円錐曲線

ギリシアの幾何学者たちが使い果たしたとき、

彼らは、直線と円で構成される図形の、より明白で興味深い性質を考察するにつれ、他の曲線の研究へと目を向けました。そして、考える価値のある対象を見つけ出す彼らのほとんど誤ることのない直感によって、主に円錐曲線、すなわち平面が円錐の表面を切り取る際に生じる曲線に専心するようになりました。この研究を創始した功績を称えられるべき人物はメナイクモス（紀元前375年生まれ、そして

没年325年）。彼はプラトンの弟子であり、アレクサンドロス大王の家庭教師の一人であった。ちなみにアレクサンドロスは、際立った

優れた教育の利点を示す好例として、彼のもう一人の家庭教師には哲学者アリストテレスがいた。我々は疑うかもしれないが、

アレクサンドロスはメナイクモスを退屈な教師だと感じていた。というのも、彼が次のように尋ねたという逸話が残っているからである。

証明をより短くするように。この要求に対してメナイクモスはこう答えた。「……において、

国には私道や王道さえあるが、幾何学には誰にとってもただ一つの道しかない」。この答えは、アレクサンドロスが即座に理解したであろう意味において、間違いなく真実であった。しかし、メナイクモスが自分の証明を短縮することはできないと考えていたのなら、それは大きな思い違いである。現代の数学者の大半は、円錐曲線の性質に関するギリシア人の証明を学ぶことを強いられたら、ひどく退屈することだろう。ある科学において、関連する概念を導入することで得られる力の増大を理解するには、概念が豊かになるにつれて証明が次第に短縮されていく様子を観察すること以上に優れた方法はない。数学者の中には、ある主題の概念をじっくり考えることを常にひどくもどかしく感じ、すぐに「重要な」問題の証明に取りかかりたがる者がいる。科学の歴史は、そのような考えを完全に否定している。科学には王道が存在する。しかし、その道を最初に切り拓くのは天才たちであり、

王ではない。

円錐曲線が数学者たちの前に最初に現れたのは、次のような形であった。頂点（あるいは尖点）を $V$ とし、円形の底面 $S T U$ の上に立つ円錐（[図]15参照）を考えてみよう。例えば、円錐形のランプシェードを

電灯は、そのような曲面の例としてよく挙げられる。さて、 $V$ を通り、その曲面上にある「母線」をすべて後方に延長してみよう。その結果得られるのは双円錐であり、 $P Q R$ は、 $S T U$ という断面とは $V$ を挟んで反対側にある、もう一つの円形の断面である。円錐の軸 $C V C^{'}$ は、これらの円の中心をすべて通り、互いに平行である円の平面に対して垂直である。図において、紙面よりも奥にあると想定される曲線部分は点線で、紙面上または手前にある部分は実線で示されている。ここで、この双円錐が軸 $C V C^{'}$ に対して垂直ではない（あるいは、必ずしも垂直とは限らない）平面によって切断されると仮定する。すると、3つのケースが生じ得る。

(1) 平面は円錐を閉じた

$A B A^{'} B^{'}$ のような楕円形の曲線は、2つの半円錐のうちの片方に完全に含まれる。この場合、平面はもう一方の半円錐とは全く交わらない。このような曲線を楕円と呼ぶ。これは楕円形の曲線である。円錐のこのような切断面の特殊なケースとして、平面が軸 $C V C^{'}$ に対して垂直である場合があり、そのときの切断面（ $S T U$ や $P Q R$ など）は円となる。したがって、

円は楕円の特殊なケースである。

(2) その平面は、円錐の「母線」のひとつに沿って接する接平面になぞらえることができる。例えば、

図中の曲線 $D_{1} A_{1} D_{1}^{'}$ は、母線 $V S$ に沿って円錐に接する接平面と平行である。この曲線は依然として半円錐の一方に限定されているが、もはや閉じた楕円曲線ではなく、半円錐の母線を頂点から遠ざかる方向に延長する限り、無限に続く。このような円錐曲線を放物線と呼ぶ。

(3) 平面が両方の半円錐を切断する場合がある。

したがって、完全な曲線は二つの離れた部分、すなわち「枝（branches）」と呼ばれるものから構成される。この場合は、 $G_{2} A_{2} G_{2}^{'}$ と $L_{2} A_{2}^{'} L_{2}^{'}$ という二つの枝によって示されており、これらが合わさって一つの曲線をなしている。どちらの枝も閉じてはおらず、二つの半円錐が頂点から遠ざかるにつれて延長されるにつれ、それぞれが無限に広がっていく。このような円錐曲線は双曲線（hyperbola）と呼ばれる。

したがって、円錐曲線には楕円、放物線、双曲線の3つの型がある。ある意味において、放物線が楕円と双曲線の中間に位置する極限的なケースであることは容易に見て取れる。放物線はより特殊な種類であり、より限定的な条件を満たさなければならない。これら3つの名称は、明らかにペルガのアポロニオス（生年

紀元260年頃に生まれ、200年頃に没した）は、円錐曲線に関する体系的な論文を著し、それが16世紀まで標準的な文献として残った。

どれほど厄介であるかは、ただちに明らかであるはずだ。

そして、これらの曲線の性質を研究することが、ギリシアの幾何学者たちにとってどれほど困難なことであったか。これらの曲線は平面曲線でありながら、その研究には立体図形の透視図法的な描画が伴うのである。したがって、上に示した図において、補助線をほとんど引いていないにもかかわらず、図形は十分に複雑なものとなっている。その

曲線は平面曲線であり、立体図形の中に踏み込むことなく、平面内だけでそれらを定義できることは自明のように思われる。同時に、「立体」による定義において一つの統一的な定義方法があるのと同様に――すなわち、円錐を平面で切断することによる――

平面――これは3つのケースを生む。したがって、いかなる「平面」の定義においても、同様に3つのケースに分類される一貫した手順が存在すべきである。それらの平面上に描かれた形状は、3つの図[fig:16]16、[fig:17]17、および[fig:18]18における曲線である。図中の点 $A$ および $A^{'}$ は、それぞれ

18 頂点、そして直線 $A A^{'}$ を長軸とする。放物線（[図]17参照）については、以下の点に留意されたい。

は頂点を一つしか持たない。アポロニウスは、アポロニウスとパップスに関するこの記述についてはボール（Ball, loc. cit.）を参照のこと。楕円および双曲線（図[fig:16]16および図[fig:18]18）のいずれにおいても、 $P M^{2}$ 対 $A M \cdot M A^{'}$ の比（すなわち $\frac{P M^{2}}{A M \cdot M A^{'}}$ ）が一定であることを証明し、またその比が

[図]17の放物線において、 $P M^{2}$ 対 $A M$ の比は一定であり、彼は自身の研究の大部分をこの事実に依拠させている。我々は明らかに、平面から逸脱することのない、望ましい統一的な定義へと近づいてはいるが、完全な統一性に到達したとはまだ言い難い。

図[fig:16]16および[fig:18]18には2つの点 $S$ と $S^{'}$ が、[diagram]17には1つの点 $S$ が記されているのが見て取れるだろう。これらは曲線の焦点であり、極めて重要な点である。アポロニオスは、楕円においては点 $P$ が曲線上のどこにあっても $S P$ と $S^{'} P$ の和（すなわち $S P + S^{'} P$ ）が一定であり、それが $A A^{'}$ に等しいことを知っていた。同様に双曲線においては、点 $P$ が一方の枝上にあるとき差 $S^{'} P - S P$ は一定で $A A^{'}$ に等しく、点 $P^{'}$ がもう一方の枝上にあるとき差 $S P^{'} - S^{'} P^{'}$ は一定で $A A^{'}$ に等しい。しかし、放物線については、これに対応する点が存在しないように思われた。

ついに500年後、最後の偉大なギリシアの幾何学者であるアレクサンドリアのパップスは、次のような発見をした。

この思考の筋道を完結させる最後の秘密である。図[fig:16]16および図[fig:18]18には2本の線、 $X N$ と $X^{'} N^{'}$ が、図[diagram]17には1本の線、 $X N$ が見て取れるだろう。これらは曲線の準線であり、楕円と双曲線にはそれぞれ2本ずつ、放物線には1本が存在する。各準線は、それに対応する近くの焦点と対になっている。

3種類の曲線のいずれにおいても、焦点 $S$ とそれに対応する準線 $X N$ の特徴的な性質は、比が

$S P$ 対 $P N$ （すなわち $\frac{S P}{P N}$ ）は一定である。ここで $P N$ は $P$ から準線に下ろした垂線であり、 $P$ は曲線上の任意の点である。ついに我々は、平面から離れる必要がなく、かつ3つの曲線すべてに対して一様に述べられる、望んでいた曲線の性質を見出した。楕円の場合、この比（注B、注B.136参照）は1より小さく、放物線の場合は1に等しく、双曲線の場合は1より大きい。

パップスがその探究を終えたとき、

彼は、些細な拡張を除けば、その主題は事実上やり尽くされたと感じていたに違いない。もし彼が千年以上先の科学の歴史を予見できていたとしても、それは彼の確信を裏付けるものとなっただろう。しかし実のところ、この数学の一分野に関連する真に実りある着想は、まだ誰にも触れられてさえおらず、自然界におけるそれらの極めて重要な応用について推測できた者もいなかった。知識や研究を明らかに有用なものだけに限定しようとする人々にとって、これほど印象的な警告はないだろう。円錐曲線が千八百年間もの間、数学者たちの知的好奇心を満たすこと以外の実用性は一切考えられることなく、純粋な抽象科学として研究され続け、そしてこの長い抽象的研究の期間の終わりに、それらが

自然界の最も重要な法則の一つを解明するための、不可欠な鍵であることが判明した。

一方、天文学という全く別個の学問もまた、進歩を続けていた。その

偉大なギリシャの天文学者プトレマイオス（168年没）

アレクサンドリア大学でこの主題に関する標準的な論文を発表し、恒星に対する太陽や惑星の見かけの運動を、地球は静止しており、太陽と惑星がその周りを回っているという概念によって説明した。その後の1300年間、天体観測の数と精度は向上し、その結果、プトレマイオスの仮説に基づく惑星運動の記述は、ますます複雑なものにせざるを得なくなった。コペルニクス（誕生は

1473年、没年1543年）は、太陽が静止しており、地球や惑星がその周りを回っていると想定すれば、これらの天体の運行はより単純に説明できると指摘した。しかし彼は、依然としてこれらの運動を本質的に円運動であると考えており、主要な円運動の上に恣意的に重ね合わせた一連の小さな修正によって、それを補正していた。ケプラーがシュトゥットガルトで生まれたとき、事態はそのような状況にあった。

1571年のドイツにおいて。円錐曲線の幾何学と天文学という二つの科学が存在したが、その双方が

はるか古代から研究されてきたが、両者の間に関連があるとは全く疑われていなかった。ケプラーは天文学者であり、

しかし彼は有能な幾何学者でもあり、円錐曲線という主題において、時代を先取りする着想に到達していた。科学研究で成功するためには、一つの狭い研究分野に専心しなければならないという考えが誤りであることを示す例は、彼一人にとどまらない。斬新なアイデアというものは、膨大な知識からというよりも、むしろ異なる思考体系の手法や概念を徹底的に理解した上で、それらを異例の組み合わせで結びつけることから生まれやすいのである。チャールズ・ダーウィンが助けを得たことは記憶に新しいだろう

マルサスの有名な『人口論』を読むことによって、進化の法則という彼の着想に至る

『人口論』。これは当時、少なくともそのように考えられていたところでは、まったく別の主題を扱った著作である。

ケプラーは惑星の運動に関する三つの法則を提唱した。

運動。最初の二つは1609年に、三つ目はその10年後である。それらは以下の通りである。

(1) 惑星の軌道は楕円であり、太陽はその焦点の一つにある。

(2) 惑星が軌道上を移動するとき、太陽から惑星を結ぶ動径は、等しい時間内に等しい面積を掃く。

(3) 各惑星の公転周期の二乗は、その長半径の三乗に比例する。

これらの法則は、より根本的な思想の発展に向けた単なる一段階に過ぎないことが判明した。ニュートン（1642年生まれ、1727年没）

1727）は万有引力の概念を考案した。すなわち、あらゆる二つの物体は

物質は、互いの質量の積に比例し、距離の二乗に反比例する力で引き合っている。この広範な一般法則は、彼が最終的な一般的形式へとまとめ上げた三つの運動法則と相まって、ケプラーの法則を含むあらゆる天文学的現象を説明するのに十分なものであることが証明され、現代物理学の基礎を築いた。とりわけ彼は、彗星が非常に細長い楕円軌道、あるいは放物線軌道、あるいは放物線に近い双曲線軌道を描いて運動する可能性があることを証明した。戻ってくる彗星――ハレー彗星のようなもの――は、当然のことながら、

楕円。しかし、万有引力の法則の証明において、さらにはその着想の端緒において不可欠であったのは、惑星の運動と円錐曲線の理論を結びつけるケプラーの法則の検証であった。

17世紀以降、曲線の抽象理論は、座標幾何学と射影幾何学の導入に端を発する幾何学の二重のルネサンスを共有してきた。射影幾何学において

基本的な考え方は〜の周辺に集まっている

集合（あるいは束、と彼らが呼ぶもの）の考察は

（共通の点、すなわち「ペンシル」の頂点を通る直線の集合）と呼ばれる。さて（[図]19参照）、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ を円錐曲線上の任意の4つの定点とし、 $P$ をその曲線上の動点とすると、直線のペンシル $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ は、その複比が一定であるという特別な性質を持つ。それは

ここで十分だろう。複比は射影幾何学における基本的な概念である。射影幾何学にとって、これはまさに曲線の定義そのものであり、あるいはそれと実質的に等価な何らかの類似の性質である。それは

円錐の切断という古来の本来の概念から、長きにわたる研究の過程で私たちがどれほど遠く離れてしまったかは、いずれ明らかになるだろう。今日では、ギリシャ人たちが捉えていたのは比較的わずかな重要性しか持たない副次的な性質に過ぎなかったことが分かっている。もっとも、神の思し召しか、曲線そのものは彼らが注いだすべての関心に値するものであった。この「切断」という概念の重要性の低さは、現在では一般的な数学用語において、その名称から「切断」という言葉が省かれていることにも表れている。今日では、「円錐曲線（conic sections）」ではなく、単に「円錐曲線（conics）」と呼ばれることの方が多いくらいである。

ついに、私たちはその地点に立ち返る。

前章で座標幾何学を終えた地点から話を続けよう。我々は、 $a x + b y = c$ という一般的な代数形式に対応する軌跡がどのようなものかを問い、それが平面上の直線というクラスであることを突き止めた。すべての直線はこの形式の方程式を持ち、またこの形式のすべての方程式は直線に対応することを確認した。さて、次に一般的な代数形式の次の段階へと進むことにしよう。これは明らかに、 $x^{2}$ 、 $x y$ 、 $y^{2}$ を含む項を導入することで得られる。したがって、新しい一般形式は次のように書かなければならない。―― $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0 .$ これは何を表すのか。その答えは

（それが何らかの軌跡を表すとき）常に円錐曲線を表すこと、さらに、あらゆる円錐曲線の方程式は常にこの形に変形できることである。この形式の方程式によって与えられる円錐曲線の種類の判別は非常に容易である。それは完全に、 $a b - h^{2}$ の考察に依存する。ここで、 $a$ 、 $b$ 、および $h$ は上記のように書かれた「定数」である。もし $a b - h^{2}$ が正の数であれば、その曲線は楕円であり、もし $a b - h^{2} = 0$ であれば、その曲線は放物線であり、そしてもし $a b - h^{2}$ が負の数であれば、その曲線は双曲線である。

例えば、 $a = b = 1$ 、 $h = g = f = 0$ 、 $c = - 4$ としてみよう。すると、 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ という方程式が得られる。これが中心を原点とし、半径を $2$ 単位の長さとする円の方程式であることは容易に証明できる。さて、 $a b - h^{2}$ は $1 \times 1 - 0^{2}$ 、すなわち $1$ となり、したがって正である。ゆえに、円は楕円の特殊なケースであり、当然ながらその通りである。一般化すると、どのような円の方程式も $a (x^{2} + y^{2}) + 2 g x + 2 f y + c = 0$ という形式に書き表すことができる。したがって $a b - h^{2}$ は $a^{2} - 0$ 、すなわち $a^{2}$ となり、これは必然的に正である。これに従い、すべての円は楕円の条件を満たす。放物線の方程式の一般形は $(d x + e y)^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ であり、したがって二次の項は、

それらは、完全平方式として書くことができる。展開すると、 $d^{2} x^{2} + 2 d e x y + e^{2} y^{2} + 2 g x + 2 f y + c$ となる。したがって、比較により $a = d^{2}$ 、 $h = d e$ 、 $b = e^{2}$ であり、ゆえに $a b - h^{2} = d^{2} e^{2} - (d e)^{2} = 0$ となる。したがって、必要条件は自動的に満たされる。方程式 $2 x y - 4 = 0$ （ここで $a = b = g = f = 0$ 、 $h = 1$ 、 $c = - 4$ ）は双曲線を表す。なぜなら、 $a b - h^{2}$ の条件は $0 - 1^{2}$ 、すなわち $- 1$ となり、これは負であるからである。

plus 0.75em minus 0.25em そのように述べることで導入された制限は、

一般方程式が何らかの軌跡を表すとき、それが円錐曲線を表すという条件が必要となるのは、一般方程式の特殊なケースの中には実数上の軌跡を一切表さないものが存在するためである。例えば、 $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ は、 $x$ と $y$ のいかなる実数値によっても満たされることはない。この場合、その軌跡は虚数点から構成されると言うのが通例である。しかし、幾何学におけるこの虚数点という概念は実際には極めて複雑なものであり、ここでは立ち入らないことにする。

方程式の一般形には、一見しただけでは円錐曲線とは認識できないような例外的なケースも含まれている。定数を適切に選ぶことで、その方程式は2本の直線を表すものとなる。さて、2本の交差する直線は、ギリシア的な円錐曲線の概念に当てはまると言っても差し支えないだろう。なぜなら、

上の双円錐の図を見ると、頂点 $V$ を通る平面の中には、円錐を $V$ で交わる一対の直線として切断するものがあることがわかる。2本の平行な直線という場合は、円柱を円錐の特別な一例とみなすことで含めることができる。その場合、円柱を切断し、かつその軸に平行な平面は、円柱を2本の平行な直線として切断することになる。いずれにせよ、それがそうであるか否かにかかわらず、

古代ギリシアであれば、こうした特殊なケースを円錐曲線と呼ぶことを許容したであろうが、それらは間違いなく、二次代数形式の一般式によって表される曲線の中に含まれている。この事実は注目に値する。というのも、かつては特別扱いされていたあらゆる種類の特殊なケースを一般形式の中に含めることは、近代数学の特徴だからである。これは、近代数学が一般性を追求していることに起因している。