適用方法
数学の応用において、変数が関係式を満たすという考え方がどのように現れるかということは、考察に値するテーマである。この点に時間を割くことで、私たちはこの主題全体に対する考えを整理することができるだろう。
最も単純な例から始めよう。――ある建物の建築費が1立方フィートにつき1シリングであり、20シリングで1ポンドになると仮定する。すると、新しい家を建てるという複雑な状況のすべてにおいて、また家が完成するまでの過程で、施主、建築家、施工業者、作業員、そして見物人が抱くさまざまな感覚や感情の渦中において、この固定された相関関係は、立方フィート数と施主の負担する費用との間に成立するものと法によって見なされる。すなわち、を立方フィート数、をポンド単位の費用とすれば、となる。このとの相関関係は、誰がどのような家を建てる場合であっても真であると見なされる。また、その家の容積と費用は、特定の感覚や能力によって、あるいは何らかの
特定の人物。それらは、請求書を支払わねばならない時の持ち主の心境など完全に無視したまま、抽象的かつ一般的な形で述べられている。
さて、これがすべて何を意味するのか、もう少し深く考えてみよう。家を建てるという行為は、複雑な状況の集まりである。一般的な出来事の流れの中から、「家を建てる」という特定の事例を構成する一連の事象を明確に認識できなければ、法則を適用し始めたり、それを検証したりすることは不可能である。要するに、私たちは家を見たときにそれが家であると分からなければならず、また、その建設に属する出来事を認識できなければならない。そして、こうして自然の他の部分から概念的に切り離された出来事の中で、費用と容積という二つの要素が決定可能でなければならない。両者が決定されたとき、もしその法則が真であれば、それらは一般式 を満たすはずである。しかし、その法則は真なのだろうか。建築に深く関わったことのある人なら誰でも、ここでは費用をかなり高めに見積もっていることに気づくだろう。この価格で計算が成り立つのは、高価なタイプの家だけである。このことは、明らかにしなければならない別の点を浮き彫りにする。私たちが公式 に関連する数学的な計算を行っている間は、その法則が真であるか否かは、私たちにとってどうでもよいことなのである。
誤りである。実際、とに割り当てられた「立方フィートの数」や「ポンド（通貨）の数」といった意味など、どうでもよいことなのだ。数学的探究の最中、私たちは実のところ、変数である数値の対との間の相関関係が持つ性質を考察しているに過ぎない。もしを漁師の数、を獲れた魚の数と解釈し、平均して一人の漁師が20匹の魚を獲るという法則を仮定したとしても、私たちの導き出した結果は同様に適用できる。この探究における数学的確実性は、あくまで変数である数値の対との間の相関関係が持つ性質として考察された結果にのみ付随するものである。実際の建物の建築費用について、数学的確実性など何一つ存在しない。その法則は完全には正しくなく、そこから得られる結果も完全には正確ではないだろう。実際、それは絶望的なほど間違っている可能性さえある。
さて、これらすべては疑いようもなく明白なことのように思えるだろう。しかし実際には、より複雑な事例において、長大で正確な数学的計算が行われたという理由だけで、その結果を自然界の何らかの事実に適用することが絶対的に確実であると思い込むことほど、ありふれた誤りはない。いかなる議論の結論も、それが依拠する前提以上に確実なものにはなり得ない。～の過程に関するすべての数学的計算は、
自然界は、前述した建設費用の法則のような、何らかの想定された自然法則から出発しなければならない。したがって、ある事象が必ず起こるとどれほど正確に計算したとしても、「その法則は真実か？」という疑念が常に残る。もしその法則が厳密な結果を述べているならば、それが厳密に正確であることはまずあり得ない。そのため、最善を尽くしたところで、計算通りに正確な結果が得られる可能性は低いのである。しかし我々には、理想的な精度で観察を行う能力がない以上、結局のところ、我々の不正確な法則でも十分なのかもしれない。
次に、実際の事例としてニュートンの万有引力の法則を取り上げよう。この法則によれば、任意の二つの物体は、それぞれの質量の積に比例し、その間の距離の二乗に反比例する力で互いに引き合う。したがって、二つの物体の質量を（例えばポンド単位で）およびとし、その間の距離をマイルとすると、他方の引力によって一方の物体に働く、他方に向かう力は に比例する。つまり、この力は と書くことができる。ここで は、この引力の絶対的な大きさと、我々が力を測定するために選ぶ尺度とに依存する一定の数である。もし我々が
もし1ポンドの質量の重さのような力という観点で計算しようとするならば、が表す数値は極めて小さくなければならない。なぜなら、、、をそれぞれ1としたとき、は1ポンドの等しい2つの質量が1マイルの距離にあるときの重力による引力となるが、これはまったく無視できるほど小さな値だからである。
しかし、これでようやく引力の公式が得られた。この力を と呼ぶことにすると、 となり、変数 、、、 の間の相関関係が示される。この法則がどのようにして発見されたかという物語は、誰もが知るところである。伝えられるところによれば、ニュートンは果樹園に座ってリンゴが落ちるのを見ており、その時、万有引力の法則がひらめいたのである。
彼の思考。この法則の最終的な定式化が、他の場所と同様に果樹園で思い浮かんだ可能性はある――そして彼はどこかにいたはずである。しかし我々の目的からすれば、この正確な法則が定式化されるまでに必要とされた、多くの知性と多くの世紀の産物である膨大な準備的思考に思いを馳せる方が、より教訓的である。まず第一に、前二章で説明したような数学的思考習慣と数学的手続きが醸成されていなければならなかった。さもなければ、ニュートンが任意の二つの質量の間に働く力を表す公式を思いつくことは決してできなかったであろう。
いかなる距離においても。繰り返すが、その意味するところは何か
用いられた用語のうち、力、質量、距離について。
これらの用語のうち、最も単純な「距離」を取り上げてみよう。あらゆる物質的な事柄を、マイルやヤードといった何らかの単位長さで測定可能な、明確な幾何学的全体として捉えることは、私たちにとって極めて自明なことに思える。これは、物質的構造について考える際、私たちが最初に思い浮かべる側面といっても過言ではない。それは、幾何学や測定理論の研究を通じて徐々に導き出された結果である。今日でさえ、場合によっては他の考え方の方が便利なこともある。山岳地帯では、距離はしばしば「時間」で換算される。しかし、距離の話はさておき、他の用語である「力」と「質量」は、はるかに曖昧である。ニュートンが……という概念を正確に理解することは、
これらの言葉が意味するところはゆっくりと育まれてきたものであり、実際、ニュートンこそが力学の真の一般原理を完全に習得した最初の人物であった。
中世を通じて、アリストテレスの影響下で、その学問は完全に
誤解である。ニュートンには、先人である偉大な人物たち、とりわけイタリアのガリレオに続くことができたという利点があった。ガリレオは、その前の2世紀にわたって
何世紀もの時を経て科学は再構築され、それについて考えるための正しい方法が発明された。彼は彼らの仕事を完遂した。そしてついに、力、質量、距離という概念を手に入れた彼は、
彼の心の中では明晰かつ判然としており、それらが重要であること、そしてリンゴの落下や惑星の運動と関連していることを悟った彼は、万有引力の法則をひらめき、それがこれらの様々な運動において常に満たされる公式であることを証明した。
数学的公式を適用する際に肝要なのは、観察対象の現象に対して、それらの公式がどの程度妥当であるかについて明確な概念を持ち、正当に評価することである。我々と同様に、遠い祖先たちも自然現象の重要性と、出来事の順序を制御するために精力的な手段を講じることの望ましさに強い感銘を受けていた。彼らは無関係な観念の影響下で、新月の誕生を助けるために手の込んだ宗教儀式を執り行い、日食という危機に際しては太陽を救うために犠牲を捧げた。彼らが我々よりも愚かであったと信じる理由はない。しかし、あの時代には、明確で妥当な概念がゆっくりと蓄積される機会がまだなかったのである。
自然科学が持つような、ある種のあり方
数学的手法による扱いに耐えうる形態へと成長していく過程は、電磁気学という科学が徐々に発展してきた歴史によって例証される。雷雨は壮大な規模で起こる現象であり、人間のみならず動物にさえ恐怖をかき立てる。太古の昔から、それは荒々しい
そして空想的な仮説。もっとも、電気に関する現代の科学的発見が、未開人の魔法的な説明のどれよりも驚くべきものではないと断言できるかどうかは疑わしい。ギリシア人は、琥珀（ギリシア語でエレクトロン）をこすると軽くて乾いた物体を引き寄せることを知っていた。1600年、コルチェスターのギルバート博士は、
科学的手法が踏襲された、この主題に関する最初の著作である。彼は琥珀と類似した性質を持つ物質のリストを作成した。また、いかに曖昧ではあれ、電気現象と磁気現象を結びつけた功績も彼に帰せられるべきである。17世紀末から18世紀を通じて、知識は進歩した。電気機械が製作され、それらから火花が得られるようになり、さらにライデン瓶が発明されたことで、これらの効果を増幅させることが可能となった。体系的な知識が得られつつあったが、それでもなお、関連する数学的概念は見出されていなかった。フランクリンは、
1752年、凧を雲の中に飛ばし、雷雨が電気現象であることを証明した。
一方、極めて早い時代（紀元前2634年）から、中国人は方位磁針の特性を利用していたが、それを何らかの理論的考察と結びつけていた形跡はない。人類の生活における真に深遠な変化はすべて、知識を究極の起源としている。
それ自体を目的として追求された。羅針盤の使用がヨーロッパに導入されたのは12世紀末のことであり、中国で最初に使われてから3000年以上も後のことであった。それ以来、電磁気学という科学が人間の生活のあらゆる部門において帯びてきた重要性は、ヨーロッパ人が実用的な傾向に優れていたからではなく、西洋において電気および磁気の現象が、抽象的で理論的な関心に支配された人々によって研究されたという事実によるものである。
電流の発見は、
1780年のガルヴァーニ、そしてヴォルタという二人のイタリア人へ
1792年のことである。この偉大な発明は、探究すべき新たな一連の現象の扉を開いた。科学界は今や、互いに関連してはいるが別個の三つの事象群を手にすることとなった。すなわち、摩擦電気発生機から生じる「静電気」の影響、磁気現象、そして電流による影響である。18世紀末からそれ以降にかけて、これら三つの探究の道筋は急速に結びつき、現代の電磁気学が構築された。そして今、この学問は人類の生活を一変させようとしている。
数学的な概念が、ここに現れる。1780年から1789年までの10年間に、フランス人のクーロンは、
磁極が互いに引き合ったり反発し合ったりする力は、その距離の逆二乗に比例することを証明し、また、
電気電荷についても同じ法則が成り立つ。それは重力の法則と奇妙なほど類似した法則である。1820年、デンマークのエルステッドは、次のようなことを発見した。
電流は磁石に力を及ぼす。そしてその直後、フランス人のアンペールによって、その力の数学的法則が正しく定式化された。彼は
また、二つの電流が互いに力を及ぼし合うことも証明した。「アンペールが電流間の力学的相互作用の法則を確立した実験的探究は、科学における最も輝かしい業績の一つである。その全体は、理論も実験も、『電気のニュートン』の頭脳から、完成され武装された状態で飛び出してきたかのように思える。それは完璧である
形式において、そして正確さにおいて揺るぎないものであり、あらゆる現象を導き出すことのできる一つの公式に要約される。そしてそれは、常に電気力学の基本公式であり続けなければならないものである。」『電気と磁気』ジェームズ・クラーク・マクスウェル、第II巻
第3章
電流間、および電流と磁石間の誘導に関する重大な法則は、1831年から1832年にかけてマイケル・ファラデーによって発見された。
ファラデーはこう尋ねられた。「その発見に何の役に立つのか？」彼は答えた。「赤ん坊に何の役に立つのか――やがて成長して大人になる。」ファラデーの赤ん坊は成長して大人となり、今や現代のあらゆる応用の基礎となっている。
の電気。ファラデーはまた、この科学の理論的概念全体を再構築した。科学界では完全には理解されていなかった彼の着想は、1873年にクラーク・マクスウェルによって拡張され、直接的な数学的形式へと落とし込まれた。その結果、彼の
数学的探究において、マクスウェルは、ある特定の条件下では電気的な振動が伝播するはずであると認識した。彼はただちに、光を形成する振動とは電気的なものであるという示唆を与えた。この示唆は
その後検証されたため、今や光の理論の全体は、単なる一分野に過ぎなくなっている。
偉大な電気科学。またヘルツ、一
1888年、ドイツの物理学者はマクスウェルの理論を継承し、直接的な電気的方法によって電気振動を発生させることに成功した。彼の実験は、我々の無線電信の基礎となっている。
近年に至っては、さらに根本的な発見がなされており、この科学は理論的な重要性と実用的な関心の双方において成長を続けている。この急速な進歩の概略は、実験によって示唆され、またそれ自体が新たな実験を促すような関連理論の導入を通じて、いかにして孤立した、あるいは些細でさえあった現象の集積が、一つの首尾一貫した科学へと統合されていくのかを示している。その科学の中では、いくつかの単純な仮定から出発した抽象的な数学的演繹の結果が、
法則は、出来事の推移という複雑な絡まり合いに説明を与える。
最後に、電磁気学や光といった個別の科学の枠を超えて、我々の視点をさらに一般化し、科学的思考の偉大な一章とみなされる数理物理学の発展へと目を向けてみよう。まず第一に、その発展の物語を最も簡潔に要約すればどのようなものだろうか。
それは一つの科学として、あるいは一団の人々の所産として始まったわけではない。カルデアの羊飼いたちは空を眺め、メソポタミアやエジプトの政府の役人たちは土地を測量し、僧侶や哲学者たちは万物の一般的な性質について思いを巡らせた。自然界の営みの大部分は、神秘的で計り知れない力によるものと思われていた。「風は思いのままに吹く」という言葉は、当時、現象の連続が詳細にわたって従うべき不変の法則など何一つ存在しなかったという、全くの無知を正確に言い表している。大まかな輪郭において、当時も今も、出来事の規則性は明白であった。しかし、それらの相互関連性を詳細に追跡することは不可能であり、そのような科学を構築するためにどのように着手すべきかさえ、知る由もなかったのである。
隔絶した思索、事物の本質に対するいくつかの幸運な、あるいは不運な試み、それが生み出しうる限度であった。
一方、測量は幾何学を生み出した。
そして天体の観測は、太陽系の正確な規則性を明らかにした。アルキメデスのようないくらかの後期のギリシア人たちは、初歩的な事柄について正しい見解を持っていた。
流体静力学および光学の諸現象である。実際、数学の天才的才能と物理学的洞察力を兼ね備えたアルキメデスは、その約二世紀後に生きたニュートンと並ぶ存在として位置づけられねばならない。
千年の時を経て、数理物理学の創始者の一人として名を残している。彼はシチリア島の偉大なギリシャ都市、シラクサに住んでいた。ローマ軍がこの街を包囲した際（紀元前212年から210年にかけて）、彼は鏡を用いて太陽光を集めることで敵の船を焼き払ったと伝えられている。この話は極めて信憑性に欠けるが、彼が光学の知識において同時代の人々からいかに高い評価を得ていたかを如実に物語る証拠である。この包囲戦の終結時、彼は命を落とした。プルタルコスが記した伝記によれば、その最期については次のような記述がある。
マルケルス、彼はローマ兵によって発見された。
部屋の砂の床に描いた幾何学図形の研究に没頭していた。彼は捕らえた者の命令にすぐには従わなかったため、殺された。ローマの将軍たちの名誉のために言っておくが、兵士たちには彼を殺さないよう命令が下されていた。彼にまつわるもう一つの有名な逸話については、それを裏付ける内的な証拠が非常に強力である。なぜなら、彼の手柄とされる発見は、数学および物理学の研究における彼の天才性に極めてふさわしいものだからである。
幸いなことに、それはここで詳しく説明できるほど単純なものである。これは、数学的な考え方を物理学に応用する手法の、最も優れた簡単な例の一つである。
シラクサの王ヒエロンは、ある量（の金）を送り、
金細工師に王冠の材料を作るよう金を与えた。彼は、その職人が金の一部を抜き取り、残りに卑金属を混ぜてごまかしたのではないかと疑った。ヒエロン王はアルキメデスにその王冠を送り、鑑定を依頼した。今日であれば、無数の化学的検査法が利用できるだろう。しかし当時は、アルキメデスが自ら一から考え出さねばならなかった。入浴中にその解決策が閃いた。彼は飛び起きると、通りを駆け抜けて宮殿へ向かい、「エウレカ！ エウレカ！」（見つけた！ 見つけた！）と叫んだ。もしその日がいつであったか分かっていれば、この日は数理物理学の誕生日として祝われるべきだろう。この科学が成人したのは、ニュートンが座った時である
果樹園。アルキメデスは、実のところ偉大な発見を成し遂げていたのである。彼は、物体が水に浸されると、周囲の水からその物体が押しのけた水の重さに等しい上向きの力を受けることを見抜いた。この法則は、流体静力学の数学的原理から理論的に証明できるだけでなく、実験によっても検証可能である。したがって、王冠の重さを ポンドとし、それを秤量したとき
空気中での重さをポンドとし、ポンドを完全に水中に沈めたときに排除される水の重さとするならば、は、王冠を水中に吊るした状態で支えるために必要な余分な上向きの力となるであろう。
さて、この上向きの力は、添付の図に示すように、物体を水中に吊るした状態で重さを量ることで容易に確かめることができる。もし右側の天秤皿の分銅が ポンドであれば、水中の王冠の見かけの重さは ポンドとなる。したがって、、ゆえに となり、 が得られる。ここで と は、容易かつかなり正確な計量作業によって決定されるものである。
したがって、式(A)により、は既知となる。しかし、とは、王冠の重量とそれと同体積の水の重量との比である。この比は、同一の材質からなる金属の塊であればどのようなものであっても変わらない。今日ではこれを物質の比重と呼び、その物質の本質的な性質のみに依存し、形状や量には依存しない。したがって、王冠が純金であるかを調べるために、アルキメデスは疑いようのない純金の塊を用意し、同じ手順でその比重を求めさえすればよかったのである。もし二つの比重が一致すれば王冠は純金であり、一致しなければ不純物が混ざっているということになる。
この議論を長々と展開してきたのは、これが物理学に数学的着想を適用した最初の厳密な例であるというだけでなく、あらゆる時代を通じて科学がとるべき方法と精神の、完璧かつ簡潔な模範であるからにほかならない。
アルキメデスがローマ兵の手にかかって死んだことは、極めて重大な世界の変化を象徴している。すなわち、抽象的な科学を愛した理論派のギリシャ人に代わり、実践的なローマ人がヨーロッパ世界の主導権を握ったのである。ロード・ビーコンズフィールド
ある小説の中で、彼は実際的な人間とは先祖の誤りを実践する人間であると定義した。ローマ人は偉大な民族であったが、彼らは不毛という呪いにかけられていた。
実用性に重きを置くあまり、彼らは先人の知識をさらに発展させることはなかった。彼らの進歩はすべて、工学上の些末な技術的詳細にとどまっていた。彼らには、自然界の力に対してより根本的な支配力を与えうるような、新しい視点に到達するための夢想家としての資質が欠けていたのである。数学的な図形の考察に没頭して命を落としたローマ人は、一人としていなかった。