente relacionada con la

La función exponencial se obtiene al colocar $- x^{2}$ en lugar de $x$ como argumento en la función exponencial.

Obtenemos así $\exp (- x^{2})$ . La gráfica $y = \exp (- x^{2})$ se muestra en la [fig.]30. 30

La curva, que es algo así como un sombrero de tres picos, se denomina curva de error normal. Su

la función correspondiente es de vital importancia para la teoría de la estadística y nos indica, en muchos casos, el tipo de desviaciones de los resultados promedio que debemos esperar.

Otra función importante se obtiene combinando la función exponencial con el seno, de esta manera:–- $y = \exp (- c x) \times \sin \frac{2 π x}{p} .$ 31

Su gráfica se muestra en la [fig.]31. Los puntos $A$ , $B$ , $O$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ están situados a intervalos iguales de $\frac{1}{2} p$ , y debería trazarse una serie interminable de ellos hacia adelante y hacia atrás. Esta función representa la extinción de las vibraciones bajo la influencia de la fricción o de fuerzas de «amortiguamiento». De no ser por la fricción, las vibraciones serían periódicas, con un periodo $p$ ; pero la influencia de la fricción

hace que la amplitud de cada vibración sea menor que la de la precedente en un porcentaje constante de dicha amplitud. Esta combinación de la idea de «periodicidad» (que requiere

el seno o el coseno para su simbolismo) y de «porcentaje constante» (que requiere la función exponencial para su simbolismo) es la razón de la forma de esta función, a saber, su forma como producto de una función seno por una función exponencial.