微分法

微分法の発明

は数学の歴史における危機を画するものである。科学の進歩は、着想が緩やかに蓄積される時期と、そうして忍耐強く集められた思考のための新たな素材のおかげで、ある天才が新しい手法や新しい視点を考案し、主題全体を突如としてより高い次元へと変容させる時期とに分けられる。思考の歴史の進歩におけるこうした対照的な時期は、シェリーによって雪崩の形成になぞらえられている。

太陽に目覚めさせられた雪崩！その塊は、嵐に三たびふるいにかけられ、そこに積もり重なった一片また一片と――天に抗う精神の中に思想が思想を積み重ねるように、やがて一つの偉大な真理が解き放たれ、諸国民の間にその響きがこだまする。

その比較は、いくらかの追及に耐えうるものだろう。雪崩を引き起こす最後の一筋の陽光は、それがゆっくりと形成される過程を支配してきた自然の他の力と比べて、その規模において必ずしも比較の対象外というわけではない。

形成も同様である。科学においても同じことが言える。ある思考の領域全体を一変させる最後のアイデアを生み出す幸運に恵まれた天才が、そのアイデアの予備的な形成に取り組んできた先人たち全員より優れているとは限らないのである。科学の歴史を考えるにあたって、新しい時代への最後の一歩を踏み出した人々だけに口を開けて驚嘆し、称賛を限定してしまうのは、愚かであり、かつ恩知らずなことである。

我々の目の前にあるこの特定の事例において、その

subjectは、その二人の発明者の手によって最終的な形をとるまでに、長い歴史をたどってきた。その手法の痕跡はギリシャの数学者たちの間にもいくつか見られ、そして最終的に、このsubjectが実際に生み出される直前には、フェルマー（1601年生まれ、

（1665年没）は、著名なフランスの数学者であり、先行する諸概念を大きく改良したため、この学問分野は彼によってほぼ創始されたと言っても過言ではない。フェルマーもまた、同時代人で同郷のデカルトと共に、座標幾何学の共同発明者であると主張しうる存在である。実際、それは

デカルトは科学の世界に新しい考えをもたらしたが、フェルマーもまた、間違いなく独自にそれらに到達していた。

しかし、ニュートンやライプニッツに対する賞賛を惜しむ必要はない。ニュートンは数学者であり自然科学の研究者であった。ライプニッツは数学者であり、

そして哲学者であり、彼らはそれぞれの思考の領域において、世界が知る最も偉大な天才の一人であった。この共同発明は、不幸で、あまり名誉とは言えない論争のきっかけとなった。ニュートンは、彼が「流率法（Fluxions）」と呼んだ手法を用いていたが、

1666年のことであり、彼はそれを『プリンキピア』の執筆に用いたが、出版された同書においては、特殊な代数記法は一切避けられている。しかし、彼が自身の方法について直接的な記述を公表したのは1693年になってからであった。ライプニッツは1684年に最初の論文を発表した。彼はニュートンの友人たちから、ニュートンの手稿を私的に見せてもらい、それを盗用したのだと非難された。ライプニッツもまた、ニュートンが自分から盗用したと非難した。今日では、両者がそれぞれ独立して発見した功績を認めるべきであるという点に、ほとんど疑いの余地はない。この主題は発見されるべくして熟した段階に達しており、これほど有能な二人の人物が独立してそれに到達したとしても、何ら驚くべきことではないのである。

こうした共同発見は、科学の世界ではごくありふれたことである。発見というものは、概してそれまでの思考の潮流によって導かれる以前になされることはなく、その段階に至れば、多くの知性がその重要な概念を競って追い求めているものだからだ。もし私たちが、イギリス人が（関与した）発見のみに固執するならば、

懸念し、ダーウィンと（同時代に）自然選択説を同時に提唱した

ウォレス、そして同時発見の

アダムズとフランスの天文学者による海王星、

ルヴェリエ、と即座に脳裏をよぎる。

誰に功績を帰すべきかという論争は、往々にして卑小なナショナリズムの精神に左右されるものである。数学の歴史が示唆する真に鼓舞されるべき考察とは、これほど多くの時代、これほど多くの国家、そしてこれほど多くの人種に属する人々の間における、思考と関心の統一性である。インド人、エジプト人、アッシリア人、ギリシャ人、アラブ人、イタリア人、フランス人、ドイツ人、イギリス人、そしてロシア人、彼らすべてがこの科学の進歩に不可欠な貢献をしてきた。特定の国家の貢献を嫉妬深く称揚することは、断じてより大きな精神を示すものではない。

微分法の重要性

は、関数の増加率を体系的に考察するという、主題の本質そのものに由来する。この考え方は、自然の研究によって直ちに我々に提示される。速度とは移動距離の増加率であり、加速度とは速度の増加率である。したがって、あらゆる現象を認識する基盤となる「変化」という根本的な概念は、「変化率」を探究すべきだということを直ちに示唆している。「速く」や「遅く」といった馴染み深い言葉は、暗黙のうちにその意味を得ているのである

変化率への言及。したがって微分積分学は、数学を自然の成り行きの解明へと首尾よく応用するための、まさにその鍵となる立場に関わっているのである。

この変化率という考え方は、確かにニュートンの念頭にあったものであり、彼がこの主題を説明する際に用いた言語にも具体化されていた。しかし、自然現象から導き出されたこの視点が、この主題の誕生に向けて準備を整えた先行の数学者たちの念頭にそれほどあったかどうかは疑わしい。彼らが関心を寄せていたのは、接線を引くという、より抽象的な問題であった。

曲線へ、曲線の長さを求めること、そして曲線によって囲まれた面積を求めること。その

曲線の整列（rectification of curves）および曲線の求積（quadrature of curves）と称される最後の二つの問題は、積分学に属するものであり、それらは

は、微分法と同じ一般的な主題に関わっている。

座標幾何学の導入

二つの視点を融合させる。例えば（[図]32参照）、 $A Q P$ を任意の曲線とし、 $P T$ をその上の点 $P$ における接線とする。座標軸を $O X$ および $O Y$ とし、 $y = f (x)$ をその曲線の式とすれば、 $O M = x$ 、 $P M = y$ となる。ここで、 $Q$ を曲線上の任意の動点とし、その座標を $x_{1}$ 、 $y_{1}$ とすれば、 $y_{1} = f (x_{1})$ である。また、 $Q^{'}$ を接線上の点とし、その横座標を同じ $x_{1}$ とする。このとき、 $Q^{'}$ の座標を $x_{1}$ および $y^{'}$ と仮定する。さて、 $N$ が軸 $O X$ 上を左から右へ一定の速度で移動するとすれば、接線 $T P$ 上の点 $Q^{'}$ の縦座標 $y^{'}$ もまた、 $Q^{'}$ が接線に沿って対応するように移動するにつれて一定の割合で増加することは容易に理解できる。実際、 $Q^{'} N$ の増加率と $O N$ の増加率の比は、 $Q^{'} N$ と $T N$ の比に等しく、これは直線のすべての点において一定であることは容易にわかる。しかし、 $Q N$ の増加率、すなわち $f (x_{1})$ の増加率は、曲線が直線でない限り、曲線の点ごとに変化する。 $Q$ が点 $P$ を通過する際、 $f (x_{1})$ の増加率（ここで $x_{1}$ は一時的に $x$ と一致する）は

は、 $P$ における接線上の $y^{'}$ の増加率と等しい。したがって、変数 $x$ の関数 $f (x)$ の増加率を求める一般的な方法があれば、曲線上の任意の点 $(x, y)$ における接線の傾きを求めることができ、そこから接線を引くことができる。このように、曲線に接線を引くという問題と、関数の増加率を求めるという問題は、実質的に同一である。

円錐曲線や三角法の場合と同様に、二つの観点のうち、より人為的なほうからその学問が始まったという事実に気づくであろう。その学問の真に根本的な側面が重要性を帯びるようになったのは、比較的に遅い時期のことである。いかなる科学においても、最後に発見されるものは、その科学が本来何を扱っているのかということである、というのは歴史的に根拠のある一般論である。人々は、単なるぼんやりとした本能と当惑した好奇心に導かれながら、何世紀にもわたって模索を続け、ついに「ある偉大な真理が解き放たれる」のである。

私たちがこれから厳密に定義しようとしている概念に親しむために、いくつかの特殊な例を考えてみよう。列車が走行しているとする。ある瞬間、例えば正午におけるその速度を、私たちはどのように決定すればよいだろうか。正午を含む5分間の時間間隔をとり、その間に列車がどれだけの距離を進んだかを測定することができる。仮にそれが5

マイル、とすれば、その列車は時速 $60$ マイルで走っていたと結論づけることができる。しかし、 $5$ マイルというのは長い距離であり、正午ちょうどに列車がその速度で動いていたとは断言できない。正午には時速 $70$ マイルで走っており、その後でブレーキがかけられたのかもしれない。正午を含む1分間といった、より短い間隔で計算し、その間に移動した距離を測定するほうが安全だろう。しかし、目的によってはさらなる精度が求められることもあり、1分間では長すぎるかもしれない。実際には、測定に伴う避けられない不正確さがあるため、測定期間をあまりに短くしても無意味である。しかし理論上は、期間が短ければ短いほどよく、理想的な精度を得るには無限に小さな期間が必要であると言いたくなる。かつての数学者たち、とりわけライプニッツは、そう言いたくなっただけでなく、実際にそう言った。今日においても、それを常識的な言葉に翻訳する方法さえ心得ていれば、それは有用な言い回しである。興味深いことに、微積分学の基礎を説くにあたって、自然科学者であるニュートンは哲学者であるライプニッツよりもはるかに哲学的であり、その一方で、ライプニッツは、この学問の発展に不可欠となった賞賛すべき記法を提供したのである。

純粋数学の領域からもう一つの例を挙げよう。関数 $x^{2}$ について、その引数 $x$ のいかなる値に対しても、増加率を求めることにする。我々はまだ、「増加率」という言葉が何を意味するのかを厳密に定義していない。この特定の事例に関連させて、その意味を把握してみよう。 $x$ が $x + h$ に増加するとき、関数 $x^{2}$ は $(x + h)^{2}$ に増加する。したがって、引数の $h$ という増加に対して、全増加量は $(x + h)^{2} - x^{2}$ となる。ゆえに、 $x$ から $(x + h)$ までの区間全体において、引数の単位増加量あたりの関数の平均増加量は $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ である。しかし $(x + h)^{2} = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ であるから、 $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 h x + h^{2}}{h} = 2 x + h$ となる。このように、 $2 x + h$ が、引数の単位増加量あたりの関数 $x^{2}$ の平均増加量であり、この平均は $x$ から $x + h$ までの区間についてとられたものである。しかし $2 x + h$ は、区間の大きさである $h$ に依存している。我々が求めているもの、すなわち引数の値 $x$ における増加率は、 $h$ を限りなく小さくしていくことによって明らかに得られるはずである。したがって、 $h$ が

限りなく減少するとき、我々は $2 x$ を、 $x$ という引数の値における $x^{2}$ の増加率であると言う。

ここで私たちは再び、「 $h$ が限りなく減少するときの極限において」という言葉の使用に際し、無限小という概念に直面させられているようである。ライプニッツは、神秘的に聞こえるかもしれないが、無限小という量、そして当然ながらそれに対応する無限小の数が実際に存在すると考えていた。ニュートンの言葉や考え方はより現代的な路線に近いものであったが、ライプニッツの考えをかなり間接的な言葉で説明している以上のことを明らかにしていると見なされるほど、明確にこの問題を説明することには成功しなかった。この主題に対する真の説明は、ワイエルシュトラスとベルリン学派の数学者たちによって初めてなされたのである。

19世紀半ば頃のことである。しかし、ライプニッツからワイエルシュトラスに至るまでの間、数学が発見し、哲学が解明を試みたこの神秘的な無限小量をめぐって、数学的にも哲学的にも膨大な文献が蓄積されていた。一部の哲学者は、

例えばバークリー主教は、ここで示されたものとは別の理由からではあるが、その概念全体の妥当性を正しく否定した。しかし奇妙な事実は残った。すなわち、この主題の基礎に対するあらゆる批判にもかかわらず、数学的であることは疑いようがなかったのだ。

手順は実質的に正しかった。実際、対象は正しかったのである。たとえその説明が誤っていたとしても。何が行われているのかについて完全に誤った説明をしながらも正解にたどり着くというこの可能性こそが、科学の進歩において、外部からの批判（それが手法の追求を阻止する意図で行われる限りにおいて）を、これほどまでに不毛で無益なものにしているのである。訓練された観察者の直感と、彼らが明らかに何かに到達しつつあるという事実に由来する好奇心の方が、はるかに信頼できる指針となる。いずれにせよ、微分法の成功がもたらした全体的な影響は、無限小という概念をめぐる多量の拙劣な哲学を生み出したことであった。こうした言葉の残滓は、今日でも微分法に関する多くの初等数学の教科書の説明に見出すことができる。数学や哲学の著者が霧に包まれたような深遠さをもって書いているとき、その著者はたわごとを言っているのだと見なすのが、安全な原則である。

ニュートンならその問いを次のように言い換えただろう

そう言うことによって、 $h$ がゼロに近づくにつれ、極限において $2 x + h$ は $2 x$ になる。この命題を、ライプニッツの無限小量の存在を実際には密かに前提としていないことを示すように説明するのが我々の課題である。ニュートン流の記述の仕方に目を通していると、単純さを求めて次のようにしたくなる誘惑に駆られる。

$h$ がゼロのときに $2 x + h$ を $2 x$ とすること。しかし、これではうまくいきません。なぜなら、それによって $x$ から $x + h$ までの区間、つまり平均増加量を計算するための区間が消滅してしまうからです。問題は、平均増加量を計算するための長さ $h$ の区間を維持しつつ、同時に $h$ をあたかもゼロであるかのように扱うにはどうすればよいか、という点にあります。ニュートンはこれを極限という概念によって解決しました。そして私たちは今、

続いて、その真の意味に関するワイエルシュトラスの説明を述べることにする。

まず第一に、我々が $2 x + h$ を論じるにあたって、 $x$ を固定値とみなし、 $h$ を変数として扱ってきたことに注目されたい。言い換えれば、 $x$ は IX. で説明したような「定数」的な変数、すなわちパラメータとして扱われてきたのであり、我々は実質的に $2 x + h$ を引数 $h$ の関数として考察してきたのである。したがって、目下の問題を一般化し、関数 $f (h)$ がその引数 $h$ を値ゼロへと近づけるとき、関数が極限 $l$ に近づくとはどういうことか、という問いを立てることができる。しかし、ここでもまた、引数に対する特殊な値としてのゼロは、この主題の本質には属さないことがわかるであろう。そこで我々はさらに一般化を進め、関数 $f (h)$ が $h \to a$ となるときに極限 $l$ に近づくとはどういうことか、という問いを立てるのである。

さて、ワイエルシュトラス流の説明によれば、 $h$ が値 $a$ に近づくという考え方全体は、我々が目指しているものの比喩的なイメージをある程度与えてはくれるものの、実際には完全に的外れなものである。実のところ、それはかなり明白なことである。

「 $h$ が $a$ に近づく」といった考え方を根本的な概念として保持し続ける限り、私たちは実のところ無限小の虜（とりこ）となっている。なぜなら、そこには $h$ が $a$ に無限に近いという概念が含まれているからである。これこそが、私たちが取り除きたいと考えているものに他ならない。

したがって、我々は説明すべき命題を改めて述べ、関数 $f (h)$ の $a$ における極限が $l$ であると言うとき、我々は何を意味しているのかを問うことにする。

$f (h)$ の $a$ における極限は、

$a$ の近傍。ここで「近傍」とは、関数の連続性に関する議論の第XI章で定義された意味で用いられる。関数 $f (h)$ の $a$ における値は $f (a)$ であるが、極限という概念は値とは区別されるものであり、値とは異なる場合もあり、また値が定義されていない場合でも存在しうる。我々はまた、「近似の基準」という用語を、第XI章で定義された意味で用いることとする。実際、同章の終盤で与えられた「連続性」の定義において、我々は実質的に極限を定義しているのである。極限の定義は以下の通りである。——

関数 $f (x)$ は、その引数 $x$ の値 $a$ において極限 $l$ を持つとは、 $a$ の近傍においてその値が、あらゆる近似の基準の範囲内で $l$ に近づくことをいう。

この定義を、すでに与えられている連続性の定義と比較せよ。すなわち：–-

関数 $f (x)$ は、その引数の値 $a$ の近傍において、その値が $a$ における値に、あらゆる近似の基準の範囲内で近づくとき、その値 $a$ において連続であるという。

ある関数が $a$ において連続であることは、(i) それが $a$ において極限を持つこと、そして (ii) その極限値が $a$ における関数の値と等しいこと、という二点から直ちに明らかである。したがって、XI の末尾に挙げられた連続性の例は、極限という概念の例証に他ならない。すなわち、それらの例はすべて、考察された関数および考察された $a$ の値について、 $f (a)$ が $a$ における $f (x)$ の極限であることを証明するために示されたものであった。関数が連続でない点における極限を考える方が、実際にはより示唆に富んでいる。例えば、XI の [図] 20 にグラフが示されている関数を考えてみよう。この関数 $f (x)$ は、引数が整数 $0, 1, 2, 3, \dots$ である場合を除いて、すべての値に対して $1$ という値をとるように定義されており、これらの整数値に対しては $0$ という値をとる。さて、 $x = 3$ におけるこの関数の極限について考えてみよう。極限の定義においては、 $a$ における関数の値（この場合は $a = 3$ ）は除外されることに注意されたい。しかし、 $f (3)$ を除外すれば、 $x$ が (i) $3$ を端点として含まない区間内にあり、かつ (ii) $2$ から $4$ まで及ばないような区間内にあるとき、 $f (x)$ の値はすべて $1$ に等しい。したがって、これらの値はあらゆる近似の基準において $1$ に近づく。ゆえに、 $1$ は $x$ が

引数 $x$ の値 $3$ ですが、定義により $f (3) = 0$ となります。

これは、引数の値が $3$ である点において値と極限の両方を持つが、その値と極限が一致しない関数の例である。XIの末尾では、引数の値が $2$ である点における関数 $x^{2}$ について考察した。その $2$ における値は $2^{2}$ 、すなわち $4$ であり、その極限もまた $4$ であることが証明された。したがって、ここには値と極限が等しい関数が存在する。

いよいよ、我々の目的にとって本質的に重要となるケース、すなわち、ある引数の値において極限は存在するが、定義された値は持たない関数について考察する。そのような関数を探すのに遠くまで行く必要はない。 $\frac{2 x}{x}$ がその目的にかなうだろう。さて、数学のどの本を見ても、 $\frac{2 x}{x} = 2$ という式が、ためらいも注釈もなく書かれているのを見かけるかもしれない。しかし、これには困難が伴う。なぜなら、 $x$ がゼロのとき、 $\frac{2 x}{x} = \frac{0}{0}$ となるからであり、 $\frac{0}{0}$ には定義された意味がないからである。したがって、 $x = 0$ における関数 $\frac{2 x}{x}$ の値は定義されていな

意味をなさない。しかし、 $x$ の他のすべての値に対して、関数 $\frac{2 x}{x}$ の値は $2$ である。したがって、 $x = 0$ における $\frac{2 x}{x}$ の極限は $2$ であり、 $x = 0$ においては値を持たない。同様に、 $x = a$ における $\frac{x^{2}}{x}$ の極限は、 $a$ がどのような値であっても $a$ となるため、 $x = 0$ における $\frac{x^{2}}{x}$ の極限は $0$ である。しかし、 $x = 0$ における $\frac{x^{2}}{x}$ の値は $\frac{0}{0}$ という形をとり、これには定義された意味がない。したがって、関数 $\frac{x^{2}}{x}$ は $0$ において極限を持つが、値は持たない。

ここで、極限の性質に関するこの議論を始めた当初の問題に立ち返ることにしよう。関数 $x^{2}$ の、その引数 $x$ の任意の値における増加率をどのように定義すればよいだろうか。我々の答えは、この増加率とは、引数 $h$ がゼロである値における関数 $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ の極限である、というものである。（ここで $x$ は「定数」であることに注意されたい。）この答えがどのように機能するかを見てみよう。

極限の定義に照らせば、 $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 h x + h^{2}}{h} = \frac{h (2 x + h)}{h}$ となる。

さて、引数 $h$ が $0$ という値をとる際の $\frac{h (2 x + h)}{h}$ の極限を求めるにあたっては、 $h = 0$ における関数の値（もしあれば）は除外される。しかし、 $h = 0$ を除くすべての $h$ の値について、分母分子を $h$ で割ることができる。したがって、 $h = 0$ における $\frac{h (2 x + h)}{h}$ の極限は、 $h = 0$ における $2 x + h$ の極限と同じである。さて、どのような近似の基準 $k$ をとるとしても、 $- \frac{1}{2} k$ から $+ \frac{1}{2} k$ までの区間を考えることで、その範囲内にある $h$ の値に対して、 $2 x + h$ は $2 x$ との差が $\frac{1}{2} k$ 未満、すなわち $k$ 未満となることがわかる。これはどのような基準 $k$ に対しても真である。ゆえに、 $h$ が $0$ という値の近傍において、 $2 x + h$ はあらゆる近似の基準の範囲内で $2 x$ に近似し、したがって $2 x$ が $h = 0$ における $2 x + h$ の極限となる。以上のことから、 $2 x$ は $h$ が $0$ という値をとる際の $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ の極限である。したがって、 $2 x$ こそが、我々が引数 $x$ における $x^{2}$ の増加率と呼んできたものであるという結論が導かれる。このようにして、この手法は我々を同じ増加率へと導くのである。

ライプニッツ流の $h$ を「無限に小さく」していく手法が $x^{2}$ に対して行ったように。

より抽象的な用語である「微分係数」、

または「導関数」は、一般的に

これまで「増加率」と呼んできたものに用いられる。その一般的な定義は次の通りである。関数 $f (x)$ の微分係数とは、引数 $h$ が $0$ になるときの関数 $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ の極限（もしそれが存在すれば）のことである。

この定義と、それに付随する極限の定義によって、私たちは数学の先人たちを悩ませた「無限小の数」という概念を、実際にはどのようにして回避することができたのだろうか？彼らにとっての困難は、一方で平均増加率を計算するために $x$ から $x + h$ までの区間を用いる必要があり、他方で最終的には $h = 0$ としたかったという点から生じていた。その結果、彼らはサイズがゼロである区間が存在するという概念に陥ってしまったように見えたのである。では、私たちはどのようにしてこの困難を回避しているのだろうか？それは次のような方法である。すなわち、どのような近似基準に対しても、それに応じた特定の性質を持つ区間を見出すことができる、という考え方を用いるのである。その違いは、私たちには

「変数」という概念の重要性を理解していたのに対し、彼らはそうではなかった。したがって、

数学解析の基本的概念に関する我々の解説を終えるにあたり、我々は第II章で探究を開始した際の着想へと立ち返ることになる。すなわち、数学において根本的に重要な概念とは、「あるもの（some things）」と「任意のもの（any things）」であるという着想である。