Geometría
La geometría, al igual que el resto de las matemáticas, es
abstracto. En él se estudian las propiedades de las formas y las posiciones relativas de las cosas. Pero no necesitamos considerar quién está observando las cosas, ni si las conoce a través de la vista, el tacto o el oído. En resumen, ignoramos todas las sensaciones particulares. Además, se ignoran las cosas particulares, como las Casas del Parlamento o el globo terráqueo. Cada proposición se refiere a cualesquiera cosas con tales o cuales propiedades geométricas. Por supuesto, ayuda a nuestra imaginación observar ejemplos particulares de esferas, conos, triángulos y cuadrados. Pero las proposiciones no se aplican meramente a las figuras reales impresas en el libro, sino a cualesquiera figuras de ese tipo.
Así, la geometría, al igual que el álgebra, está dominada por las ideas de cosas «cualesquiera» y «algunas» cosas. Además, del mismo modo, estudia las interrelaciones de conjuntos de cosas. Por ejemplo, consideremos dos triángulos cualesquiera y .
¿Qué relaciones deben existir entre algunos de
las partes de estos triángulos, ¿a fin de que los triángulos sean en todos los aspectos iguales? Esta es una de las primeras investigaciones emprendidas en todas las geometrías elementales. Es un estudio 33 de un cierto conjunto de posibles correlaciones entre los dos triángulos. La respuesta es que los triángulos son en todos los aspectos iguales, si:–- O bien, (a) Dos lados del uno y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados del otro y el ángulo comprendido:
O, (b) dos ángulos de uno y el lado que los une son respectivamente iguales a dos ángulos del otro y al lado que los une:
O, (c) tres lados del uno son respectivamente iguales a tres lados del otro.
Esta respuesta sugiere de inmediato una indagación adicional. ¿Cuál es la naturaleza de la correlación entre los triángulos cuando los tres ángulos de uno son respectivamente iguales a los tres ángulos del otro? Esta investigación ulterior nos conduce a toda la teoría de la semejanza.
(cf. XIII.), que es otro tipo de correlación.
De nuevo, para tomar otro ejemplo, consideremos la estructura interna del triángulo . Sus lados y ángulos están interrelacionados: el ángulo mayor es opuesto al lado mayor, y los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si pasamos a la trigonometría, esta correlación recibe una determinación más exacta en la forma familiar , con dos fórmulas similares.
Existe también la correlación aún más sencilla entre los ángulos del triángulo, a saber, que su suma es igual a dos ángulos rectos; y entre los tres lados, a saber, que la suma de las longitudes de cualesquiera dos de ellos es mayor que la longitud del tercero.
Así pues, el verdadero método para estudiar geometría consiste en pensar en figuras simples e interesantes, tales como el triángulo, el paralelogramo y el círculo, e investigar las correlaciones entre sus diversas partes. El geómetra no tiene en mente una proposición aislada, sino una figura con sus diversas partes mutuamente interdependientes. Al igual que en el álgebra, generaliza el triángulo en el polígono, y el lado en
la sección cónica. O, siguiendo una ruta inversa, clasifica los triángulos según sean equiláteros, isósceles o escalenos, y los polígonos según su número de lados, y las secciones cónicas según sean hipérbolas, elipses o parábolas.
Los ejemplos precedentes ilustran cómo las ideas fundamentales de la geometría son exactamente las mismas que las del álgebra; excepto que el álgebra trata con números y la geometría con líneas, ángulos, áreas y otras entidades geométricas. Esta identidad fundamental es una de las razones por las que tantas verdades geométricas pueden vestirse con un ropaje algebraico. Así, si , y son los números de grados respectivos en los ángulos del triángulo , la correlación entre los ángulos está representada por la ecuación y si , , son los números de pies respectivos en los tres lados, la correlación entre los lados está representada por , , . Asimismo, las fórmulas trigonométricas citadas anteriormente son otros ejemplos de lo mismo.
hecho. Por tanto, la noción de variable y la correlación de variables es tan esencial en la geometría como lo es en el álgebra.
Pero el paralelismo entre la geometría y el álgebra puede llevarse aún más lejos, debido al hecho de que las longitudes, áreas, volúmenes y
los ángulos son todos medibles; de modo que, por ejemplo, el tamaño de cualquier longitud puede determinarse por el número (no necesariamente entero) de veces que contiene alguna unidad conocida arbitrariamente, y de manera similar para áreas, volúmenes y ángulos. Las fórmulas trigonométricas, dadas anteriormente, son ejemplos de este hecho. Pero recibe su aplicación culminante en la geometría analítica. A esta gran materia a menudo se la denomina erróneamente secciones cónicas analíticas, por lo cual
fijando la atención meramente en una de sus subdivisiones. Es como si la gran ciencia de la Antropología se llamara el Estudio de las Narices, debido al hecho de que las narices son una parte prominente del cuerpo humano.
Aunque los procedimientos matemáticos en la geometría y el álgebra son en esencia idénticos y están entrelazados en su desarrollo, existe necesariamente una distinción fundamental entre las propiedades del espacio y las propiedades del número; de hecho, toda la diferencia esencial entre el espacio y el número. La «espacialidad» del espacio y la «numerosidad» del número son cosas esencialmente diferentes, y deben ser aprehendidas directamente. Ninguna de las aplicaciones del álgebra a la geometría o de la geometría al álgebra da paso alguno en el camino de borrar esta distinción vital.
Una diferencia muy marcada entre el espacio y el número es que el primero parece ser mucho menos abstracto y fundamental que el
este último. El número de los arcángeles puede contarse precisamente porque son cosas. Una vez que sabemos que sus nombres son Rafael, Gabriel y Miguel, y que estos nombres distintos representan seres distintos, sabemos sin más cuestionamiento que hay tres de ellos. Todas las sutilezas del mundo sobre la naturaleza de las existencias angélicas no pueden alterar este hecho, aceptando las premisas.
Pero seguimos estando bastante a oscuras en cuanto a su relación con el espacio. ¿Acaso existen siquiera en el espacio? Quizá sea igualmente un sinsentido decir que están aquí, o allá, o en cualquier parte, o en todas partes. Puede que su existencia simplemente no tenga relación alguna con localizaciones en el espacio. En consecuencia, mientras que los números deben aplicarse a todas las cosas, no es necesario que el espacio lo haga.
La percepción de la localidad de las cosas parecería acompañar, o estar involucrada en muchas, o en todas, nuestras sensaciones. Es independiente de cualquier sensación particular en el sentido de que acompaña a muchas sensaciones. Pero es una peculiaridad especial de las cosas que aprehendemos mediante nuestras sensaciones. La aprehensión directa de lo que entendemos por las posiciones de las cosas con respecto a las otras es una cosa sui generis, tal como lo son las aprehensiones de los sonidos, colores, sabores y olores. A primera vista, por lo tanto, parecería que las matemáticas, en la medida en que incluyen a la geometría en su alcance, no son abstractas en el sentido en
qué abstracción se le atribuye en I.
Esto, sin embargo, es un error; siendo la verdad
que la «espacialidad» del espacio no entra en absoluto en nuestro razonamiento geométrico. Entra en las intuiciones geométricas de los matemáticos de formas personales y peculiares para cada individuo. Pero lo que entra en el razonamiento son meramente ciertas propiedades de las cosas en el espacio, o de las cosas que forman el espacio, propiedades que son completamente abstractas en el sentido en que se definió «abstracto» en I.; estas propiedades no implican ninguna aprehensión, intuición o sensación espacial peculiar. Se basan exactamente en la misma base que las propiedades matemáticas de los números. Por tanto, la intuición espacial, que es una ayuda tan esencial para el estudio de la geometría, es lógicamente irrelevante: no entra en las premisas cuando estas se enuncian correctamente, ni en ningún paso del razonamiento. Tiene la importancia práctica de un ejemplo, que es esencial para la estimulación de nuestros pensamientos. Los ejemplos son igualmente necesarios para estimular nuestros pensamientos sobre los números. Cuando pensamos en «dos» y «tres», vemos trazos en una fila, o bolas en un montón, o alguna otra agregación física de cosas particulares. La peculiaridad de la geometría es la fijeza y la importancia abrumadora del único ejemplo particular que se nos presenta a nuestra
mentes. La forma lógica abstracta de las proposiciones, cuando se enuncia por completo, es: «Si cualquier colección de cosas posee tales o cuales propiedades abstractas, también posee tales o cuales otras propiedades abstractas». Pero lo que aparece ante el ojo de la mente es una colección de puntos, líneas, superficies y volúmenes en el espacio: este ejemplo aparece inevitablemente y es el único que confiere interés a la proposición. Sin embargo, a pesar de toda su abrumadora importancia, no deja de ser un ejemplo.
La geometría, considerada como una ciencia matemática, es una división de la ciencia más general del orden. Puede llamarse la ciencia del orden dimensional; el calificativo «dimensional» se ha introducido porque las limitaciones, que la reducen a solo una parte de la ciencia general del orden, son tales que producen las relaciones regulares de las líneas rectas con los planos, y de los planos con la totalidad del espacio.
Es fácil comprender la importancia práctica del espacio en la formación de la concepción científica de un mundo físico externo. Por una parte, nuestras percepciones espaciales están entrelazadas en nuestras diversas sensaciones y las conectan entre sí. Normalmente juzgamos que tocamos un objeto en el mismo lugar en que lo vemos; e incluso en casos anormales lo tocamos en el mismo espacio en que lo vemos, y este es el hecho fundamental real que vincula nuestras diversas sensaciones. En consecuencia,
Las percepciones del espacio son, en cierto sentido, la parte común de nuestras sensaciones. Ocurre, además, que las propiedades abstractas del espacio constituyen una gran parte de todo aquello que resulta de interés espacial. No es exagerado decir que a cada propiedad del espacio le corresponde un enunciado matemático abstracto. Por tomar el caso más desfavorable, una curva puede tener una belleza de forma especial: pero a esta forma le corresponderán ciertas propiedades matemáticas abstractas que van unidas a esta forma y a ninguna otra.
Así pues, en resumen: (1) las propiedades del espacio que se investigan en la geometría, al igual que las de los números, son propiedades que pertenecen a las cosas en tanto que cosas, y sin referencia especial a ningún modo particular de aprehensión: (2) la percepción espacial acompaña a nuestras sensaciones, quizás a todas ellas, ciertamente a muchas; pero no parece ser una cualidad necesaria de las cosas que todas deban existir en un mismo espacio o en espacio alguno.