関数

数学における「関数」という用語の用法

日常生活においても採用されている。例えば、「彼の機嫌は消化機能の関数である（His temper is a function of his digestion）」という表現は、まさにこの数学的な意味でその用語を使っている。これは、彼の消化状態がわかれば、彼の機嫌がどうなるかを教えてくれる規則を割り当てられる、という意味である。したがって、「関数」という考え方は十分に単純なものであり、それが数学において変数に対してどのように適用されるかを確認するだけでよい。まずは具体的な例をいくつか考えてみよう。もし列車が時速20マイルで走行している場合、任意の時間（ $t$ 時間とする）の後に進んだ距離（ $s$ マイル）は、 $s = 20 \times t$ によって与えられる。このとき、 $s$ は $t$ の関数と呼ばれる。また、 $20 \times t$ は、 $s$ と同一である $t$ の関数である。もしジョンがトーマスより1歳年上であるならば、トーマスの年齢を $x$ 歳とすると、ジョンの年齢（ $y$ 歳）は $y = x + 1$ によって与えられる。このとき、 $y$ は $x$ の関数、すなわち、 $x + 1$ という関数である。

これらの例において、 $t$ と $x$ は次のように呼ばれる。

それらが出現する関数の「引数（arguments）」である。したがって、 $t$ は関数 $20 \times t$ の引数であり、 $x$ は関数 $x + 1$ の引数である。もし $s = 20 \times t$ であり、 $y = x + 1$ であるならば、 $s$ と $y$ はそれぞれ関数 $20 \times t$ と $x + 1$ の「値（values）」と呼ばれる。

次に一般的な場合について述べると、数学における関数とは、それぞれ「引数（アーギュメント）」および「関数の値」と呼ばれる二つの変数間の相関関係として定義できる。すなわち、「関数の引数」にどのような値が割り当てられようとも、「関数の値」は明確に（つまり一意に）決定されるというものである。その逆、すなわち関数の値が決定されたときに引数も一意に決定されるとは限らない。引数 $x$ に関する他の関数としては、 $y = x^{2}$ が挙げられる。

$y = 2 x^{2} + 3 x + 1$ 、 $y = x$ 、 $y = \log x$ 、 $y = \sin x$ 。このグループの最後の2つの関数は、代数学と三角法を少しでも理解している人ならすぐにそれと分かるだろう。これらは単に例として挙げたに過ぎないので、ここで時間を割いて説明する価値はない。

ここまでのところ、私たちは関数とは何かということを一般的に定義してきましたが、いくつかの特別な関数について言及してきたに過ぎません。しかし数学は、その一般的な手続きの方法に忠実であり、あらゆる関数という一般的な概念を記号化します。それは次のように書くことによって行われます。

$F (x)$ 、 $f (x)$ 、 $g (x)$ 、 $ϕ (x)$ など、任意の $x$ の関数において、引数 $x$ を括弧に入れ、 $F$ 、 $f$ 、 $g$ 、 $ϕ$ といった文字を括弧の前に置くことでその関数を表すという表記法がある。この表記には欠点がある。すなわち、単一の文字は変数（数）を表すという慣習と明らかに衝突するからである。なぜなら、ここでは括弧の前に置かれた $F$ 、 $f$ 、 $g$ 、 $ϕ$ などが変数（関数）を表しているからである。何が意図されているのかを常識と文脈に頼るしかないような例を挙げることは容易である。この混乱を避ける一つの方法は、関数にギリシャ文字（前述の $ϕ$ など）を用いることである。もう一つの方法は、関数を表す文字として $f$ や $F$ （function の頭文字）に固執し、他の変数関数を記号化する必要がある場合には、 $g$ のような隣接する文字を用いることである。

以上の説明と注意を踏まえ、 $y = f (x)$ と書くことで、 $y$ が引数 $x$ のある未定の関数の値であることを表すことにします。ここで $f (x)$ は、 $x + 1$ 、 $x^{2} - 2 x + 1$ 、 $\sin x$ 、 $\log x$ 、あるいは単なる $x$ 自身など、どのようなものであってもかまいません。肝要な点は、 $x$ が与えられたときに、 $y$ がそれによって明確に定まるということです。この概念の一般性について、十分に明確にしておくことが重要です。したがって $y = f (x)$ において、もし望むならば、 $f (x)$ を次のように定めることもできます。すなわち、 $x$ が整数のときは $f (x)$ は $0$ であり、 $x$ がそれ以外の値をとるときは $f (x)$ は $1$ である、という具合です。これに従い、 $y = f (x)$ と置いて、この選択を行うと

$f$ の意味について、 $x$ の値が整数かそうでないかに応じて、 $y$ は $0$ または $1$ となる。したがって、 $f (1) = 0$ 、 $f (2) = 0$ 、 $f (\frac{2}{3}) = 1$ 、 $f (\sqrt{2}) = 1$ などとなる。 $f (x)$ の意味をこのように定めることは、関数の一般的な定義に従った、引数 $x$ の極めて妥当な関数を与えるものである。

関数。結局のところ、それは一種の

二変数間の相関は、他の相関と同様にグラフによって、すなわち実質的には座標幾何学の手法によって表現される。例えば、第II章の〔図〕2は、関数 $\frac{1}{v}$ のグラフであり、ここで $v$ は引数、 $p$ はその関数の値である。この場合、グラフは $v$ の正の値に対してのみ描かれているが、これは当該章で考察される物理的応用において意味を持つ値がそれらのみであるためである。また、第IX章の〔図〕14では、両方向に無限に伸びる直線 $A B$ 全体が関数 $x + 1$ のグラフであり、ここで $x$ は引数、 $y$ はその関数の値である。同図において、無限に伸びる直線 $A_{1} B$ は関数 $1 - x$ のグラフであり、直線 $L O L^{'}$ は関数 $x$ のグラフである。ここで $x$ は引数、 $y$ はその関数の値である。

これらの関数は、単純な代数式で表現されるため、グラフによる表示に適している。しかし、ある種の関数については

この表現は、詳細な説明なしでは非常に誤解を招く恐れがあり、あるいは不可能ですらあるかもしれない。そこで、前述の関数を考えてみよう。この関数は、引数 $x$ が整数である場合、すなわち $x = 0$ 、 $x = 1$ 、 $x = 2$ 等を除いて、すべての $x$ の値に対して $1$ という値をとる。そのグラフ上の外観は、 $X O X^{'}$ 軸に平行で、そこから長さ $1$ の距離にある直線 $A B A^{'}$ となるはずである。しかし、引数 $x$ の値 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 等に対応する点 $B$ 、 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 、 $C_{4}$ 等は除外され、その代わりに $O X$ 軸上の点 $O$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 、 $B_{4}$ 等がとられることになる。グラフによる表現が不便なだけでなく、不可能であるような関数を見つけることは容易である。グラフ化に適さない関数は、

高等数学ですが、ここではこれ以上立ち入る必要はありません。

関数間の最も重要な区分

それは連続関数と不連続関数の違いである。関数とは、引数が徐々に変化するにつれてその値も徐々に変化するものを連続関数といい、値が突然の跳躍によって変化しうるものを不連続関数という。したがって、IX章の図14に直線として描かれている2つの関数 $x + 1$ と $1 - x$ は連続関数であり、 $v$ の正の値のみを考えるならば、II章に描かれている関数 $\frac{1}{v}$ もまた連続関数である。しかし、本章の図20に描かれている関数は、その引数が $x = 1$ 、 $x = 2$ 等の値をとるときに値が突然の跳躍を起こすため、不連続関数である。

連続と不連続の真の意味を頭に叩き込むために、自然界に見られる関数の例をいくつか考えてみよう。ロンドン・ノース・ウェスタン鉄道の終着駅であるロンドンのユーストン駅を出発して線路上を走る列車を考える。線路上には順にブレッチリー駅とラグビー駅がある。列車がユーストン駅を出発してからの経過時間を $t$ 時間、走行距離を $s$ マイルとする。このとき、 $s$ は $t$ の関数である。すなわち、 $s$ は変数 $t$ に対応する変数値である。

列車の運行状況が分かっていれば、 $t$ のいかなる特定の値が与えられたとしても、直ちに $s$ を知ることができる。さて、奇跡でも起こらない限り、 $s$ は $t$ の連続関数であると確信を持って想定してよい。列車をユーストンからブレッチリーまで連続的に追跡できたにもかかわらず、その直後、いかなる短い時間の間隔も置かずにラグビーに現れるといった事態を考慮に入れることは不可能である。そのような考えはあまりに空想的であり、我々の計算に含めることはできない。それは『アラビアンナイト』の世界にしか存在しない可能性を想定するものであり、その物語においてさえ、運動の完全な不連続性が想像の域に入ることはほとんどない。それらの物語でさえ、極めて異常な速度以上のことで我々の信じやすさを試そうとはしないのである。しかし、異常な速度であっても、自然界において成立していると思われる運動の連続性という偉大な法則と矛盾するものではない。例えば光は秒速約19万マイルで移動し、7、8分で太陽から我々のもとへ届く。しかし、この速度にもかかわらず、その移動距離は常に時間の連続関数となっている。

物体の速度が常に時間の連続関数であるということは、私たちにとってそれほど自明なことではない。ある時刻 $t$ における列車を考えてみよう。列車はある一定の速度、例えば時速 $v$ マイルで走行している。ここで $v$ は、列車が駅で停車しているときはゼロであり、後退しているときは負の値をとる。さて、私たちは $v$ がその

巨大で重い列車にとっての価値が突然変化するような場合を考えてみよう。列車が午前11時45分から正午まで時速40マイルで走り続け、その後、一瞬の空白もなく、突然時速50マイルで走り出すなどということは、まずあり得ない。速度の変化が漸進的な過程であることは、我々も即座に認めるところである。しかし、十分な大きさの衝撃が突然加わる場合はどうだろうか。二つの列車が衝突する場合、あるいはもっと小さな物体を例にとれば、人がサッカーボールを蹴る場合を考えてみよう。我々の感覚には、サッカーボールが突然動き出したように確かに思える。したがって、速度に関しては、列車がブレッチリーからラグビーまで瞬時に移動したという考えに対して我々の感覚が反発したのとは異なり、速度が時間の不連続関数であるという考えに対しては、我々の感覚はそれほど抵抗を感じない。実のところ、質量という概念を伴う運動法則が正しいとすれば、自然界に不連続な速度などというものは存在しない。我々の感覚に不連続な速度変化として映るものはすべて、それらの法則に従えば、あまりに速すぎて我々には知覚できない漸進的な変化の一例とみなさなければならない。しかし、自然界には不連続関数など存在しないと一般化して結論づけるのは軽率であろう。ロンドンとパリの間の海抜平均高度がロンドンからの距離の連続関数であると信じ込んで、夜間にシェイクスピアの

ドーバーの崖で天の川を眺めていたクリフは、科学的結論における慎重さの必要性について考えを改める暇さえなく、死を迎えることだろう。

不連続な関数を見つけることは、たとえ代数式のなかでも最も単純な21個のものに限定したとしても、きわめて容易である。例えば、すでに $v$ を正の値に限定した $p = \frac{1}{v}$ という形で考察した関数 $y = \frac{1}{x}$ を取り上げてみよう。しかし

ここで、 $x$ が正であれ負であれ、どのような値をとるとしてもよい。この関数のグラフを[図]21に示す。 $x$ が非常に大きな負の値から、絶対値が減少する一連の負の値を通って $0$ に至り、そこから正の値へと増加していくものと仮定する。これに従い、動点 $M$ が軸 $X O X^{'}$ 上で $x$ を表すとすれば、 $M$ は軸 $X O X^{'}$ の左端から出発し、 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 、 $M_{4}$ 等を順次通過していく。これに対応する関数上の点は $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 等である。 $x = 0$ 、すなわち原点 $O$ において不連続点が存在することは容易に見て取れる。なぜなら、原点の負（左）側における関数の値は負の無限大へと向かうが、関数は正（右）側では正の無限大として再び現れるからである。したがって、 $M_{2} M_{3}$ の長さをどれほど小さくとったとしても、 $M_{2}$ と $M_{3}$ における関数の値の間には有限の跳躍が存在する。実際、この事例には特異な点があり、 $M_{2}$ と $M_{3}$ の間の長さを小さくすればするほど、それらが原点を挟んでいる限り、その間における関数の値の跳躍はより大きくなるのである。このグラフは、本章の[図]20でも明らかなように、多くの関数において不連続性は孤立した点でのみ生じるということを示しており、したがって引数の値を制限することで、残りの値に対しては連続な関数を得ることができる。このように、

[図]21からわかるように、 $y = \frac{1}{x}$ において、正の値のみに限定し原点を除外すれば、連続関数が得られる。同様に、同じ関数であっても、負の値のみに限定し原点を除外すれば、これも連続である。また、[図]20にグラフ化された関数は、 $B$ と $C_{1}$ の間、および $C_{1}$ と $C_{2}$ の間、さらに $C_{2}$ と $C_{3}$ の間、というように、いずれの場合も端点を除外すれば連続である。しかしながら、あらゆる点で不連続となるような関数を見つけることは容易である。例えば、 $x$ が有理数であるときは $f (x) = 1$ 、 $x$ が無理数であるときは $f (x) = 2$ となるような関数 $f (x)$ を考えてみよう。この関数は、すべての点で不連続である。

最後に、上述した連続性の定義をもう少し詳しく見ていくことにしよう。我々は、関数とはその引数が徐々に変化する際にその値も徐々に変化するものを連続と呼び、値が突然の跳躍によって変化しうるものを不連続と呼ぶと述べてきた。これはまさに、かつての数学者たちを満足させ、現代の数学者たちにはもはや満足を与えない類の定義である。この定義について時間をかけて検討する価値はある。なぜなら、それに対する現代の反論を理解すれば、現代数学の精神を理解することに大きく近づくことになるからである。その

旧来の数学と現代の数学との決定的な違いは、「漸進的に」といった曖昧で半ば比喩的な用語が、現代数学の厳密な記述においてはもはや許容されないという点にある。現代数学は、数、量、変数に関する、この学問の基礎をなす少数の単純な概念のみを用いた記述、定義、論証しか認めない。二つの数の間では、一方が他方より大きいか小さいか、あるいは一方が他方の何倍であるかといった関係は成立しうるが、二つの数の間に「漸進性」という関係は存在しない。したがって、この用語は認められないのである。さて、これは一見すると、ひどく融通の利かない厳格さに思えるかもしれない。この非難に対しては、二つの答えがある。第一に、十九世紀の前半、何人かの偉大な数学者たち、とりわけアーベルが、

スウェーデン、そしてドイツのワイエルシュトラスは、その

かつての気楽な流儀で述べられた数学の大部分は、単に間違っていたのである。——マコーレー『ベーコン論』より

数学の確実性と哲学の不確実性を対比させ、修辞的な例として彼はこう述べている。「テイラーの定理に対して反論がなされたことはない。」

彼がこれほど悪い例を選ぶことはなかっただろう。というのも、この論文が発表された当時使われていた英語の数学教科書を精査することなく、

テイラーの定理がそれらすべての書物において誤って述べられ、証明されていたという仮定は、かなり確かなものと言える。したがって、現代数学の不安なまでの厳密さは、正確さを期すために不可欠である。第二に、それは研究のために不可欠である。それは思考の明晰さをもたらし、ひいては思考の大胆さと、新しい概念の組み合わせを試みる際の豊饒さをもたらす。最初の命題が曖昧でずさんなものであると、思考のあらゆる後続の段階において、適用範囲を限定し意味を説明するために、常識が介入しなければならなくなる。さて、創造的な思考において、常識は悪い主人である。常識の唯一の判断基準は、新しい概念が古い概念に似ているべきだということである。言い換えれば、常識は独創性を抑圧することによってしか機能し得ないのである。

（関数の）連続性の厳密な定義へと歩みを進めるにあたり、「数」の間に「漸進性」という関係は存在しないという言明を、より詳細に考察してみよう。ある数は別の数よりわずかに大きいだけではないのか、言い換えれば、二つの数の差は小さいのではないか、と問う人がいるかもしれない。肝心なのは、抽象的な次元においては、何らかの恣意的な応用を前提としない限り、「大きい数」や「小さい数」といったものは存在しないということである。100万マイルという距離は、恒星を研究する天文学者にとっては小さい数であるが、100万という

ポンドという金額は、年収としては多額である。繰り返すが、4分の1という割合は、慈善活動に寄付する額としては収入の大きな部分を占めるが、私的な用途のために手元に残す額としてはわずかな部分にすぎない。絶対的な意味での「大きい」や「小さい」といった概念が、数に対して抽象的に適用されることはないということを示す例は、いくらでも挙げることができる。我々は2つの数について、一方が他方より大きい、あるいは小さいと言うことはできるが、特定の状況を明示することなしに、ある一つの数が大きい、あるいは小さいと言うことはできない。したがって我々の課題は、関数の値における「小さい」変化や「漸進的な」変化について一切言及することなく、連続性を定義することである。

そのために、いくつかの概念に名前を付けることにします。これは、後に極限や微分積分学を考える際にも有用となるはずです。

引数 $x$ の値の「区間」

関数 $f (x)$ の（定義域の）ある区間とは、引数の二つの値の間に存在するすべての値のことである。例えば、 $x = 1$ と $x = 2$ の間の区間は、 $x$ がとり得る $1$ から $2$ までのすべての値、すなわち $1$ から $2$ までのすべての実数から構成される。しかし、区間の境界となる数は整数である必要はない。引数の値の区間がある数 $a$ を含むとは、 $a$ がその区間に属していることをいう。例えば、 $1$ と $2$ の間の区間は、 $\frac{3}{2}$ 、 $\frac{5}{3}$ 、 $\frac{7}{4}$ などを含んでいる。

一連の数値はある数 $a$ に近似する

標準 $k$ の範囲内において、ある数 $a$ と集合内のすべての数との数値的差が $k$ 未満である場合。ここで $k$ は「近似の標準」である。したがって、数の集合 $3, 4, 6, 8$ は、標準 $4$ の範囲内で数 $5$ に近似する。この場合、標準 $4$ は選択しうる最小のものではなく、当該集合はさらに

$5$ の範囲内にある。同様に、 $3.1$ 、 $3.141$ 、 $3.1415$ 、 $3.14159$ という数値は、基準値 $.032$ の範囲内で $3.13102$ に近似し、さらに小さい基準値 $.03103$ の範囲内でも近似する。

「間隔」と「」というこの二つの概念は

ある数値に対する近似を基準の範囲内に収めることは、それほど難しいことではありません。唯一の難点は、それが極めて些細なことに見えてしまう点です。しかし、これが次の概念である「近傍（neighbourhood）」と結びついたとき、現代数学的推論の基礎が形成されます。ある関数 $f (x)$ について、引数 $x$ の値 $a$ の近傍において何かが真であると言うとき、我々は何を意味しているのでしょうか？今まさに我々が厳密に定義しなければならないのは、この根本的な概念なのです。

関数 $f (x)$ の値が「 $a$ の近傍」においてある特性を持つとは、次のような区間が存在することをいう。すなわち、その区間は (i) 数 $a$ を端点としてではなく含んでおり、かつ (ii) すべての値が

その区間内にある $a$ 以外の引数に対する関数の値は、その特性を備えている。引数 $a$ に対する関数の値 $f (a)$ がその特性を備えているか否かは定かではない。 $a$ の近傍に関する言明からは、この点について何も決定されない。

例えば、 $x^{2}$ という特定の関数を取り上げてみよう。さて、 $2$ の近傍において、 $x^{2}$ の値は $5$ 未満である。なぜなら、我々は例えば $1$ から $2.1$ までの区間を見つけることができるからであり、この区間は (i) $2$ を端点として含まず、かつ (ii) その内部にある $x$ の値に対して $x^{2}$ が $5$ 未満となるようなものだからである。

さて、以上の考えを組み合わせれば、「 $a$ の近傍において関数 $f (x)$ が基準 $k$ の範囲内で $c$ に近似する」という言葉が何を意味するかがわかります。それは、ある区間が見つかり、その区間が (i) $a$ を端点としてではなく含み、かつ (ii) その区間内にあり $a$ とは異なるすべての $x$ について、 $f (x)$ の値と $c$ との差が $k$ 未満になる、ということを意味します。例えば、 $2$ の近傍において、関数 $\sqrt{x}$ は基準 $.0001$ の範囲内で $1.41425$ に近似します。これが成り立つのは、 $1.99996164$ の平方根が $1.4142$ であり、 $2.00024449$ の平方根が $1.4143$ だからです。したがって、 $2$ を端点としてではなく含む区間 $1.99996164$ から $2.00024449$ の範囲内にある $x$ の値に対して、関数 $\sqrt{x}$ の値はすべて $1.4142$ と $1.4143$ の間に収まり、

したがって、それらはすべて $1.41425$ との差が $.0001$ 未満である。この場合、望むならば、 $.000051$ や $.0000501$ といった、より小さな近似の基準を定めることもできる。別の例として、 $2$ の近傍において関数 $x^{2}$ が $.5$ という基準内で $4$ に近似する場合を考えてみよう。 $(1.9)^{2} = 3.61$ であり $(2.1)^{2} = 4.41$ であるから、 $2$ を端点として含まない、求めるべき区間 $1.9$ から $2.1$ が見つかったことになる。この例は、数 $a$ の近傍における関数 $f (x)$ についての言明が、 $x = a$ のときの $f (x)$ の値についての言明とは別物であるという事実を浮き彫りにしている。その言明が真となるような区間を提示することが求められるのである。したがって、 $2^{2} = 4$ であるという事実だけでは、 $2$ の近傍において関数 $x^{2}$ が $4$ に等しいと言うことは正当化されない。そのような性質を持つ区間を提示することはできないため、この言明は誤りとなる。また、 $2^{2} = 4$ であるという事実だけでは、 $2$ の近傍において関数 $x^{2}$ が $.5$ という基準内で $4$ に近似すると言うことも正当化されない。もっとも、実際にはその言明が真であることは今しがた証明されたわけであるが。

以上の概念を理解すれば、近代数学の基礎を理解したことになる。これらの概念と類似した考え方については、「級数」の章で再び触れ、さらに「微分法」の章でも改めて取り上げることにする。

一方、私たちは今、「連続関数」を定義する準備が整いました。関数 $f (x)$ は、その引数の値 $a$ において、その近傍での値が（すなわち $a$ における値に）あらゆる近似基準の範囲内で $f (a)$ に近づくとき、「連続」であるといいます。

これは、どのような基準 $k$ が選ばれようとも、 $a$ の近傍において $f (x)$ が $f (a)$ に基準 $k$ の範囲内で近似することを意味する。例えば、 $x^{2}$ はその引数 $x$ が $2$ である点において連続である。なぜなら、 $k$ をどのように選ぼうとも、常に次のような区間を見出すことができるからである。（i）その区間は $2$ を端点として含まない。（ii）その区間内にある引数に対する $x^{2}$ の値は、 $4$ （すなわち $2^{2}$ ）に基準 $k$ の範囲内で近似する。したがって、基準として $.1$ を選んだとしよう。このとき $(1.999)^{2} = 3.996001$ であり、 $(2.01)^{2} = 4.0401$ であって、これらの数はどちらも $4$ との差が $.1$ 未満である。ゆえに、 $1.999$ から $2.01$ までの区間内において、 $x^{2}$ の値は $4$ に基準 $.1$ の範囲内で近似する。同様に、試そうとする他のどのような基準に対しても、区間を作り出すことができる。

鉄道の列車を例にとってみよう。列車が信号所を通過する際、その速度は連続的である。つまり、どのような速度を想定するにせよ（例えば時速百万分の一マイル）、通過の瞬間の前後を含んだある時間間隔を見出すことができ、その間隔内のあらゆる瞬間において、列車の速度は

列車が箱を通過した速度との差は時速100万分の1マイル未満であり、時速100万分の1マイルの代わりに他のどのような速度を挙げたとしても、同じことが言える。