変数

数学が学問として始まったのは、ある人物が――おそらくはギリシャ人であろうが――特定の具体的な対象を限定することなく、あらゆるもの、あるいはある種のものについての命題を証明したときのことである。こうした命題は、ギリシャ人によってまず幾何学において提唱された。それゆえに幾何学は、ギリシャにおける偉大な数学的学問となったのである。幾何学の興隆から代数学が真に有効な出発を果たすまでには、後代のギリシャの数学者たちによるわずかな予兆があったにもかかわらず、数世紀もの歳月が流れた。

「任意の」および「ある」という概念は、算術における確定した数の代わりに文字を用いることによって、代数学に導入される。したがって、代数学では「 $2 + 3 = 3 + 2$ 」と言う代わりに、一般化して「 $x$ と $y$ が任意の二つの数を表すならば、 $x + y = y + x$ である」と言う。また、「 $3 > 2$ 」と言う代わりに、一般化して「 $x$ が任意の数であるならば、 $y > x$ となるようなある数（あるいは複数の数） $y$ が存在する」と言う。ついでながら述べておくと、この後者の仮定は――というのも、厳密な究極の形式で表現すれば、それは一つの仮定となるからだが――

哲学にとっても数学にとっても極めて重要である。というのも、それによって無限という概念が導入されるからである。おそらく、数学において文字を確定した数として用いる慣習が完全に廃されたアラビア数字の導入こそが、任意の数やある数という概念のために文字を用いるという技術的な利便性を数学者たちに示唆するのに必要だったのであろう。ローマ人であれば、本書が執筆された年をMDCCCCX.と表記したであろうが、我々は1910と書く。こうして文字は別の用途のために残されることとなった。しかし、これは単なる推測に過ぎない。代数学の興隆の後、ニュートンによって微分積分学が発明され、そして

ライプニッツ、そして進歩における一時的な停止

数学的思考の哲学については、これらの概念に関する限り、これまでほとんど進展がありませんでした。しかし、ここ数年になってようやく、「あらゆる（any）」や「ある（some）」といった概念が数学の本質そのものにいかに根本的な役割を果たしているかが認識されるようになり、その結果として、数学的探究の対象がさらに大きく広がることとなったのです。

ではここで、これらの根本的な概念が正確にどのように現れるのかを理解することを目的として、いくつかの単純な代数的な言明を作ってみることにしよう。

(1) 任意の数 $x$ に対して、 $x + 2 = 2 + x$ である。

(2) ある数 $x$ について、 $x + 2 = 3$ である。

(3) ある数 $x$ について、 $x + 2 > 3$ である。

まず注目すべき点は、ここで用いられている「ある（some）」という言葉の意味に含まれる可能性である。 $x + 2 = 2 + x$ は任意の数 $x$ について成り立つため、「ある数 $x$ 」についても真である。したがって、ここでの用法において、「任意の（any）」は「ある（some）」を含意し、「ある」は「任意の」を排除しない。次に、2番目の例では、 $x + 2 = 3$ を満たす数 $x$ は実際にはただ一つ、すなわち数 $1$ のみである。したがって、この場合の「ある」は、ただ一つの数のみを指す可能性がある。しかし3番目の例では、 $1$ より大きい任意の数 $x$ は $x + 2 > 3$ を満たす。ゆえに、この場合の「ある数」に該当する数は無限に存在する。以上のことから、「ある」とは「任意の」から「ただ一つ」までのあらゆる範囲を指し得るのであり、その両端の限界事例もそこに含まれるのである。

（2）および（3）の記述を、以下の問いに置き換えるのは自然なことである。

(2') $x + 2 = 3$ となる数 $x$ は何か。

(3') $x + 2 > 3$ となるような数 $x$ は何か。

(2')を考慮すると、 $x + 2 = 3$ は方程式であり、

その解が $x = 3 - 2 = 1$ であることは容易に見て取れる。方程式 $x + 2 = 3$ の記述が暗示する問いを立てたとき、 $x$ は未知数と呼ばれる。方程式を解く目的は、この未知数を決定することにある。方程式は数学において極めて重要であり、それはあたかも

（2'）は元の命題（2）よりもはるかに徹底的で根本的な考えを例証しているとはいえ、である。しかし、これは完全な誤りである。未決定という考えは

「some（ある）」や「any（任意の）」という用法における「変数」こそが、数学において真に重要なものである。方程式における「未知数」は、可能な限り速やかに解かれるべきものであり、もちろん非常に重要ではあるものの、その役割は副次的なものに過ぎない。初等代数学の多くが些末に見える原因の一つは、教科書が方程式を解くことばかりに固執している点にある。同じことは、元の命題 (3) と比較した場合の不等式 (3') の解法についても当てはまる。

しかし、興味深い公式の大部分は、

特に「ある」という概念が含まれる場合には、複数の変数が関わってくる。例えば、 $x + y = 1$ を満たす（分数または整数の）数の組 $x$ と $y$ を考えることは、互いに関連し合う2つの変数 $x$ と $y$ の概念を伴う。変数が2つ存在する場合にも、同じ2つの主要なタイプの言明が現れる。例えば、(1) 任意の数の組 $x$ と $y$ に対して、 $x + y = y + x$ であり、(2) ある数の組 $x$ と $y$ に対して、 $x + y = 1$ である。

第二の種類の命題は、ある固定された関係によって結びつけられた数の対の集合を考察するよう促すものである。与えられた例で言えば、 $x + y = 1$ という関係によるものである。いかなる数の対に対しても成り立つ第一の種類の公式の一つの用途は、それらを用いることによって第二の種類の公式を

無数の等価な形式へと投げ込まれる。例えば、 $x + y = 1$ という関係は、 $y + x = 1$ 、$ (x - y) + 2y = 1 $、$ 6x + 6y = 6$ といった関係と同等である。したがって、熟練した数学者は、当面の目的にとって最も都合の良い、検討中の関係の等価な形式を用いるのである。

2つの項がある一定の関係を満たしているからといって、その一方が与えられれば他方が必ず一意に定まるとは限らない。例えば、 $x$ と $y$ が $y^{2} = x$ という関係を満たす場合、 $x = 4$ であれば $y$ は $\pm 2$ となり得る。つまり、 $x$ が正の値であれば、 $y$ には複数の選択肢が存在する。また、 $x + y > 1$ という関係においても、 $x$ か $y$ のいずれかが与えられたとき、もう一方の値は無数に存在する可能性がある。

もう一つ、注目すべき重要な点がある。関係式 $x + y = 1$ を考える際、整数か分数かを問わず、正の数のみに限定すると、もし $x$ か $y$ のいずれかが $1$ より大きければ、その関係を満たすような正の数はもう一方には存在しなくなる。したがって、 $x$ に関するこの関係の「領域」は $1$ より小さい数に制限され、同様に $y$ に開かれた「領域」も制限される。次に、正負の整数のみを考え、次のような関係をとってみよう。

$y^{2} = x$ は、そのような数の組によって満たされる。このとき、 $y$ にどのような整数値を与えても、 $x$ はそれに対応する一つの整数値をとることができる。したがって、 $y$ の「領域」は、これらの正または負の整数の範囲内で制限を受けない。しかし、 $x$ の「領域」は二つの点で制限されている。第一に、 $x$ は正でなければならず、第二に、 $y$ が整数である以上、 $x$ は平方数でなければならない。したがって、 $x$ の「領域」は、 $1^{2}$ 、 $2^{2}$ 、 $3^{2}$ 、 $4^{2}$ 、……すなわち、 $1$ 、 $4$ 、 $9$ 、 $16$ 、……という整数の集合に制限される。

数の対の間の関係の一般的な性質についての研究は、次のように構成された図を用いることによって、大いに容易になる。1

直角に交わる2本の直線 $O X$ と $O Y$ を引き、任意の数 $x$ を $x$ 単位で表すこととする。

（任意の尺度で） $O X$ 軸に沿って長さをとり、 $y$ という任意の数についても（任意の尺度で） $O Y$ 軸に沿って $y$ 単位の長さをとる。したがって、 $O X$ 軸上の $O M$ が $x$ 単位の長さであり、 $O Y$ 軸上の $O N$ が $y$ 単位の長さであるならば、平行四辺形 $O M P N$ を完成させることで、数の組 $x$ および $y$ に対応する点 $P$ を見出すことができる。各点には一つの数の組が対応し、各数の組には一つの点が対応する。この数の組は、その点の座標と呼ばれる。すると、ある一定の関係を満たす座標を持つ点は、それらすべてが直線上に並ぶ場合は線を描くことによって、あるいはそれらがすべてある領域内の点である場合は領域を塗りつぶすことによって、便利な方法で示すことができる。もしその関係が $x + y = 1$ や $y^{2} = x$ といった方程式で表せるならば、点は線上に並び、前者の場合は直線となり、後者の場合は曲線となる。例えば、正の数のみを考える場合、 $x + y = 1$ を満たす座標を持つ点は、1において直線 $A B$ 上に並ぶ。ここで $O A = 1$ 、 $O B = 1$ である。このように、直線 $A B$ のこの線分は、正の数という制限下におけるその関係の性質を視覚的に表現したものとなる。

2つの変数の関係を示すもう一つの例として、空気のようなある気体物質の一定質量における圧力と体積の変化を考察することが挙げられる。

あるいは石炭ガスや蒸気など、一定温度における気体について考えてみよう。その体積を立方フィート単位で $v$ 、圧力を1平方インチあたりの重量ポンド単位で $p$ とする。このとき、温度が変化しないという条件下で、 $p$ と $v$ がともに変化する際のそれらの関係を表す法則は、ボイルの法則として知られており、積 $p v$ が一定であるというものである。例えば、気体の量やその他の状況が、 $p v = 1$ と置けるようなものであると仮定しよう（等式の右辺の正確な数値は、本質的な違いをもたらさない）。2

次に図2において、直交する2本の直線 $O V$ と $O P$ を引き、 $O V$ 上に $O M$ をとって体積 $v$ 単位を表し、 $O P$ 上に $O N$ をとる。

$p$ 単位の圧力を表すものとする。そのとき、平行四辺形 $O M Q N$ を完成させることによって得られる点 $Q$ は、その気体の体積が $v$ 立方フィート、圧力が 1 平方インチあたり $p$ ポンド重量であるときの状態を表す。もし考察対象の気体部分の状況が $p v = 1$ となるようなものであれば、この気体部分のあらゆる可能な状態に対応するこれらすべての点 $Q$ は、曲線 $A B C$ 上になければならない。この曲線には、 $p$ と $v$ が正であり、かつ $p v = 1$ を満たすすべての点が含まれる。したがって、この曲線は、体積と圧力の間に成り立つ関係を視覚的に表現したものとなる。圧力が非常に大きいとき、対応する点 $Q$ は $C$ の近く、あるいは図示されていない曲線の先の部分にあるはずであり、そのとき体積は非常に小さくなる。体積が大きいとき、 $Q$ は $A$ の近く、あるいは $A$ の先にあることになり、そのとき圧力は小さくなる。エンジニアや物理学者が、ある明確に指定された体積に対応する特定の圧力を知りたいと考える場合があることに留意されたい。そのとき、我々は未知数 $p$ を決定するという問題に直面することになる。

$v$ は既知の数である。しかし、これは特定の事例においてのみ言えることである。気体の性質やその挙動を一般的に考察するにあたっては、曲線 $A B C$ 全体の一般的な形状とその一般的な性質を念頭に置かなければならない。言い換えれば、真に根本的な概念とは、一対の変数という概念なのである。

$p v = 1$ という関係を満たす。この例は、変数の概念がいかに根本的なものであるかを示している。

数学の応用面においても、また理論面においても。