数学の象徴性
ここで純粋数学に立ち返り、この学問を構築する概念の体系をより詳細に考察することにする。我々が最初に取り組むのはこの学問の記号法であり、まずは最も単純で広く知られた記号、すなわち算術の記号から始める。
現時点では、我々が持っていると仮定しよう
整数に関する十分に明晰な概念。これらはアラビア数字の 、、、……、、、、……、、 等によって表される。この記数法はアラビア人を通じてヨーロッパにもたらされたが、彼ら自身は明らかにインドの源泉からこれを得たものである。最初に知られた著作――純粋数学に関する詳細な歴史的事実については、私は主に『A Short History』に負うところが多い――
数学の歴史、W・W・R・ボール著。
それについて体系的に説明されているのは、インドの数学者バースカラ（1114年生まれ）による著作である。しかし
実際の数字は紀元後7世紀まで遡ることができ、おそらく元々はチベットで発明されたものだろう。我々の現在の
しかし、表記法の歴史などというものは、目的からすれば些細な詳細にすぎない。注目すべき興味深い点は、この記数法が、優れた表記法がいかに絶大な重要性を持つかを見事に例証しているということである。優れた表記法は、脳から一切の不必要な作業を取り除くことで、脳がより高度な問題に集中できるよう解放し、実質的に人類の精神的能力を増大させる。アラビア数字が導入される以前、乗算は困難を極め、整数同士の除算でさえ、最高度の数学的才能を駆使しなければならなかった。おそらく現代世界のいかなる事象も、古代ギリシャの数学者を驚かせたことだろう。義務教育の影響下で、西ヨーロッパの人口の大部分が、どれほど大きな数であっても除算を行えるようになったと知れば、彼らにとっては全くの不可能事に思えたに違いない。その結果としてなされた、小数への表記法の拡張は、17世紀に至るまで成し遂げられなかった。私たちが今日、小数の計算を容易に行える能力を持っているのは、完璧な表記法が段階的に発見されてきたことの、ほとんど奇跡的な成果なのである。
数学は、それが用いる数多くの記号のせいで、しばしば難解で神秘的な学問だと見なされている。もちろん、これほど理解しがたいものはない。
私たちが理解できない象徴。また、部分的にしか理解しておらず、使い慣れていない象徴というものは、追いかけるのが困難なものである。それとまったく同様に、いかなる職業や専門分野の専門用語も、それらを使う訓練を受けていない者にとっては理解不能なものである。しかし、それはそれらの用語がそれ自体で難しいからではない。それどころか、それらは常に物事を容易にするために導入されてきたのである。数学においても同様で、私たちが数学的な概念に真剣に注意を払うのであれば、その象徴体系は常に計り知れないほど簡略化されたものである。それは実用的なだけでなく、非常に興味深いものでもある。なぜなら、それはその主題に関する概念の分析を提示し、それらの相互関係をほとんど絵画的に表現しているからである。もし誰かが記号の有用性を疑うのであれば、以下のいくつかの式が表している意味のすべてを、いかなる記号も使わずに完全に書き出してみるとよい。
代数学の基本法則：――注A、noteA.60を参照。
x + y = y + x, \tag{\quad\ensuremath{(1)}} \ (x + y) + z = x + (y + z), \tag \ x × y = y × x, \tag}{\quad\ensuremath{(3)}} \ (x × y) × z = x × (y × z), \tag}} \ x × (y + z) = (x × y) + (x × z). \tag*{\quad\ensuremath{(5)}
ここで、(1) と (2) はそれぞれ加法の交換法則および結合法則と呼ばれ、(3) と (4) は
は乗法に関する交換法則および結合法則であり、(5)は加法と乗法を結びつける分配法則である。例えば、記号を用いずに述べると、(1)は次のようになる。ある数に別の数を加えた結果は、最初の数に二番目の数を加えた場合と同じである。
この例が示すのは、象徴を用いることで、本来であれば脳の高次機能を用いるべき推論の過程を、目を使ってほとんど機械的に進められるようになるということである。
「自分が何をしているかについて考える習慣を養うべきだ」というのは、あらゆる手習い本や著名人が演説の際に繰り返す、極めて誤った自明の理である。事実はその正反対である。文明は、我々が考えずに行える重要な動作の数を増やすことによって進歩する。思考という動作は、戦場における騎兵突撃のようなものだ。つまり、その回数は厳格に制限されており、新鮮な馬を必要とし、決定的な瞬間にのみ行われなければならないのである。
記号法が備えるべき極めて重要な特性の一つは、一目で見て取れ、かつ素早く書けるよう、簡潔であることである。さて、記号を並置する以上に簡潔に配置する方法はない。したがって、優れた記号法においては、重要な記号の並置は
記号には重要な意味が込められているべきである。これこそアラビア数字の表記法が持つ長所の一つである。すなわち、、、、、、、、、、 という10個の記号を用い、それらを単純に並べるだけで、あらゆる数を表現できるのである。また代数学においても、二つの変数 と があるとき、それらを並べた が何を意味するのかを選択しなければならない。さて、ここで最も重要な二つの概念は加法と乗法である。数学者たちは、 を の意味であると定義することで、記法をより簡潔にすることを選んだ。したがって、前述の法則 (3)、(4)、(5) は一般に と書かれ、これによって簡潔さが大きく向上したのである。この同じ記法の規則は、確定した数と変数を並べる場合にも適用され、 を と書き、 を と書くのである。
変数の代わりに具体的な数値を代入する際には、アラビア数字の表記と混同しないよう、記号を忘れずに補う必要があることは明らかである。したがって、においてにを、にを代入する場合、（これはを意味する）と書くのではなく、と書かなければならない。
科学の発展にとって、一見地味な記号がいかに重要でありうるかという点は興味深い。それはある概念を強調して提示する役割を担うこともあり、多くの場合、それは非常に
繊細な概念であり、その存在によって、この概念が関与するあらゆる複雑な概念の連鎖に対するその関係を容易に示すことができる。例えば、最も控えめな記号である を取り上げてみよう。これは数としての
ゼロ。ローマ数字にはゼロを表す記号が存在せず、古代世界の数学者のほとんどは、ゼロという数の概念にひどく困惑したことだろう。というのも、結局のところ、それは非常に捉えがたい概念であり、決して自明なものではないからだ。量のゼロが意味するものについては、哲学書の中で数多くの議論がなされている。実のところ、ゼロという概念は、他の基数と比べて特別に難解であったり捉えがたかったりするわけではない。私たちはや、あるいはという数字で何を意味しているのだろうか？しかし私たちはこうした概念の扱いに慣れ親しんでいる。もっとも、それらを構成するより単純な概念を明快に分析して説明せよと言われれば、ほとんどの人は困惑するだろう。ゼロに関する要点は、日常生活の営みにおいてそれを使う必要がないという点にある。魚をゼロ匹買いに出かける人などいない。ある意味で、ゼロはすべての基数の中で最も文明化された数であり、その使用は、洗練された思考様式が必要とされることによってのみ、私たちに強要されるのである。数ゼロを表す記号は、多くの重要な役割を果たしている。
この記号は、アラビア数字の表記法に関連して発展したものであり、その表記法において不可欠な要素となっている。なぜなら、その表記法においては
数字の値は、それが現れる位置によって決まる。例えば、、、、 という数の中に現れる数字の を考えてみよう。最初の数では は 5 を表し、2番目の数では は 50 を表し、3番目の数では 500 を、そして4番目の数では 5000 を表している。さて、51 という数を という記号形式で書くとき、数字の は数字の を（右から左へ数えて）2番目の位へと押しやり、それによって に 50 という値を与える。しかし、50 という数だけを記号で表そうとするとき、この役割を果たすための数字 を置くことはできない。我々は、合計に何も加えない一方で、 を2番目の位へと押しやるような、一の位の数字を必要としている。この役割を果たすのが、ゼロを表す記号である である。この目的のために を導入した人々は、ゼロという数について明確な概念を抱いていなかった可能性が極めて高い。彼らは単に、その数字が占める位が何も寄与していないという事実を象徴する印を必要としていただけなのである。ゼロという概念は、この印の意味を、基数（カーディナル・ナンバー）を表す 、、……、 といった他の印の意味と同化させたいという欲求から、おそらく徐々に形作られていったのだろう。数学において、本来は実用的な便宜のために考案された記号法によって、精緻な概念が導入された例は、これが唯一というわけではない。
こうして、 の最初の用途は、位取り記数法を可能にすることであった。これは決して些細な功績ではない。この目的のために が導入されたとき、空想的な考えを嫌う実務家たちは、それを数としてのゼロと同一視する愚かな習慣を非難したことだろう。しかし彼らは間違っていた。他人が用意した食物を咀嚼するという本来の役割を放棄する時、そのような人々は常に間違っているのである。なぜなら、シンボル が次に果たした役割は、本質的に、数としてのゼロを表すという機能をそれに割り当てることに依存しているからである。
この二番目の記号的な用法は、一見するとあまりにも単純であるため、その重要性を初心者に理解させることは困難である。簡単な例から始めよう。II.において、我々は方程式 によって表される、二つの変数 と の間の相関関係について言及した。これは無数の方法で表現できる。例えば、、、 などである。しかし、これを述べる上で重要な形式は である。同様に、方程式 を書く上で重要な形式は であり、方程式 を表現する上で重要な形式は である。肝心な点は、変数（例えば や ）を表すあらゆる記号、そして記号
ゼロ以外の特定の数（上記の例におけるやなど）を表すものは左辺に書かれ、左辺全体がゼロと等しくなるようにされる。これを最初に行った人物は、オックスフォード生まれのトーマス・ハリオットであると言われている。
1560年に生まれ、1621年に没した。しかし、この単純な記号的手続きにはどのような重要性があるのだろうか。それは、
代数的形式の現代的概念。
これは我々が絶えず立ち返らねばならない考え方であり、現代数学のいかなる部分も、これに絶えず立ち返ることなしには正しく理解できないと言っても過言ではない。形式という概念はあまりに一般的であるため、抽象的な言葉で特徴づけることは困難である。この段階では、単に具体例を検討する方が得策であろう。例えば、、、 という方程式はすべて同じ形式、すなわち、 自身が掛け合わされることのない、つまり や などが現れない、一つの未知数 を含む方程式という形式である。また、、、 もすべて同じ形式、すなわち、、つまり が現れる、一つの未知数 を含む方程式という形式である。これらの方程式は二次方程式と呼ばれる。同様に、 が現れる三次方程式も別の形式を生み出し、以下同様に続く。上に挙げた三つの二次方程式の間には、最後の方程式について小さな違いがある。
、そしてその前の二つの方程式。これは（とは異なり）が最後の方程式には現れず、他の二つには現れているという事実によるものである。しかし、この区別は、それら三つがすべて二次方程式であるという重大な事実に比べれば、極めて些細なことである。
さらに、2つの変数間の相関関係を示す方程式の形式があります。例えば、、 などがそうです。これらは「線形」方程式と呼ばれるものの例です。この「線形（linear）」という名称の理由は、IIの最後で説明される図式的な表現方法において、そのような方程式が常に直線（straight line）として表されるためです。また、2つの変数に対しては、他にも二次形式、三次形式といった形式が存在します。しかし、ここで私たちが強調したい点は、このような形式の研究は、方程式の右辺を とする標準的な記述方法によって容易になり、実際には可能になるということです。
形式の研究に関連して、が果たすもう一つの機能がある。どのような数であっても、であり、である。これらの性質を用いることで、形式上の些細な違いを同化させることができる。したがって、前述した二次方程式との間の違いは、後者を次のように書くことで消し去ることができる。
という形式の方程式。なぜなら、前述の法則により、 となるからである。したがって、 という方程式は、二次方程式のある特定のクラスを代表するに過ぎず、 と同じ一般形式に属するものである。
これら三つの理由により、数ゼロを表す記号 は現代数学にとって不可欠なものである。それは、この記号なしでは不可能であったであろう種類の研究を可能にしたのである。
数学の記号法は、実のところ、その科学を支配する一般的概念の所産である。我々は今、変数と代数的形式という二つの一般的概念を前にしている。これら概念の結合は、数学に一風変わった、しかし極めて有効な別の種類の記号法を課すこととなった。我々は、二つの変数 と を含む方程式が、その変数対の間の特定の相関関係を表すことを見てきた。したがって、 は一つの明確な相関関係を表し、 は変数 と の間の別の明確な相関関係を表す。そして、どちらの相関関係も、我々が線形相関と呼んだ形式をとっている。では、変数 と の間のあらゆる線形相関をどのように表せばよいだろうか。ここで我々は、あらゆる線形相関を記号化したいのである。ちょうど があらゆる
数。これは、確定した相関関係 に現れる数値を文字に置き換えることによって行われる。すると、 が得られる。ここで、、、 は、 や と同様に変数としての数を表しているが、これら二組の変数の用い方には違いがある。我々は、、、 の値を不変としたまま、 と の関係の一般的な性質を研究する。我々は 、、 がどのような値であるかを特定するわけではない。しかし、それらがどのような値であれ、 と のとり得るすべての値の集合に対して と の関係を研究している間、それらは固定されたままである。ところが、この相関関係の性質を導き出したとき、我々は、、、 が実際には特定されていないがゆえに、そのようなあらゆる関係に帰属するはずの性質を証明したことに気づく。こうして、、、 を変化させることにより、我々は が と の間の変数的な線形相関を表しているという考えに至る。 および と比較して、この3つの変数 、、 は定数と呼ばれる。この中で用いられる変数は
wayは、時としてパラメータとも呼ばれる。
さて、数学者たちは習慣として、どの変数を「定数」として扱い、どの変数を方程式において相関するものとみなされる「変数」として扱うかを説明する手間を省くために、アルファベットの後半の文字を「変化する」変数に、アルファベットの前半の文字を
「定数」変数、すなわちパラメータである。この二つの体系は、アルファベットのほぼ中央で自然に合流する。時には一言二言の説明が必要になることもあるが、実際のところ、慣習と常識があれば通常は十分であり、これほど緩やかに見える手順であっても、混乱が生じることは驚くほど少ない。
このように、連続するパラメータの層によって具体的な数値が絶えず排除されていく結果、数学者が行う算術の量は極めてわずかなものとなる。多くの数学者はあらゆる数値計算を嫌い、またそれを得意とはしていない。「変数」と「代数的形式」という二つの概念が支配を始める場所で、算術の領域は終わりを告げるのである。