BIBLIOTECA UNIVERSITARIA DE CONOCIMIENTO MODERNO INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS
Por A. N. WHITEHEAD, Sc.D., F.R.S. Londres WILLIAMS NORGATE 0.5in0.5pt HENRY HOLT Co., Nueva York Canadá: WM. BRIGGS, Toronto India: R. T. WASHBOURNE, Ltd.
BIBLIOTECA UNIVERSITARIA DE CONOCIMIENTO MODERNO
Editores:
HERBERT FISHER, M.A., F.B.A.
PROF. GILBERT MURRAY, D.Litt., LL.D., F.B.A.
PROF. J. ARTHUR THOMSON, M.A.
PROF. WILLIAM T. BREWSTER, M.A.
(UNIVERSIDAD DE COLUMBIA, EE. UU.)
NUEVA YORK
HENRY HOLT AND COMPANY
UNA INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS
POR A. N. WHITEHEAD, Sc.D., F.R.S.,
AUTOR DE "UNIVERSAL ALGEBRA", COAUTOR DE "PRINCIPIA MATHEMATICA"
NUEVA EDICIÓN REVISADA
LONDRES WILLIAMS AND NORGATE
IMPRESO POR
HALELL, WATSON AND VINEY, LD., LONDRES Y AYLESBURY.
La naturaleza abstracta de las matemáticas
IIVariables15
III Métodos de aplicación 25
IVDinámicas42
El simbolismo de las matemáticas58
VI Generalizaciones del Número 71
VIIINúmeros imaginarios87
VIIINúmeros imaginarios (continuación)101
IXGeometría analítica112
XSecciones cónicas128
XIFunciones145
XIIPeriodicidad en la naturaleza164
XIIITrigonometría173
XIVSerie19
XVEl cálculo diferencial217
XVIGeometría236
XVIICantidad245
Notas250
Bibliografía251
Índice253
[Naturaleza de las matemáticas]I La naturaleza abstracta de las matemáticas
El estudio de las matemáticas suele comenzar con una decepción. Las aplicaciones importantes de esta ciencia, el interés teórico de sus ideas y el rigor lógico de sus métodos generan la expectativa de una pronta introducción a procesos interesantes. Se nos dice que, con su ayuda, se pesan las estrellas y se cuentan los miles de millones de moléculas en una gota de agua. Sin embargo, al igual que el fantasma del padre de Hamlet, esta gran ciencia elude los esfuerzos de nuestras armas mentales por capturarla —«está aquí, está allí, se ha ido»— y lo que sí vemos no sugiere la misma excusa de elusividad que bastó para el fantasma, a saber, que es demasiado noble para nuestros métodos burdos. «Un acto de violencia», si es que alguna vez es excusable, seguramente puede «ofrecerse» a los resultados triviales que ocupan el
páginas de algunos tratados matemáticos elementales.
La razón de que esta ciencia no esté a la altura de su reputación es que sus ideas fundamentales no se explican al estudiante desvinculadas del procedimiento técnico que se ha inventado para facilitar su presentación exacta en casos particulares. En consecuencia, el desafortunado aprendiz se encuentra luchando por adquirir el conocimiento de una masa de detalles que no están iluminados por ninguna concepción general. Sin duda, la destreza técnica es un requisito primordial para una actividad mental valiosa: no lograremos apreciar el ritmo de Milton, ni la pasión de Shelley, mientras necesitemos deletrear las palabras y no estemos del todo seguros de las formas de las letras individuales. En este sentido, no hay camino real hacia el aprendizaje. Pero es igualmente un error limitar la atención a los procesos técnicos, excluyendo la consideración de las ideas generales. Aquí reside el camino hacia la pedantería.
El objeto de los siguientes capítulos no es enseñar matemáticas, sino permitir a los estudiantes, desde el comienzo mismo de su curso, saber de qué trata esta ciencia y por qué es necesariamente el fundamento del pensamiento exacto aplicado a los fenómenos naturales. Toda alusión en lo que sigue a deducciones detalladas en cualquier parte de la ciencia será insertada
meramente con fines ilustrativos, y se pondrá cuidado en hacer comprensible el argumento general, incluso si aquí y allá se cita algún proceso técnico o símbolo que el lector no comprenda con el propósito de ilustrar.
La primera toma de contacto que la mayoría de la gente
tenemos con las matemáticas es a través de la aritmética. Que dos y dos son cuatro suele tomarse como el tipo de proposición matemática simple de la que todo el mundo habrá oído hablar. La aritmética, por lo tanto, será un buen tema a considerar para descubrir, si es posible, la característica más evidente de esta ciencia. Ahora bien, el primer hecho notable sobre la aritmética es que se aplica a todo: a los sabores y a los sonidos, a las manzanas y a los ángeles, a las ideas de la mente y a los huesos del cuerpo. La naturaleza de las cosas es perfectamente indiferente; de todas las cosas es cierto que dos y dos son cuatro. Así, anotamos como característica principal de las matemáticas que trata con propiedades e ideas que son aplicables a las cosas simplemente por el hecho de ser cosas, y al margen de cualquier sentimiento, emoción o sensación particular que esté de algún modo relacionada con ellas. Esto es lo que significa llamar a las matemáticas una ciencia abstracta.
El resultado al que hemos llegado merece atención. Es natural pensar que un
La ciencia abstracta no puede tener mucha importancia en los asuntos de la vida humana, porque ha omitido de su consideración todo lo que tiene un interés real. Se recordará que Swift, en su descripción del viaje de Gulliver,
viaje a Laputa, tiene opiniones divididas al respecto
punto. Describe a los matemáticos de ese país como soñadores tontos e inútiles, cuya atención debe ser despertada por flappers. Asimismo, el sastre matemático mide su estatura con un cuadrante y deduce sus otras dimensiones mediante una regla y compases, produciendo un traje que le queda muy mal. Por otra parte, los matemáticos de Laputa, gracias a su maravillosa invención de la isla magnética que flota en el aire, gobernaban el país y mantenían su ascendencia sobre sus súbditos. Swift, en efecto, vivió en una época particularmente inadecuada para las burlas a los matemáticos contemporáneos. Los Principia de Newton
acababa de escribirse, una de las grandes fuerzas que han transformado el mundo moderno. Swift bien podría haberse reído de un terremoto.
Pero una mera lista de los logros de las matemáticas es una forma insatisfactoria de llegar a una idea de su importancia. Vale la pena dedicar un poco de reflexión a llegar a la razón fundamental por la que las matemáticas, debido a su propia abstracción, deben seguir siendo siempre uno de los temas más importantes
para la reflexión. Intentemos aclarar por qué las explicaciones sobre el orden de los acontecimientos tienden necesariamente a volverse matemáticas.
Consideremos cómo todos los acontecimientos están interconectados. Cuando vemos el relámpago, escuchamos el trueno; cuando oímos el viento, buscamos las olas en el mar; en el frío otoño, las hojas caen. En todas partes reina el orden, de modo que, una vez observadas ciertas circunstancias, podemos prever que otras también estarán presentes. El progreso de la ciencia consiste en observar estas interconexiones y en mostrar, con paciente ingenio, que los sucesos de este mundo en constante cambio no son más que ejemplos de unas pocas conexiones o relaciones generales llamadas leyes. Ver lo general en lo particular y lo permanente en lo transitorio es el objetivo del pensamiento científico. A los ojos de la ciencia, la caída de una manzana, el movimiento de un planeta alrededor de un sol y la adhesión de la atmósfera a la tierra se consideran ejemplos de la ley de la gravedad. Esta posibilidad de desentrañar las circunstancias más complejas y efímeras en diversos ejemplos de leyes permanentes es la idea rectora del pensamiento moderno.
Ahora pensemos en el tipo de leyes que queremos para hacer realidad por completo este ideal científico. Nuestro conocimiento de los hechos particulares del mundo que nos rodea se obtiene
de nuestras sensaciones. Vemos, oímos, saboreamos, olemos, sentimos calor y frío, empujamos, frotamos, nos duele y sentimos hormigueo. Estas son solo nuestras sensaciones personales: mi dolor de muelas no puede ser tu dolor de muelas, y mi visión no puede ser tu visión. Pero atribuimos el origen de estas sensaciones a las relaciones entre las cosas que forman el mundo externo. Así, el dentista no extrae el dolor de muelas, sino el diente. Y no solo eso, también nos esforzamos por imaginar el mundo como un conjunto conectado de cosas que subyace a todas las percepciones de todas las personas. No hay un mundo de cosas para mis sensaciones y otro para las tuyas, sino un mundo en el que ambos existimos. Es el mismo diente tanto para el dentista como para el paciente. Además, oímos y tocamos el mismo mundo que vemos.
Es fácil, por tanto, comprender que queremos describir las conexiones entre estas cosas externas de algún modo que no dependa de ninguna sensación en particular, ni siquiera de todas las sensaciones de una persona determinada. Las leyes que cumple el curso de los acontecimientos en el mundo de las cosas externas deben describirse, si es posible, de una manera universal y neutral, la misma para los ciegos que para los sordos, y la misma para seres con facultades más allá de nuestro alcance que para los seres humanos normales.
Pero cuando hemos dejado de lado nuestras inmediatas
sensaciones, la parte más útil —por su claridad, definición y universalidad— de lo que queda, se compone de nuestras ideas generales sobre las propiedades formales abstractas de las cosas; de hecho, las ideas matemáticas abstractas mencionadas anteriormente. Así sucede que, paso a paso, y sin darse cuenta del significado pleno del proceso, la humanidad ha sido conducida a buscar una descripción matemática de las propiedades del universo, porque solo de esta manera puede formarse una idea general del curso de los acontecimientos, libre de referencias a personas particulares o a tipos particulares de sensación. Por ejemplo, podría preguntarse durante la cena: "¿Qué es lo que subyace a mi sensación de la vista, a la tuya del tacto y a la suya del gusto y el olfato?", siendo la respuesta "una manzana". Pero, en su análisis final, la ciencia busca describir una manzana en términos de las posiciones y movimientos de las moléculas, una descripción que nos ignora a mí, a ti y a él, y que también ignora la vista, el tacto, el gusto y el olfato. Por lo tanto, las ideas matemáticas, debido a que son abstractas, proporcionan precisamente lo que se necesita para una descripción científica del curso de los acontecimientos.
Este punto ha sido habitualmente malinterpretado,
de ser concebido de una manera demasiado estrecha. Pitágoras vislumbró algo de esto cuando proclamó que el número era el origen de todas las cosas. En los tiempos modernos, la creencia de que el
la explicación definitiva de todas las cosas se encontraba en la mecánica newtoniana fue un esbozo de la verdad de que toda ciencia, a medida que avanza hacia la perfección, se vuelve matemática
en sus ideas.