Variables

Las matemáticas como ciencia comenzaron cuando alguien, probablemente un griego, demostró proposiciones sobre cualquier cosa o sobre algunas cosas, sin especificar objetos particulares definidos. Estas proposiciones fueron enunciadas por primera vez por los griegos para la geometría; y, en consecuencia, la geometría fue la gran ciencia matemática griega. Tras el auge de la geometría, pasaron siglos antes de que el álgebra tuviera un comienzo realmente efectivo, a pesar de algunas leves anticipaciones por parte de los matemáticos griegos posteriores.

Las ideas de cualquiera y de alguno se introducen en el álgebra mediante el uso de letras, en lugar de los números definidos de la aritmética. Así, en vez de decir que $2 + 3 = 3 + 2$ , en álgebra generalizamos y decimos que, si $x$ e $y$ representan dos números cualesquiera, entonces $x + y = y + x$ . De nuevo, en lugar de decir que $3 > 2$ , generalizamos y decimos que si $x$ es un número cualquiera, existe algún número (o números) $y$ tal que $y > x$ . Podemos señalar de paso que esta última suposición —pues cuando se formula en su forma última y estricta es una suposición— es

de vital importancia, tanto para la filosofía como para las matemáticas; pues mediante ella se introduce la noción de infinito. Quizás fue necesaria la introducción de los números arábigos, con los cuales el uso de letras para representar números definidos ha sido completamente descartado en las matemáticas, para sugerir a los matemáticos la conveniencia técnica del uso de letras para las ideas de cualquier número y algún número. Los romanos habrían expresado el número del año en que esto está escrito en la forma MDCCCCX., mientras que nosotros escribimos 1910, dejando así las letras para el otro uso. Pero esto es meramente una especulación. Tras el surgimiento del álgebra, el cálculo diferencial fue inventado por Newton y

Leibniz, y luego una pausa en el progreso

de la filosofía del pensamiento matemático se produjo en lo que respecta a estas nociones; y no fue hasta hace pocos años que se comprendió cuán fundamentales son cualquiera y alguno para la naturaleza misma de las matemáticas, con el resultado de abrir aún más temas para la exploración matemática.

Hagamos ahora algunos enunciados algebraicos sencillos, con el objetivo de comprender exactamente cómo surgen estas ideas fundamentales.

(1) Para cualquier número $x$ , $x + 2 = 2 + x$ ;

(2) Para algún número $x$ , $x + 2 = 3$ ;

(3) Para algún número $x$ , $x + 2 > 3$ .

El primer punto que hay que notar son las posibilidades contenidas en el significado de alguno, tal como se utiliza aquí. Dado que $x + 2 = 2 + x$ para cualquier número $x$ , es cierto para algún número $x$ . Por tanto, tal como se utiliza aquí, cualquiera implica alguno y alguno no excluye a cualquiera. De nuevo, en el segundo ejemplo, existe, de hecho, solo un número $x$ tal que $x + 2 = 3$ , a saber, solo el número $1$ . Por tanto, el alguno puede ser un solo número. Pero en el tercer ejemplo, cualquier número $x$ que sea mayor que $1$ da como resultado $x + 2 > 3$ . De ahí que haya un número infinito de números que responden al algún número en este caso. Por tanto, alguno puede ser cualquier cosa entre cualquiera y uno solo, incluyendo ambos casos límite.

Es natural sustituir las afirmaciones (2) y (3) por las preguntas:

(2') ¿Para qué número $x$ se cumple que $x + 2 = 3$ ;

(3') ¿Para qué números $x$ se cumple que $x + 2 > 3$ ?

Considerando (2'), $x + 2 = 3$ es una ecuación, y

es fácil ver que su solución es $x = 3 - 2 = 1$ . Cuando hemos planteado la pregunta implícita en el enunciado de la ecuación $x + 2 = 3$ , a $x$ se le llama la incógnita. El objetivo de la resolución de la ecuación es la determinación de la incógnita. Las ecuaciones son de gran importancia en las matemáticas, y parece como

aunque (2') ejemplificaba una idea mucho más exhaustiva y fundamental que la declaración original (2). Esto, sin embargo, es un error completo. La idea de lo indeterminado

La «variable», tal como aparece en el uso de «alguno» o «cualquiera», es la realmente importante en matemáticas; la de la «incógnita» en una ecuación, que debe resolverse lo más rápido posible, es solo de uso subordinado, aunque, por supuesto, es muy importante. Una de las causas de la aparente trivialidad de gran parte del álgebra elemental es la preocupación de los libros de texto por la resolución de ecuaciones. La misma observación se aplica a la resolución de la desigualdad (3') en comparación con el enunciado original (3).

Pero la mayoría de las fórmulas interesantes,

especialmente cuando la idea de algunos está presente, involucran más de una variable. Por ejemplo, la consideración de los pares de números $x$ e $y$ (fraccionarios o enteros) que satisfacen $x + y = 1$ involucra la idea de dos variables correlacionadas, $x$ e $y$ . Cuando hay dos variables presentes, ocurren los mismos dos tipos principales de enunciados. Por ejemplo, (1) para cualquier par de números, $x$ e $y$ , $x + y = y + x$ , y (2) para algunos pares de números, $x$ e $y$ , $x + y = 1$ .

El segundo tipo de enunciado invita a considerar el conjunto de pares de números que están vinculados por alguna relación fija; en el caso dado, por la relación $x + y = 1$ . Un uso de las fórmulas del primer tipo, verdaderas para cualquier par de números, es que mediante ellas las fórmulas del segundo tipo pueden ser

lanzada a un número indefinido de formas equivalentes. Por ejemplo, la relación $x + y = 1$ es equivalente a las relaciones $y + x = 1, (x - y) + 2 y = 1, 6 x + 6 y = 6,$ y así sucesivamente. De este modo, un matemático hábil utiliza aquella forma equivalente de la relación considerada que resulta más conveniente para su propósito inmediato.

No es cierto en general que, cuando un par de términos satisface una relación fija, si se da uno de los términos, el otro también quede determinado de forma definitiva. Por ejemplo, cuando $x$ e $y$ satisfacen $y^{2} = x$ , si $x = 4$ , $y$ puede ser $\pm 2$ , por lo tanto, para cualquier valor positivo de $x$ existen valores alternativos para $y$ . Asimismo, en la relación $x + y > 1$ , cuando se da $x$ o $y$ , queda un número indefinido de valores posibles para el otro.

Existe además otro punto importante que debe señalarse. Si nos limitamos a los números positivos, enteros o fraccionarios, al considerar la relación $x + y = 1$ , entonces, si tanto $x$ como $y$ son mayores que $1$ , no existe ningún número positivo que el otro pueda adoptar para satisfacer la relación. Por lo tanto, el «campo» de la relación para $x$ está restringido a números menores que $1$ , y de manera similar para el «campo» abierto a $y$ . Consideremos ahora solo los números enteros, positivos o negativos, y tomemos la relación

$y^{2} = x$ , satisfecho por pares de tales números. Entonces, cualquier valor entero que se le asigne a $y$ , $x$ puede asumir un valor entero correspondiente. Por lo tanto, el «campo» para $y$ es ilimitado entre estos números enteros positivos o negativos. Pero el «campo» para $x$ está restringido de dos maneras. En primer lugar, $x$ debe ser positivo y, en segundo lugar, dado que $y$ debe ser entero, $x$ debe ser un cuadrado perfecto. En consecuencia, el «campo» de $x$ está restringido al conjunto de los números enteros $1^{2}$ , $2^{2}$ , $3^{2}$ , $4^{2}$ , etcétera, es decir, a $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , etcétera.

El estudio de las propiedades generales de una relación entre pares de números se ve facilitado en gran medida por el uso de un diagrama construido de la siguiente manera: 1

Trácense dos rectas $O X$ y $O Y$ en ángulo recto; sea cualquier número $x$ representado por $x$ unidades

(en cualquier escala) de longitud a lo largo de $O X$ , cualquier número $y$ por $y$ unidades (en cualquier escala) de longitud a lo largo de $O Y$ . Así, si $O M$ , a lo largo de $O X$ , tiene $x$ unidades de longitud, y $O N$ , a lo largo de $O Y$ , tiene $y$ unidades de longitud, al completar el paralelogramo $O M P N$ encontramos un punto $P$ que corresponde al par de números $x$ e $y$ . A cada punto le corresponde un par de números, y a cada par de números le corresponde un punto. El par de números se denomina coordenadas del punto. Entonces, los puntos cuyas coordenadas satisfacen una relación fija pueden indicarse de una manera conveniente, trazando una línea, si todos ellos yacen sobre una línea, o sombreando un área si todos ellos son puntos en el área. Si la relación puede representarse mediante una ecuación tal como $x + y = 1$ , o $y^{2} = x$ , entonces los puntos yacen sobre una línea, que es recta en el primer caso y curva en el segundo. Por ejemplo, considerando solo números positivos, los puntos cuyas coordenadas satisfacen $x + y = 1$ yacen sobre la línea recta $A B$ en 1, donde $0 A = 1$ y $O B = 1$ . Así, este segmento de la línea recta $A B$ ofrece una representación pictórica de las propiedades de la relación bajo la restricción a números positivos.

Otro ejemplo de una relación entre dos variables se obtiene al considerar las variaciones en la presión y el volumen de una masa dada de alguna sustancia gaseosa, como el aire.

o gas de hulla o vapor, a una temperatura constante. Sea $v$ el número de pies cúbicos de su volumen y $p$ su presión en libras de peso por pulgada cuadrada. Entonces, la ley, conocida como ley de Boyle, que expresa la relación entre $p$ y $v$ a medida que ambas varían, es que el producto $p v$ es constante, suponiendo siempre que la temperatura no se altera. Supongamos, por ejemplo, que la cantidad de gas y sus otras circunstancias son tales que podemos establecer $p v = 1$ (el número exacto en el lado derecho de la ecuación no supone una diferencia esencial). 2

Luego, en 2, tomamos dos líneas, $O V$ y $O P$ , en ángulo recto y trazamos $O M$ a lo largo de $O V$ para representar $v$ unidades de volumen, y $O N$ a lo largo de $O P$

para representar $p$ unidades de presión. Entonces, el punto $Q$ , que se encuentra completando el paralelogramo $O M Q N$ , representa el estado del gas cuando su volumen es $v$ pies cúbicos y su presión es $p$ libras de peso por pulgada cuadrada. Si las circunstancias de la porción de gas considerada son tales que $p v = 1$ , entonces todos estos puntos $Q$ que corresponden a cualquier estado posible de esta porción de gas deben yacer sobre la línea curva $A B C$ , la cual incluye todos los puntos para los cuales $p$ y $v$ son positivos, y $p v = 1$ . Así, esta línea curva ofrece una representación pictórica de la relación que existe entre el volumen y la presión. Cuando la presión es muy grande, el punto $Q$ correspondiente debe estar cerca de $C$ , o incluso más allá de $C$ en la parte no dibujada de la curva; entonces el volumen será muy pequeño. Cuando el volumen es grande, $Q$ estará cerca de $A$ , o más allá de $A$ ; y entonces la presión será pequeña. Observe que un ingeniero o un físico puede querer conocer la presión particular correspondiente a un volumen definido asignado. Entonces tenemos el caso de determinar la incógnita $p$ cuando

$v$ es un número conocido. Pero esto es solo en casos particulares. Al considerar de forma general las propiedades del gas y cómo se comportará, él debe tener en mente la forma general de toda la curva $A B C$ y sus propiedades generales. En otras palabras, la idea realmente fundamental es la del par de variables

que satisface la relación $p v = 1$ . Este ejemplo ilustra cómo la idea de variables es fundamental,

tanto en las aplicaciones como en la teoría de las matemáticas.