自然界における周期性
自然の全生涯は、
周期的事象の存在、すなわち、言葉を無理にこじつけるまでもなく同一の事象の再来と呼べるほど互いに酷似した連続的事象の存在によってである。地球の自転は連続する日を生み出す。確かに、偶発的な現象を排除するように「日」の意味をいかに抽象的に定義しようとも、各日は前日とは異なるものである。しかし、「日」を十分に抽象的に定義すれば、二つの日の性質上の差異は希薄となり、実用的な関心からは遠ざかる。そして、各日は地球の一自転という現象の再来として捉えることが可能となる。さらに、太陽の周りを回る地球の軌道は、季節の年ごとの回帰をもたらし、自然のあらゆる営みに別の周期性を課している。これよりも根本的ではない周期性として、月の満ち欠けがある。現代の文明生活においては、人工照明があるため、これらの満ち欠けはほとんど重要ではないが、
古代において、日中は焼けつくように暑く、空が澄み渡る気候の地では、人々の生活は月光の存在に大きく左右されていたようである。したがって、宗教的な結びつきを伴う週や月といった区分は、シリアやメソポタミアからヨーロッパの諸民族へと広まったが、月の満ち欠けに従う独自の慣習は、ほとんどの国々で見られるものである。しかしながら、月の周期性が地球の歴史に最も大きな影響を及ぼしてきたのは、光と闇の満ち欠けを通してではなく、潮の干満を通してのことである。
私たちの身体的な生は、本質的に周期的である。それは心臓の鼓動と呼吸の反復に支配されている。実際、周期性という前提は、私たちが生命を捉える概念そのものの根幹をなしている。私たちは、出来事が進行するにつれて「これは以前にも起こったことだ」と言い得ないような自然の成り行きを想像することができない。経験を行動の指針とするという概念全体が、存在しなくなるだろう。人間は常に、過去の歴史のいかなるものとも同一性の基盤を持たない、新しい状況に置かれることになる。時間を量として測定する手段そのものが存在しなくなるのである。出来事は依然として一連の流れとして認識され、あるものはより早く、あるものはより遅く起こるとされるかもしれない。しかし、私たちは今や、こうした単なる認識を超えている。私たちは単にこう言えるだけでなく、
3つの出来事、、、がこの順序で起こった。つまり、はより前に起こり、はより前に起こった。しかし、我々はまた、との発生の間の時間の長さは、との間の時間の長さの2倍であったと言うこともできる。さて、時間の量というものは、本質的に、その間に介在した自然な反復回数を観測することに依存している。我々は、との間の時間の長さを、依拠したい反復の種類に応じて、何日、あるいは何ヶ月、何年と呼ぶことができる。実際、文明の初期においては、これら3つの時間測定方法は、真に別個のものであった。文明社会あるいは半文明社会における科学の最初の課題の一つは、これらを一つの首尾一貫した尺度へと統合することであった。この課題の全容を把握しなければならない。ある1年が何日（例えば365.25日）からなるかを決定するだけでなく、それ以前に、連続する各年が同じ日数からなることを決定する必要がある。周期性は存在するが、それらの間で整合性がとれていない世界を想像することは可能である。ある年には200日しかなく、別の年には350日あるかもしれない。より重要な周期性の広範かつ一般的な整合性を決定することが、自然科学における第一歩であった。この整合性は、思考の抽象的な直観的法則から生じるものではなく、単に自然の観測された事実なのである。
経験によって保証されている。実際、それは必然的な法則であるどころか、厳密に真実でさえない。あらゆる場合に相違が存在するからである。いくつかの事例では、こうした相違は容易に観察でき、したがって直ちに明らかとなる。また別の事例では、それらを明らかにするために、最も洗練された観測と天文学的な精度が要求される。大まかに言えば、心拍のように生物に依存するあらゆる反復は、他の反復と比較して急速な変動の影響を受けやすい。大きく、安定しており、明白な反復――極めて高い精度で相互に一致するという意味で安定しているもの――とは、地球全体の運動や、天体の同様の運動に依存する反復のことである。
したがって、私たちはこれらの天文学的な
回帰現象は等しい時間間隔を刻む。しかし、天文学の精緻な観測によって検出されるそれらの不一致を、我々はどう扱うべきなのだろうか。一見すると、我々は、これら一連の現象のいずれか一方が等しい時間を刻んでいるという恣意的な仮定――例えば、すべての日が等しい長さであるか、あるいはすべての年が等しい長さであるという仮定――に頼らざるを得ないように思われる。しかし、そうではない。何らかの仮定を置く必要はあるが、天文学者が時間の尺度を決定する際の手続き全体を支えている仮定とは、運動法則が厳密に検証されているということなのである。
その方法を説明する前に、時間の尺度の決定が天文学者に委ねられているのは、（前述の通り）彼らが扱う繰り返しの現象が安定した一貫性を持っているからである、という点に注目するのは興味深い。もし人体に特有の繰り返しの現象に、それと同等以上の優れた一貫性が認められていたならば、私たちは当然のことながら、時計の調整を医学の専門家に求めていたはずである。
運動の法則がこの問題にどのように関わってくるかを考えるにあたって、時間の測定方法に整合性のない二つの尺度を用いれば、同一の物体に対しても異なる速度の変化が導かれることに留意されたい。例えば、1時間を1日の24分の1と定義し、時速20マイルで2時間一定の速度で走る列車を例にとってみよう。ここで、極めて不整合な時間の尺度を導入し、最初の1時間が2番目の1時間の2倍の長さであると仮定する。すると、このもう一つの時間の尺度によれば、列車の走行時間は二つの部分に分割され、その各期間において列車は同じ距離、すなわち20マイルを走行したことになる。しかし、最初の期間の長さは2番目の期間の2倍である。したがって、列車の速度は一定ではなく、平均すると2番目の期間の速度は最初の期間の速度の2倍ということになる。このように、～に関する問いは
列車が一定の速度で走っているかどうかは、私たちがどのような時間の基準を採用するかによって完全に決まる。
さて、地球上における日常生活のあらゆる目的において、さまざまな天文学的周期は完全に不変なものと見なすことができる。さらに、その不変性を前提とし、それによって天体が持つ速度や速度の変化を仮定すれば、前述の運動法則がほぼ正確に検証されることがわかる。しかし、いくつかの天文学的現象に立ち入ると、それは「ほぼ」正確であるに過ぎない。ところが、惑星や恒星の自転や運動についてわずかに異なる速度を仮定すれば、それらの法則は正確に検証されることがわかる。そこでこの仮定がなされるのである。事実、我々はそれによって時間の尺度を採用していることになる。その尺度は確かに天文学的現象を参照して定義されてはいるが、それらの現象のいずれか一つの均一性と整合するように定義されているわけではない。しかし、多くの事柄の基礎となっている時間の均一な流れそれ自体が、周期的な事象の観測に依存しているという広範な事実は依然として残るのである。
一見すると偶然で例外的に思える現象、あるいは逆に、一様な持続性をもって維持されている現象でさえ、周期性という遠隔的な影響によるものかもしれない。例えば、
共鳴の原理。共鳴は、
二つの関連する状況の集合が同じ周期性を持つ場合のことである。あらゆる物体が自然な状態に置かれたとき、その微小振動は、その物体固有の決まった時間で生じるというのが力学の法則である。例えば、振幅の小さい振り子は、その形状や重量配分、長さに固有の、ある決まった時間で常に振動する。より複雑な物体には多くの振動の仕方が存在するかもしれないが、その各振動モードには、それぞれ特有の「周期」がある。それらの
物体の振動周期は、その「固有」周期と呼ばれる。したがって、振り子の振動周期は一つしかないが、吊り橋には多くの周期が存在する。バイオリンの弦のような楽器が得られるのは、振動周期がすべて最長の周期の単純な約数になっている場合である。すなわち、秒を最長の周期とすれば、他の周期は、……といった具合であり、これらのより短い周期のいくつかが欠けていてもよい。さて、ある物体の振動を、それ自体が周期的な原因によって励起すると仮定しよう。このとき、その原因の周期が物体の周期のいずれかと非常に近ければ、たとえ励起する原因の大きさが小さくても、物体のその振動モードは非常に激しく励起される。この現象を「共鳴」と呼ぶ。その一般的な理由は理解しやすい。ロッキングストーン（揺れ石）を動かそうとする者は誰でも、「調子を合わせて」押すだろう。
石の揺れに合わせて、常に押し出すための好機を捉えるようにする。もし押し出すタイミングがずれていれば、揺れを大きくするものもあれば、逆に抑えてしまうものもある。しかし、タイミングが合えば、やがてすべての押し出しが好機となる。「共鳴（レゾナンス）」という言葉は
音に関する考察から生じるものであるが、その現象は音の領域をはるかに超えて広がっている。光の吸収と放出の法則、無線電信における受信機の「同調」、惑星が互いの運動に及ぼす影響の相対的な重要性、軍隊が行進する際に吊り橋にかかる危険、そして特定の速度で機械が刻む律動的な鼓動によって一部の船舶に生じる過度の振動などは、すべてこれに依存している。こうした周期性の一致は、二つの周期的な事象が常に結びついている場合には安定した現象を生じさせることもあれば、その結びつきが偶然かつ一時的なものである場合には、激しく突発的な現象を引き起こすこともある。
繰り返しになるが、前述した特徴的かつ不変の振動周期こそが、我々の感覚に一定の刺激として感じられるものの根本的な原因である。我々は数時間もの間、一定の光の下で作業をしたり、あるいは変化のない一定の音に耳を傾けたりする。しかし、現代科学が正しいのであれば、この「一定」という状態は自然界には存在しない。その一定の光とは、無数の
振動するエーテル中の周期波の数であり、振動する空気中の同様の波に対する持続音である。光の理論や音の理論をここで説明することが我々の目的ではない。自然を研究するための適切な道具として数学を機能させるために不可欠な第一歩は、それが物事の本質的な周期性を表現できなければならないということである、ということを明らかにするには、すでに十分なことを述べてきた。もし我々がこれを理解したならば、次に考察すべき数学的概念、すなわち周期関数の重要性を理解することができるのである。