幾何学
幾何学は、数学の他の分野と同様に、
要旨。そこでは、物体の形状や相対的な位置関係の性質が研究される。しかし、誰がその物体を観察しているか、あるいはその人が視覚、触覚、聴覚のいずれを通じて物体を知覚するかを考慮する必要はない。要するに、私たちはあらゆる個別の感覚を捨象するのである。さらに、国会議事堂や地球といった具体的な個別の事物も無視される。あらゆる命題は、しかじかの幾何学的性質を持つあらゆる事物について言及するものである。もちろん、球や円錐、三角形や正方形といった具体的な例を見ることは、私たちの想像力を助けてくれる。しかし、それらの命題は、単に本に印刷された実際の図形にのみ適用されるのではなく、そのようなあらゆる図形に適用されるのである。
かくして幾何学は、代数学と同様に、「任意の」ものや「ある」ものの概念に支配されている。また、それと同じように、幾何学はものの集合の相互関係を研究する。例えば、任意の二つの三角形 と について考えてみよう。
あるものたちの間にどのような関係が存在しなければならないのか
これらの三角形の各部分が、どのような順序であれば、それらの三角形はあらゆる点において等しくなり得るだろうか？ これは、あらゆる初等幾何学において最初に行われる探究の一つである。これは、二つの三角形の間に起こり得るある種の相関関係についての研究である33。その答えは、以下のいずれかの場合に、三角形はあらゆる点において等しくなるというものである。すなわち、――（a）一方の二辺とその挟角が、他方の二辺とその挟角にそれぞれ等しい場合：
あるいは、(b) 一方の二つの角とそのそれらを結ぶ辺が、他方の二つの角とそのそれらを結ぶ辺にそれぞれ等しい場合。
または、(c) 一方の三辺が他方の三辺とそれぞれ等しい場合。
この回答は、ただちにさらなる問いを想起させる。一方の三角形の3つの角が、他方の三角形の3つの角とそれぞれ等しいとき、それら三角形の相関関係はどのような性質を持つのか。このさらなる探究は、我々を相似の理論全体へと導くのである。
（cf. XIII.）は、別の種類の相関関係である。
もう一つの例として、三角形 の内部構造を考えてみよう。その辺と角は相互に関連している。すなわち、大きい角の対辺は大きく、二等辺三角形の底角は等しい。三角法に進めば、この相関関係は、おなじみの や、 という形（およびこれに類する二つの公式）によって、より厳密に規定されることになる。
また、三角形の角のあいだには、さらに単純な相関関係が存在する。すなわち、それらの和は直角二つ分に等しいということである。さらに三辺のあいだにも、すなわち、任意の二辺の長さの和は残る一辺の長さよりも大きいという相関関係が存在する。
したがって、幾何学を学ぶための真の方法とは、三角形、平行四辺形、円といった興味深く単純な図形について考え、それらの各部分の相関関係を研究することである。幾何学者の心の中にあるのは、切り離された命題ではなく、各部分が相互に依存し合う一つの図形である。代数学におけるのと同様に、彼は三角形を多角形へと、そして辺を
円錐曲線。あるいは、逆の道筋をたどって、彼は三角形を正三角形、二等辺三角形、不等辺三角形に分類し、多角形をその辺の数に従って分類し、円錐曲線を双曲線、楕円、放物線に従って分類している。
前述の例は、幾何学の根本的な考え方が代数学のそれと全く同一であることを示している。ただし、代数学が数を扱うのに対し、幾何学は線、角、面積、その他の幾何学的実体を扱うという違いがある。この根本的な同一性こそ、数多くの幾何学的な真理を代数的な装いに着せ替えることができる理由の一つである。したがって、三角形 の各角の度数をそれぞれ 、、 とすれば、角の間の相関関係は方程式 によって表される。また、3辺の長さをそれぞれフィート単位で 、、 とすれば、辺の間の相関関係は 、、 によって表される。さらに、前述の三角法の公式も、同じことの他の例である。
事実である。したがって、変数の概念と変数の相関は、代数学においてと同様に、幾何学においても不可欠なものである。
しかし、幾何学と代数学の間の平行関係は、長さ、面積、体積、そして
角はすべて測定可能である。したがって、例えばいかなる長さの大きさも、ある任意に既知の単位を（必ずしも整数ではない）何倍含んでいるかという数によって決定することができる。面積、体積、そして角についても同様である。前述の三角法の公式は、この事実の例証にほかならない。しかし、この事実が最も優れた形で応用されるのは解析幾何学においてである。この偉大な学問は、しばしば「解析的円錐曲線論」という誤った名称で呼ばれるが、それによって
その細分化された領域のほんの一部にのみ注意を向けている。それはあたかも、鼻が人体において目立つ部位であるという理由だけで、人類学という偉大な学問が「鼻学」と名付けられるようなものである。
幾何学と代数学における数学的手続きは、本質的に同一であり、その発展において密接に絡み合っているとはいえ、空間の性質と数の性質との間には、必然的に根本的な区別が存在する。実のところ、空間と数との間にある本質的な相違はすべて、この点に集約される。空間の「空間性」と数の「数性」とは本質的に異なるものであり、直接的に把握されねばならない。代数学を幾何学へ、あるいは幾何学を代数学へと応用するいかなる試みも、この決定的な区別を消し去る方向へ一歩たりとも近づくことはない。
空間と数とのあいだにある非常に際立った違いの一つは、前者が後者に比べて、はるかに抽象的ではなく、また根本的でもないように思われるという点である。
後者である。大天使の数は、彼らが「物」であるというただそれだけの理由で数えることができる。ラファエル、ガブリエル、ミカエルという名前があり、それら固有の名前が固有の存在を表していると一度知ってしまえば、我々はそれ以上疑う余地もなく、彼らが三体存在することを知るのである。天使の存在の本質に関する世の中のあらゆる詭弁も、前提を認める限りにおいて、この事実を覆すことはできない。
しかし、それらが空間とどのような関係にあるのかについては、依然として全くの暗中模索の状態にある。それらはそもそも空間の中に存在しているのだろうか。おそらく、それらが「ここ」にあるとか、「あそこ」にあるとか、「どこか」にあるとか、「いたるところ」にあると言うこと自体、等しく無意味なのかもしれない。それらの存在は、単に空間上の場所とは何の関係もない可能性がある。したがって、数はあらゆるものに適用されなければならない一方で、空間は必ずしもそうである必要はないのである。
物の局所性という知覚は、我々の感覚の多く、あるいはすべてに付随しているか、あるいはそれらに含まれているように思われる。それは、多くの感覚に付随するという意味において、いかなる特定の感覚からも独立している。しかし、それは我々が感覚によって把握する事物の特別な特性である。物と物との相互の位置関係として我々が意味するものの直接的な把握は、音、色、味、匂いの把握がそうであるのと同様に、それ自体独特（sui generis）なものである。したがって一見したところ、数学は、その範囲内に幾何学を含む限りにおいて、次のような意味で抽象的ではないように思われる。
Iにおいて、それにどのような抽象性が帰せられているか。
しかし、これは誤りである。真実はといえば、
空間の「空間らしさ」というものが、我々の幾何学的な推論の中に一切入り込まないということである。それは、数学者個々人に固有で特殊な仕方で、彼らの幾何学的な直観の中には入り込む。しかし、推論の中に入り込むのは、空間内にある事物、あるいは空間を構成する事物の、単なる特定の性質にすぎず、それらの性質はIで定義された意味において完全に抽象的である。すなわち、これらの性質は、いかなる特殊な空間把握や空間直観、あるいは空間感覚をも伴わない。それらは、数の数学的性質とまったく同じ基盤の上に立っている。したがって、幾何学の研究にとって極めて重要な補助手段である空間直観は、論理的には無関係である。それは、適切に記述された前提の中にも、推論のいかなる段階にも入り込まない。それは、我々の思考を刺激するために不可欠な、例としての実際的な重要性を持っているにすぎない。数に関する我々の思考を刺激するためにも、同様に例が必要である。我々が「2」や「3」について考えるとき、列になった線や、山積みになった球、あるいは特定の事物の他の何らかの物理的な集合を思い浮かべる。幾何学の特殊性は、我々の（思考に）現れる一つの特定の例の固定性と、圧倒的な重要性にある。
心。命題の抽象的な論理形式を完全に述べれば、「もしある事物の集合が、しかじかの抽象的な性質を持つならば、それらはまた、しかじかの別の抽象的な性質も持つ」というものになる。しかし、心眼の前に現れるのは、空間における点、線、面、立体の集合である。この例は必然的に現れるものであり、命題に興味を抱かせる唯一の例でもある。だが、その圧倒的な重要性にもかかわらず、それはあくまで一つの例に過ぎない。
幾何学は、数学的な学問として捉えるならば、より包括的な「順序の科学」の一部門である。これを「次元的順序の科学」と呼ぶこともできる。この「次元的」という限定が導入されたのは、幾何学を順序の一般科学の一部へと縮小させる制約が、直線と平面、そして平面と空間全体との間に規則的な関係を生じさせるような性質のものだからである。
科学的な外的事象の世界という概念を形成する上で、空間が実用的に重要であることは理解しやすい。一方で、私たちの空間知覚はさまざまな感覚と絡み合い、それらを結びつけている。私たちは通常、ある物体を目で見るのと同じ場所に触れていると判断する。たとえ異常な場合であっても、私たちはそれを見ているのと同じ空間内で触れており、これこそが私たちの多様な感覚を結びつける真に根本的な事実なのである。したがって、
空間の知覚とは、ある意味で我々の感覚の共通部分である。また、空間の抽象的な性質が、空間的関心の大部分を占めるということも起こりうる。空間のあらゆる性質に対して、それに対応する抽象的な数学的記述が存在すると言っても過言ではない。最も好ましくない例を挙げるならば、曲線には形状の特別な美しさがあるかもしれない。しかし、その形状には、その形状にのみ付随する何らかの抽象的な数学的性質が対応しているのである。
要約すれば、以下の通りである。(1) 幾何学において探究される空間の諸性質は、数の性質と同様に、事物として事物に属する性質であり、特定の認識様式への特別な言及を伴うものではない。(2) 空間知覚は我々の感覚に随伴するものであり、おそらくはそのすべてに、少なくとも多くには随伴している。しかし、すべての事物が一つの空間、あるいは何らかの空間に存在しなければならないということは、事物の必然的な性質ではないように思われる。