虚数

もし扱われている数学的アイデアが

前章は世評を博したが、本章の内容もまた、ほぼ同様に世間の注目を集めてきた。しかし、その成功の性質は異なっている。それはフランス語でいうところの「スキャンダルによる成功（succès de scandale）」であった。実務家のみならず、文学者や哲学者までもが、数学者たちが「虚数」という名そのものによって自ら想像上の存在であると認めているものに傾倒していることに対し、困惑を表明してきたのである。ここで、ある種の知性は、専門用語の適用可能性をめぐる議論によって、常に自分自身や他人を悩ませているという点に注目しておくのが有益であろう。無理数は正当に数と呼べるのか？正の数や負の数は本当に数なのか？虚数は想像上のものなのか、そしてそれらは数なのか――といった問いは、そのような無益な疑問の典型である。さて、科学において専門用語とは、洗礼名のように恣意的に割り当てられた名称に過ぎないということを、十分に理解しておく必要がある。

子供たちに名前をつけること。その名が正しいか間違っているかなどという議論の余地はない。賢明な名であることもあれば、不適切な名であることもある。というのも、名前というものは、覚えやすくしたり、あるいは関連する重要な概念を想起させるように工夫されることもあるからだ。しかし、この問題の本質的な原則は、『不思議の国のアリス』の中でハンプティ・ダンプティがアリスに語った言葉に極めて明快に示されている。彼は自身の言葉の使い方についてこう言った。「私は彼らに割増賃金を払って、自分の好きな意味を持たせているのだ」。だから我々も、虚数が「虚」であるか、あるいはそれが「数」であるかといったことにはこだわらないことにしよう。この語句を、ある数学的概念に対する恣意的な名前として受け入れ、これからその概念を明らかにしていこうと思う。

この概念の起源は、正の数および負の数のそれとあらゆる点で類似している。まったく同様に、それは変数、代数的形式、そして一般化という三つの偉大な数学的理念に由来するものである。正の数と負の数は、 $x + 1 = 3$ 、 $x + 3 = 1$ 、そして一般形式である $x + a = b$ のような方程式の考察から生じた。同様に、虚数の起源もまた、 $x^{2} + 1 = 3$ 、 $x^{2} + 3 = 1$ 、そして $x^{2} + a = b$ のような方程式に由来する。まったく同じ過程が踏まれているのである。方程式 $x^{2} + 1 = 3$ は $x^{2} = 2$ となり、これには $x = + \sqrt{2}$ または $x = - \sqrt{2}$ という二つの解が存在する。これらの選択肢が存在するという言明は

解は通常 $x = \pm \sqrt{2}$ と書かれる。ここまでは前述の例と同様、すべて順風満帆である。しかし今、同様の困難が生じる。方程式 $x^{2} + 3 = 1$ は $x^{2} = - 2$ を与えるが、自分自身を掛けて負の平方になるような正の数も負の数も存在しないからである。したがって、我々の記号が通常の正または負の数を意味するならば、 $x^{2} = - 2$ に解は存在せず、この方程式は事実上無意味である。こうして最終的に一般形 $x^{2} + a = b$ をとると、 $b$ が $a$ 未満でない場合に限り、 $x = \pm \sqrt{(b - a)}$ という一対の解が得られる。したがって、「定数」 $a$ と $b$ はどのような数であってもよいとは無制限には言えない。つまり、「定数」 $a$ と $b$ は、本来そうあるべき独立した無制限の「変数」ではないのである。そのため、我々が作業を進めるにつれて、再び多くの制限や制約が積み重なっていくことになる。

したがって、我々を待ち受けているのは前回と同様の課題である。すなわち、方程式 $x^{2} + a = b$ の解 $\pm \sqrt{(b - a)}$ が常に意味を持つように、我々の記号に新たな解釈を与えなければならない。言い換えれば、 $a$ が正であろうと負であろうと、 $\sqrt{a}$ が常に意味を持つような記号の解釈が必要なのである。もちろん、その解釈は、加法、減法、乗法、除法に関する通常の形式的法則のすべてが有効であり続けるようなものでなければならない。また、それは……を妨げるものであってはならない。

正の数と負の数を用いることによって我々が到達した一般性。実際、それはある意味でそれらを特殊なケースとして含んでいなければならない。 $a$ が負であるとき、我々はそれを $- c^{2}$ と書くことができる。したがって $c^{2}$ は正である。そのとき

$\sqrt{a} & = \sqrt{(- c^{2})} = \sqrt{{(- 1) \times c^{2}}} & = \sqrt{(- 1)} \sqrt{c^{2}} = c \sqrt{(- 1)} .$

したがって、もし我々が記号を解釈し直すことで $\sqrt{(- 1)}$ に意味を持たせることができれば、我々の目的は達成されたことになる。こうして $\sqrt{(- 1)}$ は、あらゆる虚数の筆頭にして最前線とみなされるようになったのである。

$\sqrt{(- 1)}$ の解釈を見出すというこの仕事は、 $- 1$ を解釈するという類似の仕事に比べてはるかに困難なものである。実際、より容易な問題はそれが持ち上がるやいなやほとんど直感的に解決されたのに対し、こちらに関しては、解決の可能性があるかもしれない問題が存在しているということすら、当初は偉大な数学者たちの頭にさえほとんど浮かばなかったのである。 $x^{2} = - 3$ のような方程式は、それが現れたときには、単に無意味なものとして退けられていた。

しかし、18世紀、あるいはそれよりも早い時期から、こうした無意味な記号に何らかの解釈を与えることができれば、どれほど便利だろうかということが徐々に認識されるようになった。これらの記号を用いた形式的な推論は、それらが通常の（法則に）従うものと単に仮定することによって行われた。

代数的変換法則。そして、もしこれらの記号が正当に使用されさえすれば、興味深い結果からなる広大な世界に到達しうることが見出された。当時の多くの数学者は、自分たちの手続きの論理について必ずしも明確ではなく、意味を持たない記号であっても、適切な操作によって命題の妥当な証明が得られるという考えが広まった。これほど誤った考えはない。適切に定義されていない記号は、記号ですらない。それは単に、容易に識別可能な形をした、紙の上のインクの染みにすぎない。インクの染みの連続によって証明できることなど、質の悪いペンか不注意な書き手の存在以外には何もない。 $\sqrt{(- 1)}$ に「虚数（imaginary）」という形容詞が当てられるようになったのは、まさにこの時代のことである。これらの数学者が実際に証明することに成功していたのは、一連の仮定的な命題であり、その空欄を埋める形式は次のようなものである。すなわち、 $\sqrt{(- 1)}$ 、および $\sqrt{(- 1)}$ の加法、減法、乗法、除法に対して、通常の代数規則（例： $x + y = y + x$ など）を満たすような解釈が存在するならば、かくかくしかじかの結果が導かれる、というものである。数学者たちが、自分たちの結果の記述に先立って置かれるべき大きな「もし（If）」を、必ずしも正当に評価していなかったのは自然なことであった。

予想される通り、その解釈は、

発見されたときには、負の数のそれよりもはるかに手の込んだ事柄であり、読者にはあらかじめ慎重な説明に注意を向けていただく必要がある。我々はすでに、2つの数による点の表現について触れてきた。正の数と負の数を用いることで、今や平面上のいかなる点の位置も、そのような数の組によって表すことができる。そこで、我々がすべての測定の起点とする「軸」として、直交する2本の直線 $X O X^{'}$ と $Y O Y^{'}$ をとることにする。 $O X$ および $O Y$ に沿って測定される長さは正であり、 $O X^{'}$ および $O Y^{'}$ に沿って逆方向に測定される長さは負である。例えば $(+ 3, + 1)$ のように、順序立てて書かれた数の組を想定すると、そこでは

は第一の数（上の例では $+ 3$ ）、第二の数（上の例では $+ 1$ ）であり、第一の数は $X O X^{'}$ に沿って、 $O$ からの測定値を表し、第二の数は $Y O Y^{'}$ に沿っての測定値を表す。したがって（[図]9 参照）、 $(+ 3, + 1)$ においては、 $3$ 単位の長さを $X O X^{'}$ に沿って正の方向に、すなわち $O$ から $X$ に向かって測定し、 $+ 1$ の長さを $Y O Y^{'}$ に沿って正の方向に、すなわち $O$ から $Y$ に向かって測定することになる。同様に $(- 3, + 1)$ においては、 $3$ 単位の長さを $O$ から $X^{'}$ に向かって測定し、 $1$ 単位の長さを $O$ から $Y$ に向かって測定する。また $(- 3, - 1)$ においては、これら二つの長さはそれぞれ $O X^{'}$ および $O Y^{'}$ に沿って測定され、 $(+ 3, - 1)$ においてはそれぞれ $O X$ および $O Y^{'}$ に沿って測定される。いまのところ、このような数の組を「順序対（ordered couple）」と呼ぶことにしよう。すると、二つの数 $1$ と $3$ からは、八つの順序対を作り出すことができる。すなわち

これら8つの「順序対」のそれぞれは、 $X O X^{'}$ および $Y O Y^{'}$ に沿った測定のプロセスを指示するものであり、その指示内容は他のいずれとも異なるものである。

前述の最後の4つの順序対によって表される測定の過程を、図に絵で示した。長さ $O M$ と $O N$ は合わせて、

$(+ 3, + 1)$ に対して、 $O M^{'}$ と $O N$ の長さの組み合わせは $(- 3, + 1)$ に、 $O M^{'}$ と $O N^{'}$ の組み合わせは $(- 3, - 1)$ に、そして $O M$ と $O N^{'}$ の組み合わせは $(+ 3, - 1)$ に対応する。しかし、様々な長方形を完成させることによって、点 $P$ は順序対 $(+ 3, + 1)$ によって完全に決定され、またそれを決定していること、点 $P^{'}$ は $(- 3, + 1)$ によって、点 $P^{″}$ は $(- 3, - 1)$ によって、そして点 $P^{‴}$ は $(+ 3, - 1)$ によって決定されていることが容易に理解できる。より一般的に、前述の図（[fig:8]8）において、点 $P$ は順序対 $(x, y)$ に対応する（ここで図中の $x$ と $y$ は共に正であると仮定する）。点 $P^{'}$ は $(x^{'}, y)$ に対応し（ここで図中の $x^{'}$ は負であると仮定する）、 $P^{″}$ は $(x^{'}, y^{'})$ に、そして $P^{‴}$ は $(x, y^{'})$ に対応する。したがって、順序対

$(x, y)$ という組（ここで $x$ と $y$ は任意の正または負の数である）と、それに対応する点とは、互いに一意に決定し合う。この段階で、いくつかの名称を導入しておくと便利である。順序対 $(x, y)$ において、最初の数 $x$ は、その点の「横座標（abscissa）」と呼ばれる。

対応する点であり、2番目の数 $y$ はその点の「縦座標（ordinate）」と呼ばれ、そして

これら二つの数は合わせて「座標」と呼ばれます。

点について。ある点の位置を「座標」によって決定するという考え方は、「虚数」の理論が形成されていた当時、決して新しいものではなかった。それは偉大なフランスの哲学者、デカルトによるものであった。

数学者であり哲学者でもあった彼は、1637年にライデンで出版された『方法序説』にその姿を現している。順序対という概念がそれ自体で独立した対象として扱われるようになったのは後のことであり、それは虚数を可能な限り抽象的な方法で解釈しようとする試みの帰結であった。

この順序対という考え方のさらなる例証として、[図]9における点 $M$ は対 $(+ 3, 0)$ であり、点 $N$ は対 $(0, + 1)$ であり、点 $M^{'}$ は対 $(- 3, 0)$ であり、点 $N^{'}$ は対 $(0, - 1)$ であり、点 $O$ は対 $(0, 0)$ であることに注目されたい。

順序対 $(x, y)$ を表すもう一つの方法は、点 $P$ ではなく、点線 $O P$ （[図]8参照）を表すものと考えることである。したがって、この順序対は「原点」 $O$ から引かれた、ある特定の

長さとある特定の方向を持つ。線分 $O P$ は $O$ から $P$ へのベクトル線、あるいは $O$ から $P$ へのステップと呼ぶことができる。したがって、本章において我々は、以前に正数および負数に対して与えた解釈を拡張したに過ぎないことがわかる。このベクトルによる表現方法は、非常に

順序対の加法および乗法の演算に割り当てるべき意味を考察する際に有用である。

plus 0.75em minus 0.25em 次にこの問題へ進み、二つの順序対 $(x, y)$ と $(x^{'}, y^{'})$ の加法にどのような意味を割り当てることが好都合であるかを問うことにしよう。その解釈は、(a) 加法の結果が再び一つの順序対となるようにし、(b) 演算が可換、すなわち $(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x^{'}, y^{'}) + (x, y)$ となるようにし、(c) 演算が結合的、すなわち ${(x, y) + (x^{'}, y^{'})} + (u, v) = (x, y) + {(x^{'}, y^{'}) + (u, v)}$ となるようにし、(d) 減法の結果が一意的になるように、すなわち方程式 $(x, y) + (a, b) = (c, d)$ を満たす未知の順序対 $(x, y)$ を求めようとするとき、 $(x, y) = (c, d) - (a, b)$ と表すことのできる答えがただ一つだけ存在するようにしなければならない。

これらすべての必要条件は、 $(x, y) + (x^{'}, y^{'})$ を順序対 $(x + x^{'}, y + y^{'})$ を意味するものとすることで満たされる。したがって、定義により $(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'})$ と置く。ここで、我々が同じ記号 $+$ を異なる意味で用いるという数学上の慣習を採用したことに留意されたい。等式の左辺にある $+$ は、今まさに定義しようとしている $+$ の新しい意味を持っており、一方、右辺にある二つの $+$ は、前章で定義された正の数および負の数（の演算）の加法を意味している。この二重の用法から実用上の混乱が生じることはない。

加法の例としては、以下が挙げられます。

引き算の意味は、これで確定した。 $(x, y) - (u, v) = (x - u, y - v)$ であることがわかる。したがって、 $(+ 3, + 2) - (+ 1, + 1) = (+ 2, + 1)$ であり、 $(+ 1, - 2) - (+ 2, - 4) = (- 1, + 2)$ であり、そして $(- 1, - 2) - (+ 2, + 3) = (- 3, - 5)$ となる。

$(x, y) - (u, v) = (x, y) + (- u, - v)$ であることは容易にわかる。また、 $(x, y) - (x, y) = (0, 0)$ である。したがって、 $(0, 0)$ は零順序対とみなされるべきである。例えば、 $(x, y) + (0, 0) = (x, y)$ となる。

順序対の加法の図示は、驚くほど容易である。10

plus 0.75em minus 0.25em $O P$ を $(x, y)$ と表し、 $O M = x$ 、 $P M = y$ とする。また、 $O Q$ を $(x_{1}, y_{1})$ と表し、 $O M_{1} = x_{1}$ 、 $Q M_{1} = y_{1}$ とする。点線 $P R$ および $Q R$ によって平行四辺形 $O P R Q$ を完成させると、対角線 $O R$ は順序対 $(x + x_{1}, y + y_{1})$ となる。なぜなら、 $P S$ を平行に引くと

$O X$ へ。すると明らかに、三角形 $O Q M_{1}$ と $P R S$ はあらゆる点において合同である。したがって $M M^{'} = P S = x_{1}$ であり、 $R S = Q M_{1}$ であるから、

$O M^{'} = O M + M M^{'} = x + x_{1}, R M^{'} = S M^{'} + R S = y + y_{1} .$

したがって、 $O R$ は必要とされる順序対を表す。この図は、 $O P$ と $O Q$ を他の象限に取って描くこともできる。

ここにおいて我々が平行四辺形の法則に立ち返ったことは一目瞭然であり、それは

VI.の運動法則において、速度および力に適用されるものとして言及された。思い出されるであろうが、 $O P$ と $O Q$ が二つの速度を表す場合、ある粒子が $O R$ という速度で移動しているならば、その粒子は二つの速度を足し合わせた速度で移動していると言われる。言い換えれば、 $O R$ は二つの速度 $O P$ と $O Q$ の合力であると言われる。同様に、物体の点に作用する力も、速度と同様に線分によって表すことができる。そして、同じ平行四辺形の法則が成立する。すなわち、二つの力 $O P$ と $O Q$ の合力は、対角線 $O R$ によって表される力である。したがって、順序対を速度や力を表すものと見なすことができ、我々が先ほど示した順序対の加法に関する規則は、力の加法に関する力学の基本法則を表すことになる。そして

速度。数学の最も魅力的な特徴の一つは、数学の異なる分野における概念や結果が、驚くほど見事に噛み合うことである。本章および前章の議論において、我々は純粋数学の最も抽象的な考察のみに導かれてきた。それにもかかわらず、その結末において我々は、自然界の最も根本的な法則へと立ち返ることとなった。それらの法則は、技術者がエンジンを設計する際にも、造船技師が船の安定性を計算する際にも、常に念頭に置かなければならないものである。我々が最も理論的な思索に耽っている時こそ、最も実践的な応用へと近づいているのだと言っても、決して逆説ではないのである。

[虚数] VIII虚数（続き）

順序対の乗法の定義は、その加法の定義と全く同じ考慮事項に導かれている。乗法の解釈は、次のようなものでなければならない。

() その結果は、もう一つの順序対となる。

() 演算は可換であるため、 $(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = (x^{'}, y^{'}) \times (x, y)$ が成り立つ。

() 演算は結合的であり、 ${(x, y) \times (x^{'}, y^{'})} \times (u, v) = (x, y) \times {(x^{'}, y^{'}) \times (u, v)}$ が成り立つ。

（　）は、除算の結果を一意にしなければならない［ただし、零の組 $(0, 0)$ の場合は例外とする］。そうすることで、方程式 $(x, y) \times (a, b) = (c, d)$ を満たす未知の組 $(x, y)$ を求めようとするとき、解がただ一つ存在することになり、それを $(x, y) = (c, d) \div (a, b)$ 、あるいは $(x, y) = \frac{(c, d)}{(a, b)}$ と表すことができる。

() さらに、加法と乗法双方に関わる法則、すなわち分配法則も満たされなければならない。それは次のようなものである。

これらすべての条件 ()、()、()、()、() は、一見複雑に見えるものの、単純な幾何学的解釈が可能な解釈によって満たすことができる。

定義により、 $(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = {(x x^{'} - y y^{'}), (x y^{'} + x^{'} y)}$ とおく。 \tag*{\quad\ensuremath{(A)}}$

これは、二つの順序対の間に記号 $\times$ が書かれたときのその意味の定義である。この定義から、乗算の結果が別の順序対となること、および式 (A) の右辺の値が $x$ と $x^{'}$ 、そして $y$ と $y^{'}$ を同時に入れ替えても変化しないことは明白である。したがって、条件 () および () が満たされていることは明らかである。()、()、() が満たされていることの証明も、幾何学的な解釈を与えれば同様に容易であり、それについてはこれからすぐに行う。しかしその前に、これらすべての精緻な議論を開始した目的を我々が達成できたかどうか、立ち止まって確認してみることは興味深いことであろう。

私たちは $x^{2} = - 3$ という形の式に出くわしましたが、これには解を求めることができませんでした。

正の数と負の実数という観点から割り当てた。そのとき、もし我々が方程式 $x^{2} = - 1$ を解釈することができれば、すなわち $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ となるように $\sqrt{(- 1)}$ を定義することができれば、あらゆる困難が解消されるであろうという結論に達した。

さて、ここで三つの特別な

順序対今後、私たちは可能な限り $+$ 記号を省略する慣習に従うこととする。したがって $(1, 0)$ は $(+ 1, 0)$ を表し、 $(0, 1)$ は $(0, + 1)$ を表すものとする。 $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 、そして $(0, 1)$ 。

$(x, y) + (0, 0) = (x, y)$ であることはすでに証明した。

さらに、 $(x, y) \times (0, 0) = (0, 0)$ が成り立つ。

したがって、加法においても乗法においても、組 $(0, 0)$ は初等算術や代数学におけるゼロの役割を果たす。上の式を $x + 0 = x$ および $x \times 0 = 0$ と比較せよ。

改めて $(1, 0)$ について考えてみよう。これは初等算術や代数学における $1$ の役割を果たすものである。これらの初等的な学問において、 $1$ の特別な性質とは、すべての $x$ の値に対して $x \times 1 = x$ が成り立つことである。さて、我々の乗法の法則によれば、 $(x, y) \times (1, 0) = {(x - 0), (y + 0)} = (x, y)$ となる。

したがって、 $(1, 0)$ が単位対である。

最後に $(0, 1)$ について考えよう。これは我々にとって、 $\sqrt{(- 1)}$ という記号を解釈するものとなる。したがって、この記号は $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ という特性を備えていなければならない。さて、順序対の乗法法則によれば、 $(0, 1) \times (0, 1) = {(0 - 1), (0 + 0)} = (- 1, 0)$ となる。

しかし、 $(1, 0)$ は単位対であり、 $(- 1, 0)$ は負の単位対である。したがって、 $(0, 1)$ が所望の性質を持つことになる。もっとも、 $- 1$ の平方根には考慮すべき二つの根、すなわち $\pm \sqrt{(- 1)}$ が存在する。ここで $(0, - 1)$ を考えてみよう。ここでも $(- 1)^{2} = 1$ であることを念頭に置けば、 $(0, - 1) \times (0, - 1) = (- 1, 0)$ となることがわかる。

したがって、 $(0, - 1)$ は $- 1$ のもう一つの平方根である。これに従えば、順序対 $(0, 1)$ と $(0, - 1)$ は、順序対の観点から見た $\pm \sqrt{(- 1)}$ の解釈となる。しかし、どちらがどちらに対応するのだろうか？ $(0, 1)$ が $+ \sqrt{(- 1)}$ に対応し、 $(0, - 1)$ が $- \sqrt{(- 1)}$ に対応するのか、それとも $(0, 1)$ が $- \sqrt{(- 1)}$ に、 $(0, - 1)$ が $+ \sqrt{(- 1)}$ に対応するのか？その答えは、どちらの記法を採用しようとも全く差し支えない、というものである。

順序対は、(i) $x$ も $y$ もゼロではない「複素虚数」型 $(x, y)$ 、(ii) 「実数」型 $(x, 0)$ 、(iii) 「純虚数」型 $(0, y)$ という3つの型に分けることができる。これらの型の相互関係について考察しよう。まず、「複素虚数」型どうしを掛け合わせると

組 $(x, y)$ と「実」の組 $(a, 0)$ について、 $(a, 0) \times (x, y) = (a x, a y)$ が得られる。

したがって、その効果は単に組 $(x, y)$ の各項に正または負の実数 $a$ を乗じることである。

次に、「複素虚数」の組 $(x, y)$ と「純虚数」の組 $(0, b)$ を掛け合わせると、 $(0, b) \times (x, y) = (- b y, b x)$ となることがわかる。

ここでの効果はより複雑であり、さらに特殊な3つの事例を指摘した後に進む幾何学的な解釈によって、最もよく理解される。

第三に、「実数」の組 $(a, 0)$ に虚数の組 $(0, b)$ を掛けると、 $(a, 0) \times (0, b) = (0, a b)$ が得られる。

第四に、二つの「実」対 $(a, 0)$ と $(a^{'}, 0)$ を掛け合わせると、 $(a, 0) \times (a^{'}, 0) = (a a^{'}, 0)$ を得る。

第五に、二つの「虚数対」 $(0, b)$ と $(0, b^{'})$ を掛け合わせると、 $(0, b) \times (0, b^{'}) = (- b b^{'}, 0)$ を得る。

次に幾何学的な解釈へと移るが、まずはいくつかの特殊なケースから始めることにする。

組 $(1, 3)$ と $(2, 0)$ を取り、方程式 $(2, 0) \times (1, 3) = (2, 6)$ を考える。 11

図（[fig.]11）において、ベクトル $O P$ は $(1, 3)$ を、ベクトル $O N$ は $(2, 0)$ を、そしてベクトル $O Q$ は $(2, 6)$ を表している。したがって、積 $(2, 0) \times (1, 3)$ は、ベクトル $O Q$ の長さをベクトル $O P$ と $O N$ の長さの積と見なし、（この場合） $O P$ を $Q$ まで延長して必要な長さとすることによって、幾何学的に求められる。さらに、積 $(0, 2) \times (1, 3)$ について考えると、 $(0, 2) \times (1, 3) = (- 6, 2)$ となる。

ベクトル $O N_{1}$ は $(0, 2)$ に対応し、ベクトル $O R$ は $(- 6, 2)$ に対応する。したがって、 $O R$ は

は、新しい積が $O Q$ に対して直角であり、かつ同じ長さであることを表している。 $O Q$ の長さを規定する法則が前述のケースと同じであること、すなわちその長さが掛け合わされる2つのベクトルの長さの積であることに注目されたい。しかし今や、 $O N$ が「横座標」軸 $O X$ 上にある代わりに $O N_{1}$ が「縦座標」軸 $O Y$ 上にあるため、 $O P$ の向きは直角分だけ回転している。

これまでの乗法の例において、我々はベクトル $O P$ がベクトル $O N$ および $O N_{1}$ によって修飾されるものと見なしてきた。この思考の順序を逆転させ、ベクトル $O N$ および $O N_{1}$ がベクトル $O P$ によって修飾されるものと考えることで、方向に関する一般法則の手がかりが得られるはずである。長さに関する法則は影響を受けず、結果として得られる長さは、二つのベクトルの積の長さとなる。拡大された $O N$ （すなわち $O Q$ ）の新しい方向は、 $O X$ から $O Y$ へ向かう（反時計回りの）回転方向に、角 $X O P$ と等しい角度だけ回転させることによって求められる。この回転によって $O Q$ が $O P$ と同一直線上に重なるのは、この特定の事例における偶然に過ぎない。同様に、 $O N_{1}$ と $O P$ の積を考える。拡大された $O N_{1}$ （すなわち $O R$ ）の新しい方向は、 $O N$ を反時計回りの回転方向に、角 $X O P$ と等しい角度だけ回転させることによって求められる。すなわち、角 $N_{1} O R$ は角 $X O P$ と等しい。

乗法の幾何学的表現に関する一般的な規則は、次のように述べることができる。12

2つのベクトル $\vec{O P}$ と $\vec{O Q}$ の積はベクトル $\vec{O R}$ であり、その長さは $\vec{O P}$ と $\vec{O Q}$ の長さの積に等しく、その向き $\vec{O R}$ は、角 $X O R$ が角 $X O P$ と角 $X O Q$ の和に等しくなるようなものである。

したがって、ベクトル $O P$ がベクトル $O Q$ を角 $X O P$ だけ回転させると考えることも（すなわち、 $角 Q O R = 角 X O P$ ）、あるいはベクトル $O Q$ がベクトル $O P$ を角 $X O Q$ だけ回転させると考えることもできる（すなわち、 $角 P O R = 角 X O Q$ ）。

我々は、この一般法則を証明しない。なぜなら、我々は

それによって、本書の意図する範囲を超えるような、より専門的な数学の過程へと導かれることになるだろう。しかし、今や乗法に関する結合法則〔上記で（）と番号を振ったもの〕が満たされていることが直ちに見て取れる。まず、合成ベクトルの長さを考えてみよう。これは実数の通常の乗法過程によって得られるものであり、したがって、それについては結合法則が成り立つのである。

繰り返すが、合成ベクトルの向きは単なる角度の加算によって得られ、この過程においても結合法則が成り立つ。

掛け算については以上である。我々は今、加法と乗法を考察することによって、同一平面上のベクトルの代数、すなわち「計算体系」をいかに構築し得るかを概説した。この体系においては、平面上の任意の二つのベクトルを加算、減算、あるいは乗算、除算することが可能である。

我々はこれらすべての過程における技術的な詳細については検討してこなかった。なぜなら、そうすれば数学的な細部に深入りしすぎてしまうからである。しかし、我々は一般的な手順については示してきた。このように代数的な記号を解釈する際、我々は「虚数」あるいは「複素」を用いていると言われる。

量」である。これらの用語は単なる細部にすぎず、我々には立ち止まってそれらが適切に選ばれているかどうかを吟味している余裕など、到底ないからである。

我々の調査の最終的な結論は、

$x + 3 = 2$ や $(x + 3)^{2} = - 2$ のような方程式は、今や常にベクトルという言葉で解釈し、その解を求めることができる。こうした解釈を試みるにあたっては、 $3$ が $(3, 0)$ に、$ -2$ が $(- 2, 0)$ に、 $x$ が「未知の」組 $(u, v)$ になることに留意するのがよい。したがって、これら二つの方程式はそれぞれ $(u, v) + (3, 0) = (2, 0)$ および ${(u, v) + (3, 0)}^{2} = (- 2, 0)$ となる。

私たちは今や、代数学の初歩を検討した時点で目に留まった初期の困難を完全に解決した。この解決を経て浮かび上がってきた科学は、私たちが最初に着手したものよりも、概念において遥かに複雑なものとなっている。事実、私たちは新しく、かつ全く異なる科学を創造したのである。それは、旧来の科学が意図されていたあらゆる目的に資するだけでなく、さらに多くの目的にも資するであろう。しかし、この労働の成果を自ら祝う前に、私たちはこの時点で学習者の心に生じているはずの疑念を晴らしておかなければならない。読者が自問すべき問いとは、「こうした新しい解釈の考案は、一体どこで終わるのか？」というものである。確かに私たちは、代数学を解釈することに成功し、 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ のような二次方程式を常に解けるようになった。しかし、 $x^{3} - 2 x + 4 = 0$ や $x^{4} + x^{3} + 2 = 0$ といった、際限なく続く他の無数の方程式が存在する。私たちは、そのたびに

新しい方程式が登場するたびに、新しい科学が生まれるのだろうか？

さて、もしこれが事実であるならば、我々がこれまでに行ってきた探求のすべては、一部の人々には面白く映るかもしれないが、実際には極めて些細な重要性しか持たないことになるだろう。しかし、現代の解析学を可能にした偉大な事実は、このベクトル解析の助けを借りることで、生じるあらゆる公式が適切な解釈を得られ、あらゆる方程式における「未知」の量が何らかのベクトルを示すことを証明できるという点にある。かくして、この学問は、その根本的な概念に関する限り、今や完結したものとなった。それは蒸気機関が完成されつつあったのとほぼ同時期に最終的な形を整えつつあったのであり、その機械の奇妙な標本が、少し前の時代の兜や胸当てと共に博物館に収蔵されるようになってもなお、思考が事物を征服するための偉大かつ強力な武器として残り続けるであろう。