力学
ギリシャの数理物理学者たちが後継者を得るまで、世界は千八百年もの歳月を待たねばならなかった。我々の時代の十六世紀から十七世紀にかけて、偉大なイタリア人たち、とりわけ芸術家レオナルド・ダ・ヴィンチが、
（1452年生まれ、1519年没）やガリレオ（1564年生まれ、1642年没）は、アルキメデスが知っていた、抽象的な数学的観念を自然現象の実験的探究と結びつけるという秘訣を再発見した。その一方で、数学の緩やかな進歩と正確な天文学的知識の蓄積により、自然哲学者は研究において以前よりもはるかに有利な立場に置かれるようになっていた。また、その時代の極めて利己的な自己主張や、個人的な経験に対する貪欲さは、思想家たちに何が起こるのかを自らの目で確かめたいという欲求を抱かせ、帰納的推論における数学的理論と実験の関係という秘訣が実質的に発見されるに至った。哲学者であるガリレオが、
ピサの斜塔から重りを落とした。世の中には常に思索する人間と行動する人間がいる。数理物理学とは、思索への衝動と行動への衝動を同一人物の中に兼ね備えた時代が生み出した産物である。
重りを落下させるというこの件は、
その塔は、知識における不可欠な一歩を絵画のように象徴している。それは、この主題全体の基礎科学である力学の正しい概念を初めて獲得したことに劣らぬ重要な一歩である。議論の焦点となっていた特定の論点は、異なる重さの物体が同じ高さから落下する際、同じ時間で地面に到達するか否かという点であった。その時代まで広く信じられていたアリストテレスの学説によれば、重いものほど速く落下するとされていた。ガリレオは、それらは同じ時間で落下すると主張し、斜塔の頂上から重りを落とすことで自身の説を証明した。この法則に対する見かけ上の例外はすべて、極端な軽さや非常に速い速度など、何らかの理由で空気抵抗が無視できなくなる場合に生じるものである。しかし、空気を無視すれば、その法則は正確である。
ガリレオの実験の成功は、決して
単なる幸運な推測の結果ではない。それは慣性と質量に関する彼の正しい考えから生じたものである。ニュートンに従って私たちが現在定義している運動の第一法則とは、すなわち――すべての
物体はその静止状態、あるいは等速
外力によってその状態を変化させられることを強制されない限り、直線上を等速で運動し続ける。この法則は、単なる乾いた公式以上のもの、すなわち打ち負かされた異端者たちに対する勝利の凱歌でもある。論点は、この法則から「または直線上を等速で運動し続ける」という句を削除してみれば理解できる。そうすれば、アリストテレス的な対立公式と見なされうるものが得られる。「あらゆる物体は、外力によってその状態を変化させられることを強制されない限り、静止の状態を続ける」。
この最後の誤った公式においては、力とは別に、物体は静止状態を継続すると主張されている。したがって、物体が運動している場合には、その運動を維持するために力が必要であり、力が止まれば運動も止まるということになる。ニュートンの真の法則は、これとは正反対の視点をとる。力が作用していない物体の状態とは、等速直線運動の状態であり、この等速直線運動の原因として、あるいは、あえてそう表現するならば、この運動に不変に伴うものとして、いかなる外力や影響も求めるべきではない。静止とは、そのような運動の特殊な一例にすぎず、速度がゼロであり、かつゼロのままである場合にすぎない。したがって、物体が運動しているとき、我々は速度の変化や方向の変化を説明する場合を除いて、いかなる外的影響も探求しない。物体が移動している限り、
同じ割合で同じ方向に進むのであれば、いかなる力も借りる必要はない。
この二つの視点の違いは、惑星の運動理論を参照することでよく理解できる。コペルニクスは、ある
西プロイセンのトルンで生まれたポーランド人（1473年生まれ、1543年没）は、地球を含む惑星が太陽の周りをほぼ円形の軌道で公転していると考える方がどれほど単純であるかを示した。そして後にケプラーが、
あるドイツの数学者が1609年に証明したところによれば、実際の軌道は事実上楕円、すなわち特殊な種類の卵形曲線なのである。
これについては後ほど詳しく検討することにする。ただちに、惑星をこの運動に保たせている力とは何であるかという疑問が生じた。古く誤った見解によれば、
ケプラーによって保持された、実際に必要とされる速度そのもの
強制による維持。そこで彼は、図（[fig:4]4）に示すような接線方向の力を探求した。しかしニュートンの法則によれば、何らかの力が働かない限り、惑星は現在の速度で永久に直進し続け、太陽から完全に遠ざかってしまうはずである。したがって、ニュートンは探求せざるを得なかった
5を楕円軌道へと曲げる力についてである。彼は、この力が次の図（[fig:5]5）に示すように、太陽に向かう力でなければならないことを示した。実際、この力とは、前述した距離の逆二乗の法則に従って作用する太陽の重力による引力のことである。
力学という科学は、
ギリシア人は、使用によって得られる機械的利得の理論に関する考察から
てこの原理、そして物体の重量に関連する様々な問題の考察から生じたものである。前述の通り、十六世紀末から十七世紀にかけて、それは最終的に真の基礎の上に置かれることとなった。その目的の一部は落体の理論を説明することにあったが、主たる目的は惑星運動の科学的理論を構築することにあった。しかし、それ以来、力学はより野心的な課題を自らに課すようになり、現在では他の諸科学を分科とする究極の科学であると主張するに至っている。その主張とは、すなわち、感覚によって知覚される事物の様々な性質は、空間に存在する事物の位置の変化を我々が認識する独特の様式に過ぎない、というものである。例えば、ウェストミンスター寺院を眺めるとしよう。それは何世紀もの間、灰色で動かぬ姿でそこに佇んでいる。しかし、現代の科学理論によれば、建物の不動の感覚をこれほどまでに強めているその灰色さ自体が、建物の外表面を形成し、エーテルと呼ばれる物質に振動を伝えている究極の分子の急速な運動を、我々が認識する方法に過ぎないのである。また、我々がその石に手を触れ、建物の静かな安らぎを象徴するような、冷たく一定の温度を感じ取るとしよう。しかし、この温度の感覚は、単に熱が移動していることを我々が感じ取っているに過ぎないのである。
手から石へ、あるいは石から手へ。そして現代科学によれば、熱とは物体の分子の運動にほかならない。やがてオルガンが鳴り響き始め、これまた音とは、空気の振動が耳の鼓膜を打つことの結果にほかならない。
したがって、諸現象を力学的に説明しようとする試みとは、ある物質や物体がかつてこの場所にあったものが、今はあの場所にあるといった一般的な形式の言明によって、それらを説明しようとする試みにほかならない。こうして我々は、現代科学の偉大なる基礎的理念、すなわち、我々のあらゆる感覚とは、さまざまな時点における空間内の事物の配置の変化を比較した結果であるという考えに到達する。したがって、運動の法則、すなわち事物の配置の変化に関する法則こそが、物理科学における究極の法則であるという結論が導かれる。
自然哲学の探究に数学を応用する際、科学は日常的な思考が何気なく行っていることを体系的に行う。私たちが椅子について語るとき、通常は私たちが何らかの形で見ていたり触れていたりするものを指している。もっとも、私たちの言語の大部分は、私たちの視覚や感覚とは独立して存在する何ものかがあるという前提に基づいている。さて、数理物理学においては、これとは逆の道がとられる。椅子は、いかなる言及もなされることなく概念化される。
特定の誰か、あるいは特定の知覚様式に向けられたものではない。その結果として、椅子は思考のなかで、空間内の分子の集合体、あるいは電子の集まり、運動するエーテルの断片、あるいはその時々の科学的観念が記述するいかなるものへと変貌する。しかし肝要なのは、科学が椅子を、空間内を運動し、互いの運動に影響を及ぼし合う事象へと還元するということである。そうして概念化された一連の状況に組み込まれる諸要素や諸因子は、結局のところ、線分の長さ、角の大きさ、面積、体積といった、空間内における物体の位置を確定するためのものに過ぎない。もちろん、こうした幾何学的要素に加え、運動と変化という事実が、それらの要素の変化率、すなわち速度、角速度、加速度といった事柄の導入を不可欠なものとする。したがって、数理物理学は、自然界に存在する幾何学的要素の尺度とその変化率との間の相関関係を表現するものと想定される、変数間の相関関係を扱うことになる。しかし、数学的法則が扱うのは常に変数であり、具体的な数値が代入されるのは、実験との照合によって法則を検証する際や、特定の予測のために法則を用いる際といった、例外的な場合に限られるのである。
世界についての興味深い点は、
数理物理学の研究において、このように抽象的な方法で概念化されると、そこでは物体の位置と形状、およびそれらの変化のみが考慮されるわけだが、そのような抽象的世界の出来事が、我々の感覚を「説明」するのに十分であるということになる。我々が音を耳にするとき、空気の分子はある特定の仕方で攪乱されている。この攪乱、あるいは空気の波と呼ばれるものが存在すれば、すべての正常な人間は音を聴く。そして、空気の波がなければ、音は存在しない。同様に、物理的な原因や起源、あるいは並行する出来事（人によって言い方は異なるだろうが）が、我々の他の感覚の根底にも存在している。我々の思考そのものが、脳の構造や運動に対応しているように見える。脳を損傷すれば、思考も損傷する。その一方で、この物理的宇宙の出来事は、あらゆる特殊な感覚や思考、感情を無視した数学的法則に従って次々と起こっていくのである。
さて、疑いなく、これが数理物理学の世界と我々の感情、感覚、思考との関係に関する一般的な様相であり、このことをめぐって多大な論争が巻き起こり、多くのインクが費やされてきた。我々はただ一つの点に留意すればよい。見てきたように、この状況全体は、我々個々人のさまざまな感覚や感情を「説明」しうる外部世界を記述しようとする試みから生じたものであるが、しかし、その世界は
また、特定の感覚や特定の個人に本質的に依存するものでもない。そのような世界は、単なる巨大なおとぎ話にすぎないのだろうか？しかし、おとぎ話というものは空想的で恣意的なものである。もし真にそのような世界が存在するのであれば、それは厳密な記述に従うはずであり、その記述によって世界のさまざまな部分やそれらの相互関係が正確に決定されるはずである。さて、この科学的な世界は、かなりの程度において、まさにこの試練に耐え、その出来事が抽象的な数学的概念という装置によって探究され、予測されることを許容している。ここにおいて、我々の当初の仮定に対する帰納的な検証が得られていることは確かであるように思われる。帰納的な証明がいかなるものも決定的ではないことは認めざるを得ない。しかし、我々の個別の知覚とは独立して存在する世界という概念全体が誤りであるとするならば、なぜその世界に適用されうる数学的な概念の残滓を用いてそれを特徴づけようとする試みが、これほどまでに驚くべき成功を収めるのか、慎重に説明する必要があるだろう。
……に立ち入ることは、本題から大きく逸れることになる。
その他の運動法則に関する詳細な説明。本章の残りの部分は、数理物理学および純粋数学の双方にとって極めて重要である、注目すべき概念の解説に充てなければならない。すなわち、ベクトル量という概念と、ベクトル加法における平行四辺形の法則である。我々は
運動の本質とは、ある物体がかつてにあり、今はにあるということであると見てきた。このからへの移動が完全に決定されるためには、二つの明確な要素、すなわちその大きさ（すなわち線分の長さ）と、その方向を確定させる必要がある。さて、この移動のように、大きさ6と方向の決定によって完全に与えられるあらゆるものは、ベクトルと呼ばれる。例えば、速度はその定義において、大きさの指定と方向の指定を必要とする。それは、「時速何マイルで、どのような方向へ」というものでなければならない。速度の決定におけるこれら二つの要素の存在と独立性は、船長の行動によってよく説明される。船長はそれらに関して異なる部下に指示を出す。彼は機関長には航行すべきノット数を伝え、操舵手には方位磁石の（指し示す）方向を伝えるのである。
進むべき進路の方位。また、速度の変化率、すなわち単位時間あたりに加えられる速度もまたベクトル量であり、これは加速度と呼ばれる。同様に、力学的な意味での力もまた別のベクトル量である。実際、力のベクトル的性質は、速度や加速度のベクトル的性質から力学の原理に従って直ちに導かれるものであるが、この点については深入りする必要はない。ここでは、力とはある物体に対して、ある大きさで、ある方向に作用するものだと言えば十分である。
今や、すべてのベクトルは直線によって図示することができる。必要なのは、以下の二点を整えることだけである。(i) ベクトルの大きさの単位と長さの単位を対応させる尺度（例えば、速度であれば1インチを時速10マイルに、力であれば1インチを10トン重の力に対応させるなど）と、(ii) 図上での線の方向を、ベクトルの方向に対応させることである。そうすれば、任意の大きさの尺度に基づき、適切な長さのインチ数で適切な方向に引かれた線が、求めたいベクトルを表すことになる。このベクトルを図式的に表現する方法は、極めて重要である。これを用いることで、同種ではあるが方向の異なるベクトルを加算するための、有名な「平行四辺形の法則」を明示することができる。
[図]6におけるベクトルを代表例として考える
物体が から へと位置を変えることについて、これを我々は移動のベクトルと呼ぶことにする。前述のように物理現象を単なる位置の変化へと還元することが正当であるならば、他のあらゆる種類の物理的ベクトルも、何らかの形でこの単一の型に還元可能であることは注目に値する。さて、 から への最終的な移動は、 から への移動と から への移動によって行われるのと同様に、あるいは平行四辺形 を完成させることにより、 から への移動と から への移動によっても等しく達成される。このように連続して適用される移動は、互いに加え合わされると言う。これは、移動の加法によって我々が何を意味するのかを定義したに過ぎない。さらに、平行な直線を同じ方向に引かれた線とみなすならば、 から への移動と から への移動は、それぞれ と という二つの初期位置にある物体に適用された同一の移動として捉えることができる点に留意されたい。この概念を用いれば、 から への移動を、例えば にある物体など、いかなる位置にある物体に対しても適用されるものとして語ることができる。したがって、 から への移動は、 から への移動と から への移動を任意の順序で適用した和として考えられると言える。ここに、移動の加法に関する平行四辺形の法則が導かれる。すなわち、移動が から へのものと から へのものである場合、
平行四辺形 を完成させると、その二つの和は対角線 となる。
一見すると、これらすべては非常に人工的なものに思えるかもしれない。しかし、自然そのものが私たちにその概念を提示していることに注目しなければならない。例えば、蒸気船が の方向（[図]6参照）へ移動しており、ある人物がその甲板を横切って歩いているとする。もし蒸気船が静止していれば、その人物は1分で に到達するだろう。しかし、その1分の間に甲板上の出発点 は へと移動し、甲板上の彼の経路は から へと移動している。したがって、実際には彼の移動は海面上で から へと行われたことになる。しかしながら、この移動は二つの移動の和に分解されて私たちに提示されている。すなわち、蒸気船に対する から への移動と、蒸気船の移動である から への移動である。
時間という要素、すなわち1分間を考慮に入れることによって、この人物の移動を表す図形は、彼の速度を表すことになる。なぜなら、がそれだけのフィートの移動を表していたとすれば、今やそれは1分間あたりそれだけのフィートの移動、言い換えれば、その人物の速度を表すことになるからである。そのとき、およびは二つの速度、すなわち蒸気船に対する彼の速度と、蒸気船の速度を表しており、その「和」が彼の完全な速度を構成する。移動に関する図形や定義が、
図を単位時間あたりの移動を表すものと見なすことによって、速度に関する図や定義へと変えられる。同様に、速度に関する図や定義は、図を単位時間あたりに加えられる速度を表すものと見なすことによって、加速度に関する図や定義へと変えられる。
したがって、ベクトル速度およびベクトル加速度の加法とは、平行四辺形の法則に従う加法を意味する。
また、運動の法則によれば、力とは、ある一定の質量を持つ物体に生じさせるベクトル加速度によって完全に表現されるものである。したがって、力の合力を平行四辺形の法則に従って計算する場合、それらの力は「加え合わされる」と言われることになる。
したがって、以下の基本ベクトルについて
科学、すなわち輸送、速度、および力において、同種の二つの量を加えることは、平行四辺形の法則に従って「合力」ベクトルを生成することである。
平行四辺形の中で最も単純なタイプは長方形であり、純粋数学においては
直角をなす2つの成分ベクトル および に対する単一のベクトル の関係（[図]7参照）は、絶えず繰り返されるものである。、、 の長さをそれぞれ 、、 単位とし、角 の大きさを 単位の角とする。すると、、、 および の間のあらゆる側面における関係性は、純粋数学において絶えず繰り返される主題であり、その結果は数理物理学の基本ベクトルに適用するために必要な形式を備えている。この図は、純粋数学の成果が自然の事実に適用されるために渡る主要な架け橋である。