ホーム・ユニバーシティ・ライブラリー・オブ・モダン・ナレッジ数学入門

A. N. ホワイトヘッド（理学博士、王立協会フェロー）著ロンドン：ウィリアムズ・アンド・ノーゲートニューヨーク：ヘンリー・ホルト社カナダ：WM. ブリッグス（トロント）インド：R. T. ウォッシュボーン社

ホーム・ユニバーシティ・ライブラリー・オブ・モダン・ナレッジ

編集者：

ハーバート・フィッシャー（文学修士、英国学士院会員）

ギルバート・マレー教授（文学博士、法学博士、英国学士院会員）

J・アーサー・トムソン教授（文学修士）

ウィリアム・T・ブリュースター教授（文学修士）

（米国、コロンビア大学）

ニューヨーク

ヘンリー・ホルト・アンド・カンパニー

数学入門

A・N・ホワイトヘッド（理学博士、王立協会フェロー）著

『普遍代数学』の著者、『プリンキピア・マテマティカ』の共著者

新装改訂版

ロンドン、ウィリアムズ・アンド・ノーゲート

印刷者

ヘイゼル、ワトソン・アンド・ヴァイニー社、ロンドンおよびエイルズベリー。

数学の抽象的性質7

II変数15

III 適用方法 25

IVDynamics42

数学の象徴性58

V. 数に関する一般化71

第八章　虚数87

VIII 虚数（続き）101

IX 座標幾何学 112

X円錐曲線128

XIFunctions145

第11章自然界における周期性 164

XIII三角法173

XIVシリーズ194

第XV章微分法217

XVIGeometry236

XVII数量245

ノート250

参考文献251

索引253

[数学の本質]

数学の抽象的本質

数学の学習は、失望とともに始まるのが常である。この学問の重要な応用、その概念が持つ理論的な興味、そして手法の論理的な厳密さは、誰もが興味深いプロセスへと速やかに導入されることを期待させる。私たちは、数学の助けを借りれば星々の重さを量ることも、一滴の水に含まれる数十億もの分子を数えることもできるのだと教えられる。しかし、ハムレットの父の亡霊のごとく、この偉大なる学問は、我々の精神という武器で捉えようとする試みをすり抜けてしまう――「ここだ、そこだ、消えた」――そして、我々が目にするものは、亡霊が許されたような「あまりに高貴であるがゆえに我々の粗野な手法では捉えられない」という言い訳すら示唆してはくれない。もし「暴力的な振る舞い」が許される時があるならば、それは間違いなく、我々を占有する些末な結果に対して「向けられる」べきものである。

初等数学の論文集の数ページ。

この学問がその評判に恥じない成果を上げられない理由は、その根本的な思想が、個々の事例において正確な提示を容易にするために考案された技術的手順から切り離されて学生に説明されていないからである。その結果、不幸な学習者は、いかなる一般的概念によっても照らし出されることのない膨大な細部の知識を習得しようともがき苦しむことになる。疑いようもなく、技術的な習熟は価値ある知的活動にとって第一の必須条件である。私たちが単語の綴りを確認しなければならず、個々の文字の形さえ定かでないうちは、ミルトンのリズムやシェリーの情熱を味わうことはできないだろう。この意味において、学問に王道はない。しかし、一般的概念の考察を排除し、技術的プロセスにのみ注意を限定することも同様に誤りである。これこそが、衒学（ペダントリー）へと続く道なのである。

以下の各章の目的は、数学を教えることではなく、学生が学習の最初から、この学問が何を対象としているのか、そしてなぜそれが自然現象に適用される厳密な思考の基礎として不可欠であるのかを理解できるようにすることにある。以下に述べる、この学問のいかなる部分における詳細な演繹への言及も、挿入されるものとする。

あくまで例示を目的としたものであり、たとえ随所で読者の理解の及ばない技術的なプロセスや記号が例証のために引用されたとしても、議論の全体像は理解できるように配慮する。

多くの人々にとって、最初に出会う

数学との関わりは、算術を通じて始まる。2足す2が4になるということは、誰もが耳にしたことのある、単純な数学的命題の典型として通常受け入れられている。したがって、数学という学問の最も明白な特徴を見出すためには、算術を考察するのが良いだろう。さて、算術について最初に注目すべき事実は、それが万物に適用できるということである。味覚や音、リンゴや天使、心の概念や身体の骨に至るまで、あらゆるものに適用できる。対象の性質は全く関係がなく、どのようなものであっても「2足す2は4である」という事実は真である。このように、数学の主要な特徴として、数学は「もの」が単に「もの」であるという理由だけで適用可能な性質や概念を扱うものであり、それらに関連するいかなる特定の感情や情緒、感覚とも切り離されているという点を挙げることができる。これこそが、数学を抽象的な学問と呼ぶことの意味である。

私たちが到達した結論は、注目に値するものである。……であると考えるのは自然なことだ。

抽象的な科学は、人間生活の諸事においてそれほど重要ではありえない。なぜなら、それは真に関心を引くあらゆる事柄を考察の対象から除外してしまっているからである。スウィフトが『ガリヴァー旅行記』の記述の中で、

『ラピュタへの旅』は、この点について二つの考えを持っている。

点である。彼はその国の数学者たちを、愚かで役に立たない夢想家と評し、彼らの注意を喚起するには「フラッパー（叩き手）」が必要だと述べている。また、数学者の仕立て屋は四分儀で彼の身長を測り、定規とコンパスで他の寸法を割り出すが、その結果できあがるのはひどく不格好な服である。その一方で、ラピュタの数学者たちは、空中に浮かぶ磁気島の驚くべき発明によって国を支配し、臣民に対する優位を保っていた。実際、スウィフトが生きた時代は、同時代の数学者を揶揄するには極めて不適切な時期であった。ニュートンの『プリンキピア』

書かれたばかりの、現代世界を変容させた偉大な力の一つであった。スウィフトは、地震を笑い飛ばしたのと同じくらい無意味なことをしたに過ぎなかった。

しかし、数学の業績を単に列挙するだけでは、その重要性を理解する上では不十分である。数学がその抽象性ゆえに、常に最も重要な学問分野の一つであり続けなければならない根本的な理由について、少し時間をかけて考察する価値がある。

考えをめぐらせてみよう。なぜ出来事の順序に関する説明が必然的に数学的になる傾向があるのか、その理由を明らかにしてみようではないか。

あらゆる出来事が相互に関連し合っていることに思いを巡らせてみよう。稲妻を見れば雷鳴を待ち、風の音を聞けば海に波を探し、秋の冷え込みとともに木の葉は散る。至る所に秩序が支配しており、ある状況を観察すれば、他の状況もまた現れるであろうと予見することができる。科学の進歩とは、こうした相互のつながりを観察し、絶えず移ろいゆくこの世界の出来事が、法則と呼ばれる少数の一般的な関係性の実例に過ぎないことを、忍耐強い創意工夫をもって明らかにすることにある。特殊なものの中に普遍的なものを見出し、一時的なものの中に不変なものを見出すことこそ、科学的思考の目的である。科学の眼から見れば、リンゴが落ちることも、惑星が太陽の周りを公転することも、大気が地球にまとわりついていることも、すべて重力の法則の実例として捉えられる。このように、極めて複雑で儚い状況を紐解き、不変の法則の様々な実例へと解き明かしていく可能性こそが、近代思想を支配する理念なのである。

さて、この科学的理想を完全に実現するためにどのような法則が必要か、考えてみることにしよう。我々を取り巻く世界の個々の事実に関する知識は、

私たちの感覚から生じるものです。私たちは見、聞き、味わい、嗅ぎ、熱さや冷たさを感じ、押し、こすり、痛み、そしてうずきます。これらはあくまで私たち個人の感覚に過ぎません。私の歯痛はあなたの歯痛にはなり得ず、私の視覚はあなたの視覚にはなり得ないのです。しかし私たちは、これらの感覚の起源を、外部世界を構成する物と物との関係に帰します。したがって、歯科医が抜くのは歯痛ではなく歯そのものです。それだけではありません。私たちはまた、すべての人々のあらゆる知覚の根底にある、一つのつながった物の集合体として世界を想像しようと努めます。私の感覚のための世界とあなたの感覚のための世界が別々にあるのではなく、私たちが共に存在する一つの世界があるのです。歯科医にとっても患者にとっても、それは同じ歯です。また私たちは、目で見ているのと同じ世界を、耳で聞き、手で触れているのです。

したがって、私たちが外部の事物の間のつながりを、特定の感覚に依存せず、さらには特定の個人のあらゆる感覚にも依存しないような方法で記述したいと考えるのは、容易に理解できることである。外部の事物の世界における出来事の推移が満たす法則は、可能であれば、中立的かつ普遍的なやり方で記述されるべきであり、それは盲目の人にとっても耳の聞こえない人にとっても同じであり、また私たちの理解を超えた能力を持つ存在にとっても、通常の人間にとっても同じであるべきなのだ。

しかし、私たちが当面の

感覚のうち、その明晰さ、明確さ、そして普遍性ゆえに最も有用な部分――残されたもののうちの大部分――は、事物の抽象的な形式的性質についての一般的な観念、すなわち前述した抽象的な数学的観念によって構成されている。こうして、人類は段階を追って、その過程の真の意味を自覚せぬまま、宇宙の諸性質を数学的に記述しようと探求するに至ったのである。なぜなら、特定の個人や特定の種類の感覚への言及から解放された、出来事の推移に関する一般的な観念を形成するには、この方法しかないからである。例えば、夕食の席で「私の視覚、あなたの触覚、そして彼の味覚や嗅覚の根底にあったものは何か」と問われたとしよう。その答えは「リンゴ」である。しかし、科学は最終的な分析において、リンゴを分子の位置と運動という言葉で記述しようとする。それは私やあなたや彼を無視し、視覚や触覚や味覚や嗅覚をも無視する記述である。このように、数学的観念はその抽象性ゆえに、出来事の推移を科学的に記述するためにまさに求められているものを提供してくれるのである。

この点は、往々にして誤解されてきた。

狭義に捉えられすぎること。ピタゴラスは、数こそが万物の根源であると宣言したとき、その一端を垣間見ていた。現代において、その信念は

万物の究極的な説明がニュートン力学に見出されるとされたことは、あらゆる科学は完成に近づくにつれて数学的になるという真理の予兆であった。

その思想において。